Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

26.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Г л а в а VI

МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ

§1. Производная и интеграл матрицы

1Рассмотрим прямоугольную матрицу, элементы которой являются некоторыми функциями от t:

A (t) = {ац (/))

(t = 1,2, . . . . /я; /==1,2, ...» п).

^ Пусть ац (/) cz С1 (а, b), т. е. ац (t) — функции, непре рывно дифференцируемые на промежутке (а, Ь). Тогда под производной матрицы A (f) будем понимать матрицу, полу ченную из исходной матрицы путем замены элементов ац (/)

производными daiiJP , т. е.

• • • > m; / = 1,2, . . . , л).

О, Производная матрицы обладает следующими легко до казываемыми свойствами:

1.) если С — постоянная матрица, то

d[CA (01	^	dA (t)	*	d [А (/) С]			dA (t)
dt	—и	dt		Ш		“ ~~df~
d [А (Q +		в (/)!		dA(t)	,	dB(t) .
	dt		~~	dt	^	dt	*
3)	d[A{t)B (/)]		__	dA(t)		о i f i j L A m dB(i)
	dt		~	dt D \ 4 ~ r A КЧ dt
и, вообще,	d [A (0В (01			[Л (/)>1 (01
			*
	dt			dt

Ц Под интегралом матрицы будем понимать матрицу, элементами которой служат интегралы от соответствующих элементов исходной матрицы, т. е.

[ A ® a - H a , , ® #		( i = 1,2, . . . , m ; / =	1,2, ... ,л ) .
to	\*0	>
^ Предполагается, конечно, что все интегралы			J ац (/) dt
			tо

существуют.

^ Отметим следующие свойства интеграла матрицы:

1)	если	A (t) =	dB(t) ,	TO
			dt
		^Л(<)<Я =		В ( 0 - В ( У ;
		to
2)	если	С — постоянная		матрица, то
	*		t	i	t
[CA( t ) dt - C^A( i ) dt ,					j A{t)Cdt= f A(t)dtC;
		t		t		t
3)		f (Л (t) +	В (01 dt	t1
3)		f (Л (t) +	В (01 dt	= f	A ( t ) d t + \ B { t ) d t \
		to		tо	to
4)	формула интегрирования				по частям:
( а	(0	d t = A	(t) в ( 0 — л (О s (g - J ^ г - в ( 0 Л.

§ 2. Векторно-матричная запись линейных дифференциальных уравнений

^ Запишем в векторно-матричной форме различным обра зом представленные линейные дифференциальные уравне ния.

V I . С и с т е м а л и н е й н ы х а л ь н ы х у р а в н е н и й п е р в о г о

ди ф ф е р е н ц и

по р я д к а :

2 а Ч (0 “ ЗГ" ■* У] Ь ц (0 х /

f t ( f )

(i 1,

. . . , n). (2.1)

/ - 1

f i

а1п	'т
В =	X =
аап/	'ап/
/ =

Тогда система (2.1) запишется так:

Л -§ - = В * + /.

(2.2)

Если Л — невырожденная матрица, то по умножении (2.2)

слева на Л-1 получим дифференциальную систему в нор мальном виде (в форме Коши):

	- £ - = (У(0* +		А.	(2.3)
где	S ~ lD	h=
u			/,- 1<
t; = л 1в ,			л~7.
,0	л и н е й н ы х		д и ф ф е р е н ц и
\и 2. С и с т е м а
а л ь н ы х у р а в н е н и й		в т о р о г о п о р я д к а :

2т' l‘f ( 0ffitn	+	4 ?	W	- 7 .- . т). +.	4
/=1 •				(2.4)
Обозначив				(2.4)
Обозначив	/(О
-/(О	/(О
Ml	М2
L , = \| 4?	t i		(t — 0, 1,2),

••

/(О	/(О	lmm
^ml	Мп2	lmm
	Ф1	<7i
Ф =		<7 =
	\ Фт/	\Ят/

систему (2.4) можем представить в виде

М 4 - ^ + М < ) - $ - + М Ю ? = <г(<).

(2.S)

134

МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

[ГЛ. VF

Систему (2.5) легко привести к виду (2.2). С этой целью введем в рассмотрение блочные матрицы

А = \|( °	Ч
U .	L J
/ О\
( _ ) .
\Ф/

Со II	>	о
\0		— ц
/ J l_ \
* -	*	•
'	ч	/

Нетрудно проверить, что система (2.5) эквивалентна си стеме (2.2), если предположить, что матрицы А, В, f и х определены в соответствии с последними соотношениями. Действительно, подставляя указанные выражения в (2.2), имеем

Отсюда получаем тождество

т dq _ 7 dq

и систему

+ *

которая совпадает с системой (2.5).

Если L0— невырожденная матрица, то система (2.5) мо жет быть приведена также и к нормальному виду (2.3). В самом деле, пусть det L0 Ф 0. Из очевидного соотношения

Поэтому

det А = {— l)m (det L0)2.

.Из полученного равенства видно, что если L0 — невырож денная матрица, то А также невырожденная, и поэтому си стема (2.2) приводима к виду (2.3). При этом

3. Л и н е й н о е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е . Рассмотрим дифференциальное уравнение

~ Г + (0	+ °*№ ^п-2		+	+a(t)s*b(t).
Положив				(2.6)
Положив	dz	_	dn 1г	_
г =	dz	_	dn 1г	_
г =	хъ	~ х *
	dt	~ х *

уравнение (2.6) можем записать в виде системы уравнений

	dx1		х
	1Г		х
	1Г
	dx2		Хц,
	dt		Хц,
	dt
	dx,Л—I __		у
	dt	—	ЛП>.
dxn	dt
dxn	anxx an—]X%		— &ix„ + b.
dt	anxx an—]X%		— &ix„ + b.
dt

Ясно, что последняя система в векторно-матричной записи предстанет в виде (2.3), только в данном случае матрицы U и h будут иметь специфическую структуру, а именно;

“ 0	1	0	0	“	" 0 “
0	0	1	0		0
и =					, h =
0	0	0	1		0
_ — ап	#п—1	— ап- 2	— «1_		__Ъ _

4. О б щ и й

Обозначим

Ы 9 =

/(V)

vAml

Будем иметь

с л у ч а й .

(i = I,

/(V)

•

/(v)

1тт>

Система вида

+ # * /] ф«(0

т). (2.7)

	Ф1
Ф =	Я =
	Фл*>

	Ьо “ Г" + Li			+	+ t kq —Ф (О-	(2.8)
а ) П е р в ы й с п о с о б .
Положив
		“ 0	0	0
		0	0	LQ,	0
		А .__
		о	L0	0	0
		- Ц t x		lk--2 £&-l_
0	0	L'О	0 ~	”	dk~lq ~	“ 0 “
0	»	0	0	, X =	dtk- 1	0
0	L*	0	0	, X =		о
А,	0	0	0			о
.0 0		о - V		-	Я -	- ф _
можем представить (2.8) в виде
		A -jj—— Вх -}- /.				(2.9)

Если 7,0 — невырожденная матрица, то Л — также не вырожденная матрица. В самом деле, умножая матрицу А

справа на матрицу

О О	т

J =

-Вт		0		0
получаем		0	0	0 "
-	Ц	0	0	0 "
AJ =	0	и	0	0	L.
AJ =				=	L.
	0	0	Ц 0
		Lk—2	^1 А)_
Отсюда, так как J	=	J,	и .
В соответствии с этим		Л =	и .
В соответствии с этим
Но	det А = det L det J.
Но			.А
	det L = (det L„y,
det J = ( —			.. (_
_	/_		• •+(*—!>] =		/_ Jl"1 2

Поэтому

—])

det A = ( _ I) (del £•„)*,

откуда и следует, что матрица А одновременно с матрицей

L0 вырождена	или невырождена. Предполагая,			что L0—
невырожденная	матрица,	построим	обратную	Пусть
	Л/и		Л114
	Л "‘ =	Л^2а	а »

А».

Имеем

i^o ~Ь

^ik^i

NnLo+ NlkLk-(

/NlkL0 ^\k—

NUILQ-f- NZkLk—i

Д—*Д

1 ^2k^0

Nik—1^0 ~b N2k^~4

• • •

\Nkk^o

Nkk—i^o 4" Nkk^i

NkiLo+ NkkLk-\,

Отсюда

Я.

N,k 4 = -Lo'L,L»'

fJitl= L o \

( / — 1,

—

N2k = 0,

N2k—j =

Z-0 \

N211-2

N 21=

= W t2 =

ATtl

= Lo"1.

Итак, матрица A~ равна

А~х=

lLk^ L 0 1

— Lo lLk -

'L L^' L o l~

L»'

L o l

0 _

Зная А

\ легко

привести

(2.9)

к форме

Коши:

- £ -

{/* + Л - 1/,

(2.10)

где

U = А~'В =

Lo'L, -

LO'L2

— L o

l L k —1 -

L Z %

й с п о с о б .

З а м е ч а н и е . Характеристический		многочлен си
стемы (2.8):
А (А,) = 1L0XR-1- LjXk 1-j-	-J- Lk\|.
Характеристический многочлен	системы	(2.10):

	— U Lx—ЕтХ	- L i 'L ,
А(Ч =	Ет	- E J .
А(Ч =
	0	0

—La lLk—i 1		О1
0		0
k	— E X

Оба эти многочлена одной и той же степени mk и, более того, с точностью ;

б) В т о р Положим

~Е	0	0	0 “
0	Е	0	0
А =		Е	»
0	0	Е	0
_0	0	0	Ьо_

0	Е	0	0 “
0	0	Е	0
В -			E
0	0	0	E
r -L k '-L k -1 — Lk--2
		Я
		dq
	х =	dt
	х =	.

dk~'q

В этих обозначениях уравнение (2.8) можно представить так:

A ~ d T * B x + f>

или в нормальной форме:

dt = Ux + А *Д

где

U =

0	Е	0
0	0	Е
•	0	0
0	0	0
- L o ' L „	/-о Lft— 1	Lo

§ 3. Норма матрицы

2 • • •

0	0
0	0
0	Е
То	— LQ1L

Нормой прямоугольной матрицы А = (ац) (в частности, и столбцовой, и строчной матриц) называется неотрицатель ное действительное число ||А ||, удовлетворяющее условиям:

	А I >	0, если А Ф 0, и \|\| А \|\| =				0, если А = 0;
2)	А + В \| \| < Ц Л \| \|				+ \|\|В"
3)	\ХА	=	IXU. \|4	II	(X, — число из	поля 3£):
4)	I АВ	<	л ц	в \| .

Условиям 1)—4) можно удовлетворить многими спосо

бами. Например, можно положить
МП = т а х 2 \| а/л ИЛИ		= шах S \| aik \|,
/	к	k	i
ИЛИ
	M l - j S \| e y » p ) T
	\j,k	)

Норма, определенная последним равенством, называется

эрмитовой (в случае вещественных ац — евклидовой).

Отметим два свойства нормы матрицы:

\|<и. К	И	П	(3.1)
К К И 1 -			(3.2)

где %) — собственное значение матрицы А .

Свойство (3.1) очевидно, а (3.2) можно установить так. Пусть xf — собственный вектор, отвечающий собственно му значению Кр

hjXj — Axf.

Переходя к нормам, получаем

1 М 1 * ||- М * ||< М П * Д Отсюда, так как де, ф 0, следует (3.2).

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги