А.Н.Шерстнев - Математический анализ
..pdf
U | UNITARNYJ OPERATOR (!!).
eSLI T | PLOTNO ZADANNYJ OPERATOR W GILXBERTOWOM PROSTRANST-
WE H, TO ,(T ) = [U ,(T)]?.
fg; g g 2 ,(T ) TTOGDA hT f; gi , hf; g i = 0 (f 2 D(T )) TTOGDA
hUff; T fg; fg; g gi = hfT f; ,fg; fg; g gi = hT f; gi,hf; g i = 0 (f 2 D(T )) TTOGDA fg; g g 2 [U,(T )]?: >
4. uSTANOWIM SWOJSTWA SOPRQVENNOGO• OPERATORA:
(i) ESLI OPERATORY T; S PLOTNO ZADANY I S T , TO T S ,
(ii)ESLI T | PLOTNO ZADANNYJ OPERATOR, TO T ZAMKNUT.
(iii)PLOTNO ZADANNYJ OPERATOR T ZAMYKAEM TTOGDA T | PLOTNO ZA- DAN. pRI \TOM T = T .
(iv) eSLI T PLOTNO ZADAN, TO H = Ker(T ) [R(T )],. |
|
(i). S T ) (SM. 247.9) ,(S) ,(T ) |
) U ,(S) U,(T ) ) ,(S ) = |
[U,(S)]? [U,(T )]? = ,(T ) ) S T . |
|
(ii). sLEDUET NEMEDLENNO IZ P. 3. |
|
(iii). oTMETIM, ^TO OPERATOR U IZ |
P. 3 UDOWLETWORQET RAWENSTWU |
U2 = ,I. sLEDOWATELXNO (SM. TAKVE 242.7),
,(T ), = ,(T )?? = [U2 ,(T)]?? = [U (U ,(T ))?]? = [U ,(T )]?:
eSLI T PLOTNO ZADAN, TO W SILU (ii) IZ DANNOGO RAWENSTWA SLEDUET, ^TO LINEAL ,(T ) = ,(T), | GRAFIK OPERATORA T , TAK ^TO T = T . oBRATNO,
PUSTX T ZADAN NE PLOTNO. tOGDA NAJDETSQ• |
g |
2 |
D(T )?; g = . tOGDA |
fg; g 2 [,(T )]?, A ZNA^IT, |
|
6 |
|
|
|
|
f ; gg 2 U[,(T )?] = [U ,(T )]? = ,(T ),:
|TO OZNA^AET, ^TO ,(T), | NE GRAFIK, TO ESTX T NE ZAMYKAEM.
(iv). g 2 R(T )? TTOGDA hT f; gi = 0 = hf; i (f 2 D(T)) TTOGDA
1) g 2 D(T ); T g = TTOGDA g 2 Ker T : >
u P R A V N E N I Q. 5. pOKAVITE, ^TO W USLOWIQH P. 1 g 2 TTOGDA LINEJNYJ FUNKCIONAL f ! hT f; gi, ZADANNYJ NA LINEALE D(T ), OGRANI^EN.
431
6. pUSTX T | PLOTNO ZADAN, A S 2 B(H). tOGDA (S + T ) = S + T .
7. pUSTX S; T; ST PLOTNO ZADANY. tOGDA (ST ) T S . eSLI, W ^AST-
NOSTI, S 2 B(H), TO (ST ) = T S .
8. pUSTX T; T ,1 PLOTNO ZADANY. tOGDA (T ),1 = (T ,1) .
x249. |RMITOWY I SAMOSOPRQV•ENNYE OPERATORY
1. pLOTNO ZADANNYJ OPERATOR T NAZYWAETSQ \RMITOWYM (ILI SIM- METRI^ESKIM), ESLI T T , ILI, ^TO \KWIWALENTNO,
hT f; gi = hf; T gi (f; g 2 D(T )):
oPERATOR T NAZYWAETSQ SAMOSOPRQV•ENNYM, ESLI T = T .
2. z A M E ^ A N I E. w SILU 248.4 (ii) WSQKIJ \RMITOW OPERATOR ZAMY- KAEM.
3. pUSTX T | SAMOSOPRQV•ENNYJ OPERATOR, A OPERATOR U | UNI- TARNYJ. tOGDA OPERATOR UT U SAMOSOPRQV•EN.
iZ 248.7 SLEDUET, ^TO S UT U \RMITOW, T. E. S S . oBRATNO (SNOWA S U^•ETOM 248.7),
U SU = T = T = (U (SU)) = (SU ) U U S U ) S S : >
p R I M E R Y. 4. [oPERATOR UMNOVENIQ NA NEZAWISIMU@ PEREMENNU@].
rASSMOTRIM W PROSTRANSTWE L2(R) OPERATOR M : |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
D(M) ff 2 L2 (R)j |
f ( ) 2 L2(R)g; |
|
|
||||||||||||||
|
(Mf)( ) |
|
f ( ) ( 2 R; f 2 D(M )): |
|
|
|||||||||||||
pOKAVEM, ^TO M | SAMOSOPRQVENNYJ• |
OPERATOR. qSNO, ^TO M |
M . |
||||||||||||||||
pUSTX g 2 D(M ); g = M g. tOGDA DLQ WSEH f 2 D(M ) |
|
|
||||||||||||||||
Z |
|
|
|
h |
|
i |
|
h |
f; g |
i |
|
Z |
|
|
|
) |
|
|
f( )g( )d = |
Mf; g |
= |
= |
f ( )g ( )d |
|
|||||||||||||
Z f( )[g ( ) , g( )]d = 0:
432
oTMETIM, ^TO L2 [,N; N] PRI KAVDOM N > 0 MOVNO RASSMATRIWATX KAK PODPROSTRANSTWO L2(R) (FUNKCIQ NA OTREZKE [,N; N] DOOPREDELQETSQ NULEM• WNE \TOGO OTREZKA). pRI \TOM L2[,N; N ] D(M ). tEPERX
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z,N |
f ( )[g ( ) |
, |
g( )]d = 0 (f |
2 |
L2[ |
, |
N; N ]) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
WLE^•ET g ( ) |
, |
|
|
|
|
2 |
|
) |
|
|
|
|||||
|
g( ) = 0 |
P. W. NA |
[ |
N; N ] |
|
|
(IZ PROIZWOLXNOSTI N ) |
|||||||||
g ( ) = g( ) P. W. W R ) g( ) 2 L (R); g ( ) = g( ) = (Mg)( ). iTAK, |
||||||||||||||||
M = M : |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. [oPERATOR DIFFERENCIROWANIQ]. oPERATOROM DIFFERENCIROWANIQ W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE L2(R) NAZOWEM• OPERATOR Q U MU, GDE U | UNITARNYJ OPERATOR fURXE-pLAN[ERELQ (SM. 242.3), A M | OPE- RATOR UMNOVENIQ NA NEZAWISIMU@ PEREMENNU@, RASSMOTRENNYJ WY[E. w SILU 247.5 I P. 3 Q | SAMOSOPRQV•ENNYJ NEOGRANI^ENNYJ OPERATOR. pOLU- ^IM FORMULU WY^ISLENIQ \TOGO OPERATORA NA FUNKCIQH IZ PROSTRANSTWA
{WARCA S (SM. 170.4), KOTORYE OBRAZU@T PLOTNYJ W L2 (R) LINEAL. oTME- TIM SNA^ALA, ^TO FUNKCII IZ S UDOWLETWORQ@T USLOWIQM P. 168.8. pRI
\TOM W OBOZNA^ENIQH 168.7 S D(M); Mf = fx (f 2 S). sOGLASNO 171.7
US = U S = S. pO\TOMU S D(Q) I
(Qf)(t) = (U MUf )(t) = 1i (iU MUf)(t) = 1i f0(t); (f 2 S; t 2 R):
|TOJ FORMULOJ OPRAWDYWAETSQ NAZWANIE OPERATORA Q, KOTORYJ QWLQET- SQ, TAKIM OBRAZOM, SAMOSOPRQVENNYM• RAS[IRENIEM OBY^NOGO OPERATO- RA DIFFERENCIROWANIQ (S POPRAWO^NYM SKALQRNYM MNOVITELEM), OPRE- DEL•ENNOGO IZNA^ALXNO NA S.
sAMOSOPRQV•ENNYE OPERATORY IGRA@T ISKL@^ITELXNO WAVNU@ ROLX W TEORII OPERATOROW I IH PRILOVENIJ, W SWQZI S ^EM POLEZNY KRITERII I DOSTATO^NYE USLOWIQ SAMOSOPRQV•ENNOSTI. pRIWEDEM• W KA^ESTWE ILL@ST- RACII ODNO IZ DOSTATO^NYH USLOWIJ I EGO PRIMENENIE K USTANOWLENI@ SAMOSOPRQVENNOSTI• ODNOGO KLASSA OPERATOROW.
6. eSLI T | \RMITOW I R(T ) = H, TO T SAMOSOPRQV•EN. |
|
dOSTATO^NO USTANOWITX WKL@^ENIE D(T ) D(T) (IZ P. 1 TOGDA SLE- |
|
DUET, ^TO T = T ). dLQ PROIZWOLXNOGO g 2 D(T ) NAJDETSQ• |
g 2 H, ^TO |
433
hT f; gi = hf; g i (f 2 D(T )). tAK KAK R(T ) = H , NAJD•ETSQ h 2 D(T) TA- |
|
KOJ, ^TO T h = g . pO\TOMU hT f; gi = hf; T hi = hT f; hi (f 2 D(T )), OTKUDA |
|
g = h 2 D(T ): > |
|
7. pUSTX OPERATOR T PLOTNO ZADAN I ZAMKNUT. tOGDA T T SAMOSO- |
|
PRQV•EN. |
|
pLAN DOKAZATELXSTWA: (i) POKAVEM, ^TO URAWNENIE (I + T T )f = g |
|
RAZRE[IMO OTNOSITELXNO f PRI L@BOM g |
2 H , (ii) POKAVEM, ^TO LINE- |
AL D(T T) PLOTEN W H , (iii) USTANOWIM, |
^TO OPERATOR T T \RMITOW I |
R(I + T T ) = H . w SILU P. 6 \TO ZAWER[IT DOKAZATELXSTWO.
(i). wOSPOLXZUEMSQ METODOM GRAFIKA. w OBOZNA^ENIQH 248.3
H H = ,(T) ,(T )? = ,(T ) U ,(T ):
pO\TOMU DLQ PROIZWOLXNOGO g 2 H NAJDUTSQ TAKIE f 2 H; h 2 D(T ), ^TO
fg; g = ff; T fg + U fh; T hg = ff; T fg + f,T h; hg; OTKUDA T f = ,h I g = f + T T f = (I + T T )f.
(ii). pUSTX, NAPROTIW, NAJD•ETSQ \LEMENT g 6= ORTOGONALXNYJ LINEALU D(T T). pUSTX f UDOWLETWORQET URAWNENI@ (I +T T )f = g (W \TOM SLU^AE f 2 D(T T ); f 6= ). tOGDA
0 = h(I + T T )f; fi = kfk2 + hT T f; fi = kfk2 + hT f; T fi = kfk2 + hT f; T fi > 0;
| PROTIWORE^IE.
(iii). iZ WKL@^ENIQ (T T ) T T = T T SLEDUET, ^TO T T \RMITOW, A ZNA^IT, TAKOW VE I I + T T. w SILU (i) R(I + T T ) = H . w SILU P. 6 OPERATOR I + T T SAMOSOPRQVEN• , A ZNA^IT, SAMOSOPRQVEN• I T T: >
8. u P R A V N E N I E. zAMKNUTYJ \RMITOW OPERATOR T SAMOSOPRQV•EN TTOGDA T \RMITOW.
x250. o PONQTII ANALITI^ESKOJ WEKTOR-FUNKCII
1. pUSTX E | BANAHOWO PROSTRANSTWO, ( C ) OTKRYTO. fUNKCIQ
F : ! E NAZYWAETSQ SILXNO-ANALITI^ESKOJ, ESLI
8 0 2 9" > 0 8 2 B" ( 0 ) (F ( ) = X1 ( , 0)nfn );
n=0
434
GDE \LEMENTY fn |
2 E NE ZAWISQT OT W KRUGE B" ( 0 ). |
|
|
|
|
||||||||||||
|
2. z A M E ^ A N I E. eSLI ' 2 E I F : |
! E SILXNO ANALITI^ESKAQ, |
|||||||||||||||
TO ' F : ! C |
| OBY^NAQ ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ. |
|
|
|
|
||||||||||||
dEJSTWITELXNO, W OBOZNA^ENIQH P. 1 IMEEM: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
' |
|
F ( ) = '(F ( )) = '( 1 ( |
0)nfn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
'(lim |
k |
nP=0 n , |
|
|
|
k |
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
( |
, |
0) fn ) = lim'( |
( |
, |
0 ) fn ) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
k k nP=0 |
|
|
k |
nP=0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
lim |
'(( |
, |
0)nfn ) = |
1 '(fn )( |
, |
0 )n; |
2 |
B" ( 0 ): |
|
> |
||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
k |
n=0 |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. u P R A V N E N I E. pUSTX F : |
! B(H ) | SILXNO ANALITI^ESKAQ |
|||||||||||||||
FUNKCIQ, A 2 B(H), TO A |
F; F A SILXNO ANALITI^ESKIE (ZDESX (A |
||||||||||||||||
F )( ) AF ( ); (F A)( ) F ( )A). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x251. sPEKTR OPERATORA I EGO SWOJSTWA
1. pUSTX SNA^ALA H | KONE^NOMERNOE GILXBERTOWO PROSTRANSTWO RAZ- MERNOSTI n. kAK UVE NAM IZWESTNO, IMEETSQ BIEKTIWNOE SOOTWETSTWIE MEVDU ALGEBROJ B(H) WSEH LINEJNYH OPERATOROW W H I ALGEBROJ n n- MATRIC: ZAFIKSIROWAW ORTONORMIROWANNYJ BAZIS (ej), SOPOSTAWIM OPERA- TORU A MATRICU [aij ], GDE aij = hAej; eii. w ^ASTNOSTI, ESLI OPERATOR A SAMOSOPRQVENNYJ• , ^ISLA aij SWQZANY RAWENSTWAMI: aij = aji (TAKIE MAT- RICY W KURSE LINEJNOJ ALGEBRY NAZYWA@TSQ \RMITOWYMI). nAPOMNIM, ^TO WEKTOR f 2 H (f 6= ) NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM WEKTOROM OPERATORA A, OTWE^A@]IM SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ 2 C , ESLI Af = f . mNOVES- TWO WSEH SOBSTWENNYH ^ISEL OBRAZUET TAK NAZYWAEMYJ SPEKTR OPERATORA A. dLQ SAMOSOPRQVENNYH• OPERATOROW IMEET MESTO ZAME^ATELXNYJ FAKT: MATRICA OPERATORA A W ORTONORMIROWANNOM BAZISE IZ SOBSTWENNYH WEK- TOROW \TOGO OPERATORA IMEET DIAGONALXNYJ WID; DRUGIMI SLOWAMI (W OBO- ZNA^ENIQH 243.3),
n
A = X jh ; ejiej (TO ESTX ajj = j; aij = 0 (i 6= j)):
j=1
dALEE MY OBOB]IM (DALEKO NE W POLNOJ MERE) \TI PONQTIQ NA BESKONE^- NOMERNYJ SLU^AJ.
435
2. pUSTX T | ZAMKNUTYJ PLOTNO ZADANNYJ OPERATOR W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H. mNOVESTWO
(T) f 2 C j I , T | OBRATIMg
NAZYWAETSQ REZOLXWENTNYM MNOVESTWOM OPERATORA T. w SOOTWETSTWII |
|
S 247.6 2 (T ) OZNA^AET, ^TO (I , T ),1 OGRANI^EN I OPREDELEN• WS@DU |
|
W H. mNOVESTWO (T) |
C n (T ) NAZYWAETSQ SPEKTROM OPERATORA T. |
wEKTOR f 2 D(T )nf g |
NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM WEKTOROM, OTWE^A@]IM |
SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@ , ESLI T f = f. eSLI W ^ASTNOSTI, 6= 0 | SOBSTWENNOE ZNA^ENIE T , TO 2 (T).
3. pUSTX T ZAMKNUT I PLOTNO ZADAN. tOGDA (T ) OTKRYTO (W C ) I
R( ) |
(I , T),1 ( |
2 |
(T )) | SILXNO ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ. sE- |
||||||||||||||||
MEJSTWO fR( )g 2 (T ) SOSTOIT IZ POPARNO KOMMUTIRU@]IH OPERATO- |
|||||||||||||||||||
ROW, PRI^•EM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
R( ) , R( ) = ( , )R( )R( ) (; 2 (T )): |
|
|
||||||||||||||
pUSTX 0 2 (T ). pROWERIM, ^TO W KRUGE j , 0j < kR( 0 )k,1 : |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R( ) = 1 |
(,1)n ( , 0)nR( 0 )n+1: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
tAK KAK ( 0I , T )R( 0) = I, IMEEM DLQ UKAZANNYH |
|
|
|
||||||||||||||||
(I |
, |
T ) 1 ( 1)n |
( |
, |
0)nR( 0)n+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
P |
|
|
1 |
|
, |
|
n |
, |
n |
n+1 |
|
|
|
|
|||
|
= ( 0I |
, |
|
n=0 |
( |
1) ( |
0 ) R( 0) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
T ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1P |
|
|
|
n |
|
|
n |
n+1 |
|
|
|
|
||
|
+ ( , 0) n=0 |
(,1) ( , |
0) R( 0) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
P n |
|
|
|
|
n |
|
n |
1 |
n |
n+1 |
n+1 |
|
||
|
= |
I + n=1 |
(,1) ( , 0) |
R( 0 ) + n=0(,1) ( , |
0 ) |
R( 0 ) |
= I: |
||||||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
tAKIM OBRAZOM, MY USTANOWILI PERWU@ ^ASTX UTWERVDENIQ. dALEE DLQ
; 2 (T ) IMEEM
R( ) , R( ) = R( )(I , T)R( ) , R( )(I , T )R( ) = R( )( , )R( ) = ( , )R( )R( ):
436
nAKONEC, ISPOLXZUQ DOKAZANNOE RAWENSTWO, POLU^AEM |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R( )R( ) = |
|
|
, [R( ) , R( )] = |
|
, [R( ) , R( )] |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= R( )R( ) ( = ): |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4. sPEKTR WSQKOGO OGRANI^ENNOGO OPERATORA QWLQETSQ NEPUSTYM |
||||||||||||||||||||||||||||||
KOMPAKTNYM MNOVESTWOM W C . |
|
k |
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 B |
|
|
|
|
|
|
j j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
pUSTX T |
|
(H). dLQ |
> |
|
T |
|
|
RQD 1 ,n,1T n |
SHODITSQ ABSOL@TNO |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W BANAHOWOM PROSTRANSTWE B(H ). pRQMYE WY^ISLENIQ DA@T: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
( I , T)( |
|
1 ,n,1T n) = ( 1 ,n,1Tn)( I |
, T) = I: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
iTAK, ( 1 |
,n,1T n) |
|
|
= R( ) |
) |
|
2 |
(T ). oTS@DA (T ) OGRANI^ENO I, |
|||||||||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
BUDU^I ZAMKNUTYM (SM. P. 3), KOMPAKTNO. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
dLQ PROWERKI NEPUSTOTY SPEKTRA ZAMETIM, ^TO j j > kT k ) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
T |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
kR( )k |
= k |
|
n=0 |
,nT nk |
|
|
n=0(k |
k)n |
= |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|||||||||||||
|
|
|
|
j |
|
j |
1 |
|
kT k |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
j j X j j |
|
|
|
|
|
, j j |
||||||||||
oTS@DA kR( )k ! 0 ( ! 1). dLQ PROIZWOLXNYH f; g 2 H RASSMOTRIM FUNKCIONAL 'f;g h( )f; gi 2 B(H) . w SILU 250.2 'f;g R | OBY^NAQ ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ NA (T). eSLI DOPUSTITX, ^TO (T ) = ; (A ZNA^IT,(T ) = C ), TO 'f;g R | ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ WO WSEJ KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI, PRI^•EM
'f;g (R( )) = jhR( )f; gij kR( )k kfk kgk ! 0 ( ! 1):
pO TEOREME lIUWILLQ IZ KOMPLEKSNOGO ANALIZA 'f;g |
R 0, TO ESTX |
|||||||||||
hR( )f; gi 0 (f; g 2 H), OTKUDA R( ) 0, | PROTIWORE^IE. |
|
> |
||||||||||
|
||||||||||||
5. z A M E ^ A N I E. iZ DOKAZATELXSTWA P. 4 SLEDUET, ^TO DLQ T 2 B(H ): |
||||||||||||
(T) f 2 C : j j kT kg. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. sPEKTR UNITARNOGO OPERATORA U LEVIT NA EDINI^NOJ OKRUVNOS- |
||||||||||||
TI S CENTROM W 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, U | OBRATIM, |
||
w SILU P. 5 2 (U ) ) j j 1: j j < 1 |
) I |
|||||||||||
I , U = ( U )(U , |
1 |
I ) ) ( I , U),1 = (U |
, |
1 |
I),1 |
( U ),1 2 B(H ) ) |
||||||
|
|
|||||||||||
2 (U ), TO ESTX 2 (U ) ) j j = 1: |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
437
7.eSLI T SAMOSOPRQV•EN, TO (T ) R.
dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO Im 6= 0 ) 2 (T ). pUSTX = a + ib; b = Im 6= 0. dLQ L@BOGO f 2 D(T ) (S U^•ETOM SAMOSOPRQV•ENNOSTI T)
k( I , T)fk2 = h(aI , T)f + ibf; (aI , T )f + ibfi |
|
|
||||||
= k(aI , T)fk2 + b2kfk2 b2kfk2: |
, |
|
||||||
1 |
, |
|
|
f g |
|
T ),1 |
||
iZ \TOJ OCENKI SLEDUET, ^TO Ker ( I |
|
|
T ) = |
|
, A ZNA^IT, ( I |
|
||
OPREDELEN• I LINEAL D(( I ,T ), ) = R( I ,T ) PLOTEN W H (SM. 248.4(iv)). |
||||||||
dALEE IZ \TOJ VE OCENKI IMEEM |
|
|
|
|
|
|
|
|
k( I , T ),1( I , T )fk = kfk |
|
1 |
k( I |
, T )fk (f 2 D(T )); |
|
|||
|
b |
|
||||||
|
|
j j |
|
|
|
|
||
\TO OZNA^AET, ^TO OPERATOR ( I ,T ),1 OGRANI^EN. kROME TOGO, \TOT OPERA- |
|||||||||
TOR ZAMKNUT |
(KAK |
OBRATNYJ |
K ZAMKNUTOMU OPERATORU), A ZNA^IT, |
||||||
D(( I , T),1) = H . iTAK, ( I , T),1 2 B(H): |
|
> |
|
||||||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
z A M E ^ A N I Q. 8. w P. 7 DLQ SAMOSOPRQVENNOGO• |
OPERATORA T POLU^ENA |
||||||||
|
k |
k |
j |
j |
6 |
|
|
|
|
OCENKA: |
|
R( ) |
|
1= Im (Im = 0). |
|
||||
9. sOBSTWENNYE WEKTORY, OTWE^A@]IE RAZLI^NYM SOBSTWENNYM ZNA- ^ENIQM SAMOSOPRQVENNOGO• OPERATORA ORTOGONALXNY: ESLI Af = f; Ag =
g ( 6= ), TO
hf; gi = 1h f; gi = 1hAf; gi = 1 hf; Agi = hf; gi
WLE^•ET hf; gi = 0.
f0; 1g.
11.eSLI T | ZAMKNUTYJ I PLOTNO ZADANNYJ OPERATOR, A U | UNI- TARNYJ OPERATOR, TO (UT U ) = (T ).
12.pOKAVITE, ^TO SPEKTR OPERATORA M UMNOVENIQ NA NEZAWISIMU@ PEREMENNU@ (SM. 249.4) W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE L2 (R) SOWPADAET SO WSEJ ^ISLOWOJ PRQMOJ.
438
urawneniq s kompaktnymi operatorami
x252. tEOREMA fREDGOLXMA
bUDEM RASSMATRIWATX W \TOM RAZDELE SEPARABELXNOE GILXBERTOWO PRO- STRANSTWO H. sLEDU@]AQ TEOREMA QWLQETSQ OSNOWOPOLAGA@]EJ DLQ DAN- NOGO RAZDELA.
pUSTX A | KOMPAKTNYJ OPERATOR W PROSTRANSTWE H. rASSMOTRIM URAWNENIE
(1) |
|
|
A = ; |
|
|
|
||
GDE 2 C |
| PARAMETR. tOGDA MNOVESTWO |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
f 2 C j URAWNENIE (1) IMEET NENULEWOE RE[ENIEg |
|
|
|
DISKRETNO (TO ESTX NE IMEET PREDELXNYH TO^EK), I ESLI 2 C n , |
TO |
|||||||
I , A OBRATIM. |
|
|
|
|||||
|
1 |
uTWERVDENIE O^EWIDNO, ESLI A = 0. pUSTX A = 0: pOLOVIM |
r |
= |
||||
|
|
|
0), ZAFIKSIRUEM 0 2 C I POKAVEM, ^TO |
6 |
|
|
||
2 |
A (> |
|
|
|
||||
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
0 f 2 Br ( 0 ) j URAWNENIE(1) IMEET NENULEWOE RE[ENIEg
| KONE^NOE MNOVESTWO, PRI^EM• 2 Br( 0)n 0 ) I, A OBRATIM. oTS@DA I SLEDUET TEOREMA (W SILU PROIZWOLXNOSTI 0 ).
pLAN DOKAZATELXSTWA: DLQ KRUGA Br( 0 ) POSTROIM SEMEJSTWO KONE^NO- MERNYH OPERATOROW fC ( )g 2Br( 0)
(i)I , A OBRATIM TTOGDA I , C ( ) OBRATIM,
(ii)URAWNENIE (1) IMEET NENULEWOE RE[ENIE TTOGDA \TIM SWOJSTWOM OB- LADAET URAWNENIE
(2) |
C( )' = ' |
439
(iii)1 f 2 Br( 0 ) j (2) IMEET NENULEWOE RE[ENIEg | KONE^NOE MNO- VESTWO,
(iv)2 Br ( 0)n 1 ) I , C ( ) OBRATIM.
w SILU (ii) OKAZYWAETSQ, ^TO 1 = 0 , ^TO ZAWER[AET DOKAZATELXSTWO TEO- |
|
|
|||||||||||||||||||||||
REMY. pRISTUPIM K POSTROENI@ SEMEJSTWA |
f |
C( ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
pUSTX B = i=1h ; fiigi (fgig | ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA) | KONE^- |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
NOMERNYJ OPERATOR TAKOJ, ^TO k 0A , Bk < |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
zAMETIM, ^TO 2 Br ( 0) ) I , A + B OBRATIM. f dEJSTWITELXNO, IZ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
OCENKI k A , Bk k A , 0Ak + k 0A , Bk < 1 I PREDSTAWLENIQ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
I |
|
|
A + B |
= |
|
A |
|
B |
|
|
|
1 |
|
|
|
I |
A , B |
|
|
|
|
|||
|
, |
k |
, |
k k A , Bk |
, k A , Bk |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
SLEDUET, ^TO |
|
|
1 |
(> 1) | REZOLXWENTNAQ TO^KA OPERATORA |
A , B |
: |
g |
||||||||||||||||||
|
k A , Bk |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
k A , Bk |
|
|||||
pOLOVIM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
GDE |
|
|
|
|
|||
|
C( ) = B(I , A + B), = iP=1h ; hi( )igi , |
hi |
( ) = (I , |
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
A + B), fi ( 2 Br( 0)), |
I UBEDIMSQ |
, |
^TO |
|
C ( ) | |
ISKOMOE SEMEJSTWO |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
KONE^NOMERNYH OPERATOROW. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(i) SLEDUET IZ RAWENSTWA I , A = (I , C ( ))(I , A + B). dEJSTWI- TELXNO, NEOBHODIMOSTX O^EWIDNA. dLQ PROWERKI DOSTATO^NOSTI POLOVIM
X = (I , A + B)(I , A),1. tOGDA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(I , C ( ))X = X(I |
, C( )) = (I , A + B)(I , A),1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
[(I , C ( ))(I , A + B)](I , A + B ),1 = I: |
|
|||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||
|
(ii). pUSTX = |
= A . tOGDA WEKTOR ' |
|
|
(I |
|
A + B) UDOW- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LETWORQET URAWNENI@ (2), |
' = , T.K. (I |
A + B) OBRATIM; OBRATNO, |
|||||||||||||||||
6 |
|
|
) |
6 |
|
|
, |
A + B), ' = A . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ' = C( )' |
|
= |
|
|
(I |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(iii) uRAWNENIE (2) SLEDUET RASSMATRIWATX W KONE^NOMERNOM PODPRO- |
||||||||||||||||||
STRANSTWE K |
= |
lin fg1; : : : ; gng, W KOTOROM ONO IMEET NENULEWOE RE[E- |
|||||||||||||||||
NIE TTOGDA IK , C( ) NE OBRATIM, T. E. TTOGDA (W BAZISE |
fg1; : : :; gng) |
||||||||||||||||||
d( ) det[IK , C ( )] = det[ ij , hgj ; hj ( )i] = 0. |
fUNKCII |
ij ( ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
hgj ; hj ( )i ( 2 Br( 0)) | |
ANALITI^ESKIE PO |
(!!), |
A ZNA^IT |
, |
W SILU TEORE |
- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
MY EDINSTWENNOSTI DLQ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ, LIBO 1 = f 2 Br( 0) j
440