книги / Моделирование физико- химических процессов нефтепереработки и нефтехимии

Е с л и

Найденное условие позволяет исследователю обеспечить устой­ чивое стационарное состояние в аппаратах идеального перемеши­ вания, выбирая соответствующим образом G, F, V. Видно, что несколько стационарных состояний и, следовательно, неустойчи­ вость, могут появиться для реакций с большими значениями |д„р | и Е при малых скоростях потока и малых К т(FlV).

Рассмотрим теперь аппараты с вытеснением. Укажем, что если простые физико-химические процессы проводятся в аппаратах идеального вытеснения, то возможен только один стационарный профиль. Так (это доказывается в теории дифференциальных уравнений), для системы вида

решение будет единственным в случае ограниченных первых част­ ных производных dfJdC и d fJd T и реализуется в подавляющем большинстве реальных ситуаций.

Если, однако, в аппарате имеется ограниченное внутреннее перемешивание, используется рециркуляция или граничные усло­ вия должны быть выполнены на разных концах аппарата, то, как показывает ряд экспериментальных и расчетных работ [5, 9—11], возможно несколько стационарных профилей С (х), Т (я). Общий прием изучения возможности нескольких стационарных профи­ лей для реакторов с ограниченным перемешиванием следующий. Пусть для дифференциального уравнения

d*T dT .

F (T \ Т \ Т) = Х Ч -Г - - а - ^ - ( - ф ( !Г ) = 0

описывающего процесс в таком реакторе, имеются два разных

новую функцию:

1|) (х) = Т« {х)—Т 1 (х)

Укажем теперь, что если непрерывная функция <р (Т) проходит

F i~ F x = % -^ (T i—T-j) a "5J* (^2 —^l) + СФ(^2) — Ф(7’i)] = 0

ИЛИ

с граничными условиями

Множественность решений означает, что можно .найти ф (х), отличную от нуля, которая удовлетворяет полученным условиям. При ф (х) = 0 существует только одно решение: Т г (х) = Т 2 (х). Исследование решения последнего дифференциального уравнения с указанными граничными условиями было выполнено Амундсо­ ном [13] и привело к следующему критерию единственности стационарного профиля:

где g (N) — функция N = аИ4Х, причем g (0,01) = 0 ,1 ; g (1) = 1; g (10) = И ; g (100) = 12.

Ван-Хирден [12] проанализировал устойчивость сложных процессов в аппаратах с кипящим слоем и отметил, что множест­ венность стационарных профилей может быть следствием только множественности решений уравнений, описыцающих граничные условия. Это, кстати, ясно и из сказанного выше. Поэтому иссле­ дование устойчивости в этом случае будет таким же, как и для аппаратов идеального перемешивания. В частности, для реакции первого порядка [w = /с0ехр (—ElRT) С] критерий единственности имеет вид:

4Е gnpPcVCo >

В ряде случаев (например, для сложных сильно экзотерми­ ческих процессов), как показывает анализ, возможен ряд ста­ ционарных состояний, т. е. приведенные здесь критерии един­ ственности не выполняются. В связи с этим рассмотрим математи­ ческие методы, позволяющие установить, какие из решений будут устойчивы.

m

Методы исследования устойчивости решения

Термин «устойчивость» широко используется при исследова­ нии решений, в частности, систем дифференциальных уравнений. Пусть системе уравнений

»}=//(*• Jh, • • •, Ур)

с начальными условиями

отвечает решение

которое принято называть невозмущенным. Это решение называют устойчивым, если решение той же системы при бесконечно малом

изменении х 0 и у/0 и любых х 0 ^ х ^ оо отличается от невоз­ мущенного на бесконечно малую величину. Пусть возмущенные условия х 0 и у;0 , а возмущенное решение у,- Тогда условие устой­ чивости будет иметь вид:

В противоположном случае, т. е. когда |}у;— у;-| существенно отличается от малой величины, решение считается неустойчивым.

Можно «ослабить» условие (V.20) и потребовать, чтобы раз­ личие уi и у/ стремилось к нулю лишь при х -> оо (стационарный

режим). Такое условие принято называть асимптотически устой­ чивым, и для него

в качестве х можно рассматривать время осуществления процесса. Тогда условие х-+-оо означает переход процесса к установивше­ муся (стационарному) состоянию, и асимптотическая устойчи­ вость есть устойчивость стационарного состояния. В теории регу­ лирования такую устойчивость называют локальной, или устой­ чивостью в малом.

Для исследования устойчивости решения можно, например, вычислить величины у;- при различных начальных условиях и сопоставить их при одинаковых наборах х , ух, ..., ур. Если, например, у) близки при # —>- сю, получим асимптотически устой­ чивые решения.

На рис. V-4 приведен пример асимптотически устойчивого решения функции одной переменной у' — / (у). Достаточно ясно, что если / (0) = 0 и / (у) меняет знак с + на — , когда х, увеличи­ ваясь, проходит через 0, решение будет асимптотически устойчи­ вым. Этот вывод указывает на возможность анализа устойчивости

без получения решения дифференциального уравнения, например, на основе анализа свойств / (у). Методы, в которых исследование устойчивости не связано с решением системы дифференциальных уравнений, называют качественными. Именно качественные ме­ тоды представляют наибольший интерес для инженерной практики ввиду сложности проверки условий (V.20) или (V.21) *.

При качественном исследовании асимптотической устойчивости обычно осуществляют перенос начала координат, что позволяет от произвольной системы дифференциальных уравнений перейти**

к системе (V.19) при невозмущенном решении у;- (0) = 0. Кроме

Рис. V-4. Пример асимптотически устойчивого решения уравнения

у' — Ну)-

того, для задач химической технологии можно рассмотреть авто­ номную систему (когда в функции / не входит ж):

Наиболее просто рассмотреть идею качественного исследо­ вания для двух переменных

исследуя траекторию точки (ух, у2) в так называемой фазовой плоскости Ух—Уг' Изучим движение точки (уг, у2) относительно концентрических окружностей с центром в точке (0, 0) (стацио­

нарное решение) и радиусами г (ух, уг) = 1f У\~*с У\- Уравнения

%

Если при изменении ж траектория движения физико-химиче­ ского процесса пересекает эти окружности так, что с ростом х уменьшается v [т. е. траектория стремится к точке (0, 0) при увеличении ж], то стационарное, состояние устойчиво. Достаточно очевидно, что устойчивость будет выполнена, если

,du

v ~~dx = 2У1У1 + 2УъУч < 0

* Вместе с тем часто при ограниченных выборках для проверки усло­ вий (V.20) или (V.21) инженерная интуиция позволяет оценить устойчивость решения подобно тому, как это сделано выше (стр. 159).

** Это осуществляется путем замены yj = у) -j- z; z = 2 (х, y l7 . . ур).

164

Если v' >>0, то стационарное состояние неустойчиво; при у, меняющем знак, возможно как устойчивое, так и неустойчивое стационарное состояние. Только в немногих случаях знак vr постоянен или его можно определить.

Обобщая эти рассуждения на многомерный (р-мерный) случай и для v, не обязательно являющихся окружностями, приходим к теореме Ляпунова об устойчивости, которая формулируется следующим образом.

Пусть в окрестности стационарной точки существует функция

мущенное решение у} (0) = 0 является устойчивым. Функции v принято называть функциями Ляпунова. Их существование определяет необходимое и достаточное условие устойчивости.

Из теоремы Ляпунова не вытекает способ построения функций v. Рассмотрим его, а также проведем исследование асимп­ тотической устойчивости для наиболее простого случая, когда система (V.19) является линейной:

y ):= ^ i AiUl / = 1, Р (V.23a)

для системы (V.22) в окрестностях стационарной точки (у,- = 0). Действительно, разлагая / (ух, ..., ур) в ряд по степеням у1? ..., ур и обрывая его на линейных членах (что допустимо ввиду ма­ лости ух, ..., ур вблизи стационарной точки), перейдем к уравне­ нию (V.23 б), где

Поэтому систему (V.23) называют системой первого приближе­ ния. Для ее асимптотической устойчивости необходимо и доста­ точно, чтобы все решения стремились к 0 при х сю. Наиболее

простым будет случай, когда матрица А постоянна. В этом случае функцию Ляпунова оказывается удобно представить в виде эллипса с центром в точке (0, ..., 0), причем

где Ут — матрица, транспонированная к Y; Р — постоянная,

симметричная и положительно определенная матрица. Для про­ верки условия dv/dy ^ 0 при у ф 0 продифференцируем уравне­ ние (V.24):

у ' = утр г +(1лТ) 'р г

165

и подставим yf из (V.236). Найдем:

V'= YrPAY+ YTArPY=Ут{РА +АТР) Y= — YTQY

Из последнего уравнения вытекает, что производная V ’ будет отрицательно определенной, если матрица

будет положительно определенной. Таким образом, чтобы дока­ зать асимптотическую устойчивость, нужно суметь построить две положительно определенные матрицы Р и ф , связанные условием (V.25). Продемонстрируем такое построение для системы второго порядка вида [9]:

или систему четырех линейных уравнений (из них три — незави­

симых):

—Рхх+Юрхг—Рхх+10рхг=—1

—Рх2+ Юрга— 2рц—р и = 0

—2рц—Рх2—Р12+ Юрга = 0

—2рхг—Р22—%Pi2—Ргг ——1

Решение этой системы дает:

1

Р= 42

v— -fir (61y* -f 8^хУ2+ 13у|)

Таким образом, матрица Р положительно определенная, и исход­

ная система устойчива.

Доказывается [13] и более простое условие асимптотической устойчивости при постоянной А . Для этого необходимо и доста­ точно, чтобы все корни % характеристического уравнения

имели отрицательную вещественную часть *.

*Напомним, чтоI — единичная матрица, аX, удовлетворяющие харак­ теристическому уравнению, называют собственнымизначениямиматрицыА*

166

v' = —2 2^/У/ + 0 1У21

/

где 0 |у2 |— пренебрежимо малый член. Тогда г/ < 0, и условие асимптотической устойчивости выполнено. Аналогично мояшо показать, что если хотя бы один корень уравнения (V.26) имеет положительную вещественную часть, то решение неустойчиво.

Некоторые другие качественные методы приведены в литера­ туре [14].

Температурная устойчивость физико-химических процессов в проточных аппаратах

Из изложенного выше ясно, что для аппарата идеального пере­ мешивания возможно три стационарных режима, из них два (при низкой и высокой температурах) устойчивы, а один (при проме­ жуточной температуре) неустойчив. Действительно, проверка условий (V.26) отрицательности вещественной части корней харак­ теристического уравнения приводит к условию dQ^dT ]> dQ-JdT (Qi и Q2 — те же, что и на стр. 158), т. е. наклон линии отводи­ мого тепла в устойчивой точке должен быть больше наклона линии подводимого тепла. Вообще исследование устойчивости в таких аппаратах не вызывает затруднений при использовании методов, описанных выше (стр. 160, 163).

Для аппаратов идеального вытеснения необходимо исследо­ вание устойчивости только в случае сложных краевых граничных условий.

167

Наиболее общий случай представляют процессы со сложной кинетикой, протекающие в аппаратах с ограниченным перемеши­ ванием. Хотя критерий единственности для таких систем получен выше (с. 166) и позволяет создать устойчивый процесс, рассмот­ рим удобный метод исследования и неустойчивых режимов, по­ скольку они могут возникнуть в производственных условиях.

широко используют усреднение для перехода от задач с распреде­ ленными параметрами (аппараты с ограниченным перемешива­ нием) к задаче с сосредоточенными параметрами (аппараты идеаль­ ного перемешивания).

Рассмотрим случай, имеющий практическое значение, когда состояние системы можно охарактеризовать концентрациями двух веществ и температурой, т. е. для реакций типов:

и т. п

Для реакции последнего типа в аппарате с продольным переме­ шиванием запишем уравнения материальных балансов по вещест­ вам А и В и уравнение теплового баланса (эти уравнения характе­ ризуют нестационарный процесс в реальных реакторах). Для общности перейдем к безразмерным переменным:

где

Е

в

е пт„

168

Здесь gi — массовые доли компонентов; р , р — плотности потока и твердой фазы; е — доля свободного объема; б?с — поток

и в качестве примера исследования сложной системы. Поставим задачу: оценить значения параметров процесса, прй которых возможно скачкообразное увеличение стационарной температуры в реакторе при условии, что на входе аппарата температура

а на выходе происходит свободный теплообмен с внешней средой:

циента теплообмена с внешней средой к коэффициенту внутрен­ ней теплопроводности.

Таким образом, краевые условия для безразмерной темпера­ туры имеют вид:

0 (t. °) = ° [ - £ + (°- е а Ц = о

Метод решения поставленной задачи состоит в следующем. Интегрируя уравнение теплового баланса, получаем обыкновен­ ное дифференциальное уравнение

для «средней» температуры

_ L

r = J т (т, i)v(i)di

о

где v (I) — функция, подобранная таким образом, чтобы уравне­ ние (V.30) перешло в (V.33); Г°, б — параметры, зависящие от

.физических параметров процесса; Ф (Т) — линейная комбина­ ция экспонент из (V.30).

Оценки величин показывают, что реальным перепадам темпе­ ратуры по длине реактора может соответствовать только мини­ мальное (устойчивое)* положение равновесия уравнения (V.33). Функция Ф (Т) такова, что минимальное положение равновесия Т при некотором «критическом» значении 6 = 6 * имеет скачок к Г *

* Неустойчивые стационарные режимы не представляют в нашей задаче практического интереса.

169

(рис. V-5), причем величина Г* соответствует практически недо­ пустимым температурам.

Если параметр S > 6 * , в возмущенной системе устанавли­ вается «низкотемпературный» стационарный режим, отвечающий

Т <5 Т*. Если параметр б, уменьшаясь вследствие внешних при­ чин, достигнет критического значения б*, то в системе произойдет тепловой взрыв: распределение температуры при т — со будет

быстро приближаться к стационарному, отвечающему Т ^ Т*. Таким образом, для полного решения поставленной задачи

нужно найти критическое значение б = 6*-

Рис. V-5. Скачкообразное изменение стационарного решения уравнения (V.33) при б=

=6 »:

а— для а = 1; б — для 0 < а < 1.

Излагаемый ниже подход развит Л. А. Острером. Тепловое уравнение можно записать в виде:

170