книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

ОБ ИЗГИБЕ ВСЕСТОРОННЕ ОПЕРТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ

ПРИ ДЕЙСТВИИ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ

Доктором А. Надаи в одной из недавно опубликованных работ1 дано решение задачи об изгибе свободно опертой бесконечно длинной пластины, нагруженной сосредоточенной силой. В предлагаемой статье показано, что упомянутая выше задача может быть решена с помощью известного способа М. Леви 2, и легко может быть получена таблица прогибов и максимальных изгибающих моментов для различных отношений сторон прямоугольной пластины.

Начнем с простейшего случая полосы бесконечной длины шириной а (рис. 1).

Расположим систему координат соответственно рис. 1, где О означает

и учитывая, что при у = оо прогибы равны нулю, можно заключить, что функции Y могут быть представлены в следующей форме:

где ат = тл/а; сти dm— постоянные интегрирования, которые необходимо определить из условий на оси х.

Из условия симметрии имеем

Следовательно, апг = dnl.

1 N a d a i A. Spannungsverteilung in einer durch eine Einzelkraft belasteten rechtecki­

des seances de TAcademie des sciences, 1899, second semestre, t. 129, N 15, p. 535—539.

Для определения постоянных ст используем выражение для попереч­ ной силы Ny и найдем при у — О

С другой стороны, также из симметрии следует, что (Ny)y=0 = 0 для

всех значений х, кроме х = с, где поперечная сила в предположении равно­ мерного распределения на очень малой длине е равна — Р/2е. Это распре­

деление поперечных сил вдоль оси х можно представить следующим рядом:

Вычислим теперь изгибающие моменты. Для точек, лежащих на оси х, на основании (7) найдем

Следовательно, для этих точек имеем

Ш=1

Сучетом явного выражения для суммы (9), примененного А. Надаи, при

х< с получим

где а — коэффициент Пуассона.

Для точек, находящихся на малом удалении 6 от точки приложения силы, следует

Исследуем теперь случай пластины конечной длины. Для упрощения предположим, что точка приложения нагрузки лежит на оси симметрии (рис. 2). Исходя из выражения (1) и используя уравнение (2), для функций

Приведем некоторые численные значения для коэффициентов 7i и Тг в таблице.

Соответствующие изгибающие моменты Мх и Му для свободно опертой круговой пластины диаметра а при нагружении в центре равны

Как следствие из предположения о сосредоточенной нагрузке, получаем в точке приложения бесконечные значения для изгибающих моментов (18)

связь сохранить также и в случае прямоугольной пластины 2, то для цент­ ральной точки этой пластины найдем следующие выражения для изгибаю­ щих моментов

Предлагаемый метод может быть применен и в несимметричном случае нагружения. При этом решение в форме (1) должно быть составлено для каждой части пластины у > 0 и у < 0.

В случае прямоугольной пластины, свободно опертой по всему контуру, задача может быть решена с применением известного способа М. Леви3. Покажем теперь, что тот же способ применим и для прямоугольной пластины, защемленной по двум противоположным кромкам. Как предельный слу­ чай получим, таким образом, решение для бесконечно длинной защемленной полосы 4.

Применение метода покажем для простейшего случая нагруженной в центре пластины. Система координат указана на рис. 3. Прогибы w пла­ стины можно представить состоящими из двух частей: а) из прогибов wlt

* При этом пренебрегаем членом порядка г2/а2.

2См. работу A. Nadai, приведенную в сноске на стр. 91.

3См. работу М. .Levy, приведенную в сноске на стр. 91.

4N a d a i A. Uber die Biegung der rechteckigen Platte durch Einzellasten. Der Bauingenieur, 1921, Bd 2, Hft 11, S. 299—304.

соответствующих пластине, свободно опертой по всему контуру и б) из прогибов до2, которые вызываются моментами, действующими вдоль защем­

Если сложим моменты, определенные таким образом, с моментами, полученными для прямоугольной пластины, свободно опертой по всему контуру [см. формулу (21)], то получим моменты для прямоугольной пла­ стины с двумя противоположными защемленными кромками.

Для определения изгибающих моментов в середине защемленных сто­ рон применим формулы

Сумма в этом выражении с изменением длины пластины изменяется очень мало. Таким образом, получаем

при а = b

(Мх)х=а = — 0.166Р;

У = О

при а = 1/26

(Мх)х=а = — 0,168Р.

!,=0

Легко показать, что формулы (29) — (31) для бесконечно длинной пла­ стины переходят в формулы А. Надаи.

Выше показано, как применением способа М. Леви может быть решена задача об изгибе нагруженной сосредоточенной силой прямоугольной пла­ стины с двумя защемленными противоположными кромками и двумя дру­ гими свободно опертыми сторонами. Также показано, что с увеличением длины защемленных кромок величины прогибов и изгибающих моментов быстро приближаются к значениям, которые были получены А. Надаи для бесконечно длинной пластины.

ОРАСПРЕДЕЛЕНИИ НАПРЯЖЕНИЙ

ВКРУГОВОМ КОЛЬЦЕ, СЖАТОМ ДВУМЯ СИЛАМИ, ДЕЙСТВУЮЩИМИ ВДОЛЬ ДИАМЕТРА

On the distribution of the stresses in a circular ring compressed by two for­ ces acting along a diameter. Philosophical Magazine and Journal of Science,

Рассматривая задачу как двумерную, можно получить решение для случая, изображенного на рис. 1, складывая известные решения задачи о сжатии диска1 (рис. 2) и решение задачи о кольце 2 (указанном на рис. 3).

Если взять нормальные и касательные напряжения, действующие на внутреннюю поверхность кольца (рис. 3), равными и противоположно на-

женного на рис. 1, будет получено суммированием напряжении, соответ­ ствующих рисункам 2 и 3.

На рис. 4 показаны нормальные напряжения в вертикальных и гори­ зонтальных поперечных сечениях кольца при R = 2г, подсчитанные ука­ занным выше способом. Штриховые линии на этом рисунке представляют собою результаты элементарных решений, полученных путем использования, во-первых, гипотезы плоских поперечных сечений и, во-вторых, гипотезы

о плоском распределении нормальных напряжений.

Распределение напряжений в сжа­ том диске (рис. 2) получено наложени­ ем напряжения1

одинакового во всех точках, и двух простых радиальных распределений

Если R = 2г, соответствующие нор­ мальные и касательные напряжения в точках, лежащих на цилиндрической по­ верхности радиуса г, можно приближен­ но представить следующими рядами2:

20 + 0,443 cos 40 + 0,158 cos 6 0 +

+ 0,0467 cos 80 + 0,0083 cos 100),

тг0 = (0,749 sin 20 + 0,374 sin 40 + 0,141 sin 60 +

Распределяя по внутренней поверхности кольца (рис. 3) напряжения, которые равны и противоположны по направлению напряжениям, опреде­ ляемым по формулам (3), и используя решение для кругового кольца, по­ лучаем следующие выражения для напряжений в произвольной точке:

Reihen. Leipzig, G. J. Goschen, 1904, S. 153. Из проделанных расчетов можно сделать вывод, что ошибка в величине напряжений не будет превышать 0,5%, если ограничиться только первыми шестью членами ряда.