книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

4 .1 .34 .

В точках М\{х\; 2/1), М2(я2; 2/2), Мз(хз;уз) помещены массы mi,

7712, ттгз соответственно. Найти центр тяжести системы.

Указание, центр тяжести системы двух масс делит отрезок на

части, обратно пропорциональные массам, сосредоточенным на

концах отрезка.

4 .1 .35 .

Найти положение центра тяжести проволочного треугольника,

вершины которого расположены в точках (0;0), (0;3) и (4;0).

4 .1 .36 .

Даны вершины однородной треугольной пластинки А{х\\у\ ) 1

В (х2 \2/2), С(хз]уз). Если соединить середины ее сторон, то об­

разуется новая треугольная пластинка. Доказать, что центры

тяжести обеих платинок совпадают.

4 .1 .3 7 .

Даны две смежные вершины квадрата А(2; —1) и 2?(—1; 3). Най­

ти координаты двух его других вершин.

4 .1 .3 8 .

Найти координаты центра правильного шестиугольника, зная

две его смежные вершины: А (2;0) и В (5;3\/3).

4 .1 .3 9 .

Показать, что точки А (—3; 8), В (1;5) и С (4;1) могут служить

тремя вершинами ромба, вычислить площадь этого ромба.

4 .1 .4 0 .

Прямая линия отсекает на оси Ох отрезок ОА = 4 и на оси Оу

отрезок ОВ = 7. Найти координаты основания перпендикуля­

ра, опущенного из начала координат на данную прямую.

4.1.41.

В

каких четвертях могут быть расположены точки М(х;т/),

если

1)

ху > 0;

2)

ху < 0;

3)

х -

у = 0;

4)

х -

у > 0;

5)

х + у = 0?

4.1.42.

Проведен отрезок от точки Л (1;—1) до точки (—4;5). Найти

координаты точки, до которой нужно продлить его в том же

направлении, чтобы длина его удвоилась?

4.1 .43 .

Доказать, что во всяком прямоугольном треугольнике длина

медианы, соединяющей вершину прямого угла с серединой ги­

потенузы, равна половине гипотенузы.

4.1.44.

Точки А{х\]у\) и В{х2 ',У2) служат смежными вершинами ром­

ба, диагонали которого параллельны осям координат. Как вы­

разить координаты остальных вершин через координаты дан­

ных точек?

4 .1.45.

Как расположены точки, имеющие одну и ту же проекцию на

ось Ох? на ось Оу?

М(г; (р)

н----- 1— -

V

Рис. 16

^

Числа г и (р называются полярными координатами точки AI:

г называют полярным радиусом, ip — полярным углом.

d = \ f fa -

X! )2 + f a

— У\)2 =

=

у / (Г 2 cos ( f 2

— Г\ COS ( f l )2 +

(7*2 sin i f o

— r i sin ipi )2 =

= y r j

+ 7*2 —2 n r 2(cOS^i COS <£2 + S H l^ i siny?2) =

= yjr\ + r'l -

2 rxr2 cos((p2 - <^l),

т.е. c? =

>/rf +

-

27*17*2 cos(y?2 -

<^i);

б) пользуясь формулой для площади треугольника со сто­

ронами а и b и углом а между ними ^5 =

^a&sina^, находим

площадь треугольника ОМ1 М2 :

S = ^7*17*2 sin((^2 —(fl)-

•

4.1.51.

Сторона правильного шестиугольника равна 1. Приняв за по­

люс одну из его вершин, а за полярную ось — сторону, через

нее проходящую, найти полярные координаты остальных пяти

вершин.

4.1.52.

В полярной системе координат точка пересечения диагоналей

параллелограмма ABCD совпадает с полюсом. Зная вершины

и В ^5;

, найти другие вершины параллелограм­

ма.

Дополнительные задачи

4.1.53.

В полярной системе координат даны две противоположные вер­

шины квадрата А ^2;

и С ^2;

Найти его площадь.

4.1.54.

Одна из вершин треугольника лежит в полюсе полярной си­

стемы координат, а другие в точках >1(2; 0) и В ^4;

Найти

радиус вписанной в треугольник окружности.

4.1.55.

В полярной системе координат даны точки А\8 ; —^тг\ и

2?(6;^ -). Найти полярные координаты середины отрезка, со­

единяющего эти точки.

4 .1 .5 6 .

Треугольник АВС задан полярными координатами вершин:

л ( 5 ;^ ) ,

Доказать, что он равнобедрен­

ный.

4 .1 .5 7 .

Найти полярные координаты точек, симметричных точкам

(2 ;^ )» ( l ; —7j)j

(3; 0) относительно

а) полюса,

б) полярной оси.

4 .1 .5 8 .

В полярной системе координат даны две смежные вершины

квадрата Л ^2; —20 и

f 77)- Найти его площадь.

4 .1 .5 9 .

В полярной системе координат даны две вершины правильного

треугольника: А ^5;

в(&\ —

Найти его площадь.

4 .1 .60 .

Найти площадь

треугольника,

вершины которого Л ^ З ;^ ,

2? (в;

g7r^ заданы в полярных координатах.

4 .1 .6 2 .

Каковы координаты точки В полярной оси, отстоящей от точки

A {jV 2 -, ^

на 7 единиц?

4 .1 .6 3 * .

Построить множество точек плоскости, полярные координаты

которых удовлетворяют уравнению:

а )

г = 2 <р;

б ) г = 2sin</>;

г)

г sin ip =

1;

Д)

tg <р = - 1 .

двух заданных точек А(—2; 0) и В(4; 2).

4.1.66.

Найти геометрическое место точек, одинаково удаленных от

прямой 1 = 2и точки F (4; 0).

4.1.67.

Стержень АВ скользит своими концами по координатным осям.

Точка М делит стержень на две части AM = а и ВЫ = b. Най­

ти параметрические уравнения траектории точки М , приняв в

качестве параметра угол t = ZOBA.

0

Рассмотрим треугольник М СВ (рис. 20): в нем \СВ\= 6 cos t,

1

CM I = bsint. Очевидно, \OB\ = (а + 6) cost. Стало быть, х =

=

\ОВ\ — \СВ\ = (a + b) cost — fccost = acost, у = |МС| = bsint.

Таким образом, получаем уравнения искомой линии

[ х = acost,

г

7Г1

, 6 Ы

-

В нем \0М\ = г, /.МОА = ip, /О М А = ^

(вписанный угол,

опирающийся на диаметр). Поэтому cosy? =

£ . Отсюда нахо­

дим г = acos<p — искомое уравнение окружности.

•

4.1.71.

Составить параметрические уравнения окружности. В качестве

параметра t использовать угол между осью Ох и вектором ОМ.

4.1.72.

Составить уравнение окружности радиуса R, центр которой ле­

жит на прямой, перпендикулярной полярной оси, а полюс си­

стемы координат лежит на окружности.

4.1.73.

Луч выходит из полюса и наклонен к полярной оси под углом

Составить уравнение этого луча в полярных координатах.

4.1.74.

Дана окружность х2+у2 = 9. Лежат ли на ней точки М\(2\/2; 1),

[У =

3,

откуда получаем х =

0, у =

3. Таким образом, окружность

и прямая имеют одну общую точку (0; 3) — прямая касается

окружности.

•

4.1.75.

Указать какие из данных точек Лх(1;1), ^2(2;2), Лз(\/3;—1),

Л4 ( - 1 ;

лежат на кривой у = 2 —х2.

4.1.76.

Найти точки пересечения кривой у = 6 + Ъх —х2 с осями коор­

динат.

4 .1.77.

Найти точки пересечения линий х + 7у = 25 и х2 + у2 = 25.

4 .1.78.

На окружности х2 + у2

= 25 найти точки:

а) с абсциссой х = 3;

б) с ординатой у = T/о-

.

( x = t2 —2 t + 1 ,

B)

\

t G M.

\y = t - 1,

Найти уравнения заданных кривых в виде F (x ; у) = 0.

4 .1 .8 0 .

Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точ­

ки которой до точек F i( —2; 0) и 2*2(2; 0) равна 2 у/Е.

4 .1 .8 1 .

Вывести уравнение геометрического места точек, для которых

модуль

разности растояний до

точек JPI (—4; 0) и 2*2(4; 0) ра­

вен 4.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

4 .1 .8 2 .

Найти уравнение множества точек, произведение расстояний

от которых до двух данных точек Fi(a;0) и Fo(—а;0) есть ве­

личина постоянная, равная а2. Полученное уравнение записать

в полярных координатах.

4 .1 .8 3 .

Окружность радиуса а катится без скольжения по оси абсцисс

из начала координат. Найти параметрические уравнения кри­

вой, описанной точкой окружности, которая при начальном по­

ложении совпадала с началом координат. (За параметр t взять

угол поворота радиуса окружности.)

4 .1 .8 4 .

Отрезок АВ длины 2а скользит своими концами по сторонам

прямого угла. Из вершины этого угла на этот отрезок опущен

перпендикуляр ОС. Найти уравнение кривой, описанной осно­

ванием таких перпендикуляров. (Поместить полюс О в верши­

ну прямого угла, полярную ось направить по стороне угла.)

4 .1 .8 5 .

Составить уравнение геометрического места центров окружно­

стей, касающихся оси Ох и проходящих через точку Л (2;3).

4 .1 .8 6 .

Прямая перемещается так, что треугольник, образованный ею

с осями координат, меняется, но сохраняет постоянную пло­

щадь S. Найти траекторию движения середины отрезка, отсе­

каемого осями координат на этой прямой.

4 .1 .8 7 .

Изобразить множество точек плоскости,

равноудаленных от данной точки А (фо­

У

куса) и данной прямой (директрисы).

Составить уравнение кривой, обозначив

через р расстояние от фокуса до дирек­

трисы (систему координат выбрать так

А х

как указано на рис. 22).

4 .1 .8 8 .

Какие геометрические образы

соответ­

ствуют уравнениям:

Рис. 22

а)

2 xiI =

0;