А.Н.Шерстнев - Математический анализ
..pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
pUSTX Br = Br ( ) E (r > 0); PO USLOWI@ F = n=1 T (Bn ) = n=1 T (Bn ),. |
|||||||||||||||||||||||||||
pO TEOREME b\RA |
9 |
n |
2 |
N |
(T(Bn), |
= |
). |
pO\TOMU |
S |
S |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
9 2 T (Bn), 9" > 0 (B"( ) T(Bn),): |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
pLAN DOKAZATELXSTWA: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(i) |
USTANOWIM, ^TO 9 > 0 (B ( F ) T (B1 ),); |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
(ii) |
POKAVEM |
, |
^TO |
T (B1), T(B2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(iii) |
ZAMETIM |
, |
|
^TO |
8 |
" > 0 (T(B") |
= |
); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(iv) NAKONEC, WYWEDEM, ^TO DLQ KAVDOGO OTKRYTOGO U ( E) MNOVESTWO |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
T (U) OTKRYTO W F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(i) SLEDUET IZ ( ): B"( ) T(Bn |
),; " = |
T g ) B"( ) T(Bn(,g)), |
||||||||||||||||||||||||
T (Bn+kgk), |
I MOVNO POLOVITX |
= n + kgk . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
T(B1), ) 9f1 2 B1 |
|
|
|
T(B1=2), |
||||||||||||||||||||||||
|
|
(ii) 2 |
(k ,2T f1k < =2) |
) , T f1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
) 9f2 2 B1=2 (k |
, T f1 |
, T f2k < =2 ) ) |
, T f1 , T f2 2 T(B1=4), . |
|||||||||||||||||||||||||
|
pRODOLVAQ PROCESS, POLU^IM 9fn 2 B2,n (k ,T f1 |
,: : :,T fnk |
< 2,n) ) |
|||||||||||||||||||||||||
, T f1 , : : : , T fn 2 T (B2,n ), |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|||||||||||||||||
. pO\TOMU f i=1 fi 2 B2 ) = i=1 T fi = |
||||||||||||||||||||||||||||
T f 2 B2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
P |
||||
|
|
|
|
|
|
(ii): T (Bn), |
|
|
|
|
|
|
|
T(B2n) = |
|
T (B") = |
||||||||||||
|
" |
(iii) |
SLEDUET IZ |
|
T (B2n) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
T |
(B2n) |
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
6 ; ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2n |
|
|
6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SM |
|||
|
|
(iv) 2 T (U ) ) |
= T f; f |
2 U ) 9" > 0 (B"(f ) U) ) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
( . (iii)) |
||||||||||||||||||||||||||
+ T(B") |
T (U): |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
pOLU^IM TEPERX RQD SLEDSTWIJ DOKAZANNOJ TEOREMY. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
2.[nEPRERYWNOSTX OBRATNOGO OTOBRAVENIQ]. pUSTX T : E ! F | NE-
PRERYWNOE BIEKTIWNOE LINEJNOE OTOBRAVENIE BANAHOWA PROSTRANSTWA E NA BANAHOWO PROSTRANSTWO F . tOGDA T OBRATIMO.
dLQ L@BOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA U ( E) OTKRYTO MNOVESTWO (T ,1),1(U ) = T (U), TO ESTX T,1 NEPRERYWNO. >
3.pUSTX E | BANAHOWO PROSTRANSTWO OTNOSITELXNO KAVDOJ IZ
DWUH NORM k k1; k k2, PRI^•EM k k1 k k2. tOGDA SU]ESTWUET C > 0 TAKOE, ^TO k k2 Ck k1.
401
rASSMOTRIM TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE i : (E; k k2 ) ! (E; k k1 ); ONO
NEPRERYWNO ffn ! PO NORME k k2 ) kifnk1 = kfnk1 kfnk2 ! 0g ) (SM. P. 2) OBRATNOE (TAKVE TOVDESTWENNOE) OTOBRAVENIE j : (E; k k1) !
(E; k k2) NEPRERYWNO ) kfk2 = kjfk2 Ckfk1, GDE C = kjk: >
4. pUSTX E; F | BANAHOWY PROSTRANSTWA, T : E ! F | LINEJNO. gRAFIKOM OPERATORA T NAZYWAETSQ MNOVESTWO
,(T ) fff; T fg j f 2 Eg ( E F ):
5. [tEOREMA O ZAMKNUTOM GRAFIKE]. pUSTX E; F | BANAHOWY PRO-
STRANSTWA, T : E ! F | LINEJNO. oTOBRAVENIE T OGRANI^ENO TTOGDA ,(T) ZAMKNUTO W E F.
nEOBHODIMOSTX O^EWIDNA (!!). dOSTATO^NOSTX. pUSTX ,(T ) ZAMKNUTO. tOGDA ,(T ) | BANAHOWO PODPROSTRANSTWO PROSTRANSTWA E F . pUSTX p1 : ,(T ) ! E; p2 : ,(T) ! F | KANONI^ESKIE PROEKCII (SM. 99.6),
p1 : ,(T ) ! E | BIEKCIQ I PO P. 2 NEPRERYWNO OTOBRAVENIE p,1 , A
ZNA^IT, I T = p2 p,1: >
1
1
6. z A M E ^ A N I E. rASSMOTRIM 3 UTWERVDENIQ: (A) fn ! f;
(B) T fn ! g; (W) T f = g.
dOKAZATX NEPRERYWNOSTX T | ZNA^IT POKAZATX, ^TO IZ (A) SLEDUET (B) I (W). eSLI WOSPOLXZOWATXSQ TEOREMOJ P. 5 TO DOSTATO^NO DLQ \TOGO POKAZATX, ^TO IZ (A) I (B) SLEDUET (W).
402
ograni~ennye linejnye operatory w gilxbertowom prostranstwe
x232. tEOREMA OB ORTOGONALXNOM RAZLOVENII
1. nAPOMNIM (SM. 154.1), ^TO GILXBERTOWYM PROSTRANSTWOM NAZYWAET- SQ UNITARNOE PROSTRANSTWO, POLNOE OTNOSITELXNO NORMY, OPREDELQEMOJ SKALQRNYM PROIZWEDENIEM. zAMKNUTYJ LINEAL W GILXBERTOWOM PROSTRAN- STWE NAZYWAETSQ PODPROSTRANSTWOM. pODPROSTRANSTWO | SAMO GILXBER- TOWO PROSTRANSTWO OTNOSITELXNO INDUCIROWANNOGO SKALQRNOGO PROIZWE- DENIQ. nESOBSTWENNOE PODPROSTRANSTWO | \TO SAMO PROSTRANSTWO, WSE OSTALXNYE PODPROSTRANSTWA NAZYWA@TSQ SOBSTWENNYMI. tRIWIALXNOE POD- PROSTRANSTWO | \TO PODPROSTRANSTWO f g, SOSTOQ]EE IZ NULEWOGO WEKTO- RA, WSE OSTALXNYE PODPROSTRANSTWA NAZYWA@TSQ NETRIWIALXNYMI.
2. pUSTX H | GILXBERTOWO PROSTRANSTWO, K | EGO PODPROSTRAN- STWO, f 2 H. tOGDA SU]ESTWUET I EDINSTWEN \LEMENT g0 2 K NAILU^- [EGO PRIBLIVENIQ OTNOSITELXNO K (SM. 220.5).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g2K k |
|
, |
|
|
k |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
sU]ESTWOWANIE. pUSTX d = inf |
f |
|
|
g |
|
|
|
I gn |
|
K TAKOWY, ^TO d = |
||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
k |
|
, |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f |
|
gn |
|
. pOSLEDOWATELXNOSTX (gn ) FUNDAMENTALXNA: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
kgn , gmk2 = k(gn , f ) , (gm , f )k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2kgn , fk2 + 2kgm , fk2 , k , 2f + gn + gmk2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2kgn , fk |
|
+ 2kgm |
, fk |
|
|
|
, 4kf , |
2(gn + gm)k |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kgn , fk2 + 2kgm , fk2 |
|
, 4d2 ! 0 (m; n ! 1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
(WO WTOROM RAWENSTWE ISPOLXZOWANO RAWENSTWO PARALLELOGRAMMA 152.10(ii)). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
, |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET g0 = lim gn |
I d = |
|
|
f |
|
g0 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
eDINSTWENNOSTX: pUSTX |
f0 |
2 K | |
E]E ODIN \LEMENT NAILU^[EGO |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
PRIBLIVENIQ: d = kf , f0k. tOGDA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d kf , |
f0 + g0 |
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2[kf , f0k + kf , g0k] = d; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
I S U^ETOM |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OTKUDA |
|
|
I |
|||||||
152.10(iv) |
2(f |
, f0) = 2(f , g0); |
> 0; |
= 1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ZNA^IT, f0 = g0: |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
403
3. pUSTX H | GILXBERTOWO PROSTRANSTWO, M H . tOGDA
M? ff 2 H j 8g 2 M (hf; gi = 0)g
| PODPROSTRANSTWO H . eSLI K | PODPROSTRANSTWO H, TO K? NAZYWAETSQ
ORTOGONALXNYM DOPOLNENIEM K K.
4. [tEOREMA OB ORTOGONALXNOM RAZLOVENII]. pUSTX K | PODPROSTRAN-
STWO GILXBERTOWA PROSTRANSTWA H. tOGDA
(i) KAVDYJ WEKTOR f 2 H ODNOZNA^NO PREDSTAWIM W WIDE f = g + h,
GDE g 2 K; h 2 K? , (ii) K = K??.
oBOZNA^IM ^EREZ g \LEMENT NAILU^[EGO PRIBLIVENIQ K f OTNOSITELXNO
K I POLOVIM h = f , g. pOKAVEM, ^TO h 2 K? . eSLI d = inf kf , kk =
k2K
0 kh , hh;k k2ikk2 , d2 = d2 + jhh;kkij2 2 , jhh;kkij2 2 |
, jhh;kkij2 2 |
, d2 |
||
k k |
k k |
k k |
k k |
|
2 |
|
|
|
|
= ,jhh;kkij2 |
) hh; ki = 0 (k 2 K ) ) h |
2 K?: |
|
|
k k |
|
|
|
|
pOKAVEM TEPERX, ^TO PREDSTAWLENIE W (i) EDINSTWENNO. pUSTX |
|
|||
|
f = g0 + h0; GDE g0 2 K; h0 |
2 K?; |
|
|
| E]E• ODNO PREDSTAWLENIE f . tOGDA = (g |
, g0) + (h , h0) I, PRIMENQQ |
|||
TEOREMU pIFAGORA 152.10(i), POLU^AEM, ^TO g = g0; h = h0. o^EWIDNO, |
||||
K K?? = ff 2 H j 8g 2 K? (hf; gi |
= 0)g. oBRATNO, ESLI f 2 K?, |
|||
TO W SILU P. 4 f = g + h, GDE g 2 K; h 2 |
K?. uMNOVAQ OBE ^ASTI \TOGO |
|||
RAWENSTWA SKALQRNO NA h, POLU^AEM hh; hi = |
0 ) h = ) f = g 2 K: |
|
> |
|
|
||||
x233. oRTOGONALXNYE SUMMY GILXBERTOWYH PROSTRANSTW
1. pUSTX K1; : : : ; Kn | PODPROSTRANSTWA GILXBERTOWA PROSTRANSTWA H TAKIE, ^TO KAVDYJ WEKTOR f 2 H PREDSTAWIM W WIDE
|
2 |
|
h |
|
i |
6 |
f = k1 + : : : + kn ; kj |
|
Kj ; |
|
ki; kj |
|
= 0 (i = j): |
404
(w \TOM SLU^AE kj OPREDELENY ODNOZNA^NO (!!).) tOGDA GOWORQT, ^TO H
:: : Kn . w ^ASTNOSTI, H = K K?.
2.pUSTX Hj (j = 1; : : : ; n) | GILXBERTOWY PROSTRANSTWA (NAD PO- LEM ). oRTOGONALXNOJ SUMMOJ PROSTRANSTW Hj NAZYWAETSQ GILXBERTOWO PROSTRANSTWO H, \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ UPORQDO^ENNYE NABORY (f1; : : : ; fn) (fj 2 Hj ) SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM
n
h(f1; : : : ; fn ); (g1; : : : ; gn)i Xhfj ; gji:
j=1
(mY ISPOLXZUEM PREVNEE OBOZNA^ENIE H = H1 : : : Hn .) dOKAZATELXSTWO KORREKTNOSTI DANNOGO OPREDELENIQ PROWED<M NIVE W
BOLEE OB]EJ SITUACII:
3. oRTOGONALXNOJ SUMMOJ PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA (Hj )j2J GILXBER- TOWYH PROSTRANSTW NAZYWAETSQ GILXBERTOWO PROSTRANSTWO H (OBOZNA^A- ETSQ SIMWOLOM Hj ), \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ NABORY (fj )j2J ,
j2J
OBLADA@]IE SWOJSTWAMI:
(A) W KAVDOM NABORE NE BOLEE ^EM S^ETNOE• ^ISLO \LEMENTOW OTLI^NO OT NULQ,
(B) jP2J kfj k2 < +1.
wEKTORNAQ STRUKTURA W MNOVESTWE NABOROW WWODITSQ ESTESTWENNYM (POKO- ORDINATNYM) OBRAZOM, A SKALQRNOE PROIZWEDENIE OPREDELQETSQ FORMULOJ
( ) |
h(fj ); (gj )i |
X2 |
hfj ; gji: |
|
|
|
j |
J |
|
uBEDIMSQ W KORREKTNOSTI DANNOGO OPREDELENIQ. oTMETIM SNA^ALA, ^TO RQD W PRAWOJ ^ASTI ( ) SHODITSQ ABSOL@TNO (A ZNA^IT, SHODITSQ). |TO SLEDUET IZ (A) I OCENKI
X2 |
jhfj ; gjij |
X2 |
1 |
|
[kfjk2 + kgj k2 ] < +1: |
kfjk kgj k 2 |
|
||||
|
|
X2 |
|||
j J |
|
j J |
|
j |
J |
405
iZ \TOJ VE OCENKI SLEDUET, ^TO f; g |
|
j J Hj |
|
) |
f |
+ g |
|
|
j |
|
J Hj |
(!!), TAK |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
^TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Hj . pUSTX |
||||||
j |
|
J |
Hj | WEKTORNOE PROSTRANSTWO. pROWERIM POLNOTU |
|
j J |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
POSLEDOWATELXNOSTX f(n) |
= (f(n) ) FUNDAMENTALXNA I " > 0 PROIZWOLXNO. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tOGDA SU]ESTWUET N TAKOE, ^TO |
k |
f(n) |
, |
f |
(m) |
k |
2 < " PRI n; m > N . tEM |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
|
(m) |
k2 < " (n; m > |
|||||||||||||
BOLEE, DLQ KAVDOJ KONE^NOJ ^ASTI |
J : |
j |
2 |
kfj |
|
, fj |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
N). tAK KAK Hj POLNY, SU]ESTWU@T fj |
|
|
|
P(n) |
2 |
Hj (j |
2 |
|
). uSTREMLQQ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
= limfj |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
K |
|
|
|
|
NAHODIM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tAK KAK |
|
|
|
|
|
PROIZWOLXNOE |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
m |
|
+1, |
|
jP2 kfj |
|
,fjk " (n > N). |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
(n) |
|
2 |
||||||||||||||||||||||
KONE^NOE PODSEMEJSTWO |
J, |
IMEEM S U^ETOM TREBOWANIQ A |
|
|
|
J kfj |
,fjk |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ): j |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
". tAKIM OBRAZOM, f |
, |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
j J |
Hj , GDE f = (fj ). sLEDOWATELXNO, f = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f(n) |
|
|
(f(n) f ) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" : f(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Hj , I IZ PROIZWOLXNOSTI |
|
|
f (n |
|
|
): |
|
> |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
, |
|
|
, |
j J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. p R I M E R. w ^ASTNOSTI, WZQW ORTOGONALXNU@ SUMMU S^•ETNOGO ^ISLA \KZEMPLQROW C 1, MY PRIHODIM K IZWESTNOMU KOORDINATNOMU GILXBERTOWU PROSTRANSTWU `2, \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ POSLEDOWATELXNOSTI f = (f1; f2; : : :) KOMPLEKSNYH ^ISEL SO SWOJSTWOM
x234. rAZMERNOSTX GILXBERTOWA PROSTRANSTWA
1. mY UVE WSTRE^ALISX S ORTONORMIROWANNYMI SISTEMAMI WEKTOROW W UNITARNYH PROSTRANSTWAH (SM. x155). oTME^ALASX TAKVE WAVNAQ ROLX POLNYH ORTONORMIROWANNYH SISTEM: KAVDYJ WEKTOR RAZLAGAETSQ PO TA- KOJ SISTEME W RQD fURXE (SM. 155.7(B)). w SOOTWETSTWII S \TIM WSQKU@ POLNU@ ORTONORMIROWANNU@ SISTEMU WEKTOROW W UNITARNOM PROSTRANST- WE BUDEM NAZYWATX ORTONORMIROWANNYM BAZISOM. eSTESTWENNO WOZNIKAET WOPROS O SU]ESTWOWANII ORTONORMIROWANNOGO BAZISA.
2. w KAVDOM GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE SU]ESTWUET ORTONORMI- ROWANNYJ BAZIS.
rASSMOTRIM SEMEJSTWO WSEH ORTONORMIROWANNYH SISTEM WEKTOROW W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE, UPORQDO^ENNOE PO WKL@^ENI@. |TO UPORQ- DO^ENNOE MNOVESTWO INDUKTIWNO (!!), I PO TEOREME cORNA (PRIL. III, P. 11) SU]ESTWUET MAKSIMALXNAQ ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA. |TA SISTEMA NEOBHODIMO ZAMKNUTA W SMYSLE 155.8 fINA^E K NEJ MOVNO BYLO BY PRI- SOEDINITX E]E• ODIN WEKTOR, ^TO PROTIWORE^ILO BY E•E MAKSIMALXNOSTIg.
406
w SILU 155.9 \TA SISTEMA POLNA, A ZNA^IT, QWLQETSQ ORTONORMIROWANNYM BAZISOM. >
sLEDU@]EE UTWERVDENIE POZWOLQET GOWORITX OB ORTOGONALXNOJ RAZ- MERNOSTI GILXBERTOWA PROSTRANSTWA.
3. wSE ORTONORMIROWANNYE BAZISY W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE RAWNOMO]NY.
pUSTX (fj)j2J I (ei)i2I | DWA ORTONORMIROWANNYH BAZISA W GILXBERTO- WOM PROSTRANSTWE H . eSLI Card J; Card I < @0 (SM. PRIL. III), TO UTWERV- DENIE SLEDUET IZ WYKLADKI (S U^ETOM 155.7(G)):
Card J |
= |
j kfjk2 |
= |
j i jhfj; eiij2 |
= |
|
i j |
jhfj ; eiij2 = i keik2 |
|
|
|||||||||||
|
= |
P |
|
|
|
P P |
|
|
|
P P |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
Card I: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
iTAK, PUSTX Card J; Card I |
@ |
0 I Ji = |
f |
j |
2 |
J |
j |
h |
fj; ei |
= 0 |
g |
(i |
2 |
I); |
|||||||
OTMETIM SM |
|
|
^TO |
|
|
|
|
|
|
|
i 6 |
|
|
||||||||
. 155.5), |
Card Ji @0. |
tOGDA |
J = |
i I |
Ji |
I W SILU P |
. 17 |
||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
S2
PRIL. III Card J CardI. pOMENQW MESTAMI W PRIWED•ENNOM RASSUVDENII BAZISY (fj )j2J I (ei )i2I , POLU^IM Card J Card I: >
x235. sEPARABELXNYE GILXBERTOWY PROSTRANSTWA
w PRILOVENIQH ^A]E WSEGO ISPOLXZU@TSQ SEPARABELXNYE (SM. 95.5) GILXBERTOWY PROSTRANSTWA. oTMETIM, ^TO E]E• W 30-E GODY TREBOWANIE SEPARABELXNOSTI DAVE WKL@^ALOSX W AKSIOMATIKU GILXBERTOWYH PROSTRANSTW. iMEET MESTO SLEDU@]IJ PROSTOJ KRITERIJ SEPARABELXNOSTI:
1. gILXBERTOWO PROSTRANSTWO SEPARABELXNO TTOGDA ONO OBLADAET NE BOLEE ^EM S^•ETNYM ORTONORMIROWANNYM BAZISOM.
nA^NEM• S POLEZNOJ KONSTRUKCII ORTOGONALIZACII:
2. [pROCESS ORTOGONALIZACII gRAMA]. dLQ ZADANNOJ (NE BOLEE ^EM S^•ETNOJ) LINEJNO NEZAWISIMOJ SISTEMY ff1; f2; : : :g WEKTOROW UNITARNOGO PROSTRANSTWA MOVNO POSTROITX ORTONORMIROWANNU@ SISTEMU fe1; e2; : : :g TAK, ^TO SOWPADA@T LINEALY, POROVDENNYE• \TIMI SISTEMAMI.
sISTEMA fe1; e2; : : :g |
STROITSQ INDUKTIWNO SLEDU@]IM OBRAZOM: e1 = |
||||||||||
f1 |
|
; ESLI e1; : : : ; ek |
, |
1 UVE POSTROENY, POLOVIM |
|
|
|
||||
kf1k |
|
|
|
||||||||
|
|
k,1 |
|
|
k,1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
hfk; ejiej k,1 |
|
|
|
|
||
|
|
ek = kfk , |
X |
(fk , |
X |
hfk; ejiej ): |
|
> |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
j=1 |
|
|
|
407
3. |
dOKAZATELXSTWO P |
. 1. |
dOSTATO^NOSTX. pUSTX |
fe1; e2; : : :g |
| |
OR |
- |
|||||
|
|
|
|
n |
|
|||||||
TONORMIROWANNYJ BAZIS W H. tOGDA MNOVESTWO fj=1(pj + iqj)ej j |
|
pj ; qj 2 |
||||||||||
Q; n 2 Ng S^ETNO• I PLOTNO W H (!!). |
|
P |
|
|
|
|
|
|
||||
nEOBHODIMOSTX. pUSTX |
fg1; g2 |
; : : :g |
S^ETNOE PLOTNOE W |
H |
MNO |
- |
||||||
|
|
|
|
| • |
|
|
|
|||||
VESTWO (NE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI, MOVNO S^ITATX, ^TO SREDI \LEMENTOW \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI NET NULEWOGO \LEMENTA ). pUSTX fh1; h2; : : :g | MAKSIMALXNAQ LINEJNO NEZAWISIMAQ ^ASTX \TOGO MNOVESTWA (EE• MOVNO POLU^ITX SLEDU@]IM OBRAZOM: POLOVIM h1 = g1; ESLI h1; : : : ; hk,1 UVE POSTROENY, POLOVIM hk = gj , GDE j = minfn j SISTEMA fh1; : : : ; hk,1; gng LINEJNO NEZAWISIMA g). pOLU^ENNU@ SISTEMU fh1; h2; : : :g ORTOGONALIZUEM METODOM gRAMA. pOLU^IM ORTONORMIROWANNU@ SISTEMU fe1; e2; : : :g. oNA POLNA. dEJSTWITELXNO, PUSTX f 2 H I " > 0 PROIZWOLXNY. tOGDA NAJD•ETSQ gk TAKOE, ^TO kf , gkk < ". w SOOTWETSTWII S KONSTRUKCIEJ SISTEMY fh1; h2; : : :g WEKTOR gk QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ \LEMENTOW hj , A ZNA^IT, (W SILU KONSTRUKCII P. 2) LINEJNOJ KOMBINACIEJ ej :
nn
gk = |
X |
jej ; |
kf , |
X |
jejk < ": |
|
j=1 |
j=1 |
|||||
|
|
|
|
iZ 155.6 SLEDUET, ^TO (ej ) | ORTONORMIROWANNYJ BAZIS W H.
4. p R I M E R. L2 [0; 1] | SEPARABELXNOE GILXBERTOWO PROSTRANSTWO fW SOOTWETSTWII S 161.2 I 221.12 W \TOM PROSTRANSTWE SU]ESTWUET S^•ETNYJ ORTONORMIROWANNYJ BAZISg.
x236. iZOMORFNYE GILXBERTOWY PROSTRANSTWA
1. gILXBERTOWY PROSTRANSTWA H I K (NAD ODNIM POLEM ) NAZYWA- @TSQ IZOMORFNYMI, ESLI SU]ESTWUET LINEJNAQ BIEKCIQ U : H ! K, SOHRANQ@]AQ SKALQRNOE PROIZWEDENIE:
( ) |
hUf; UgiK = hf; giH (f; g 2 H): |
2. gILXBERTOWY PROSTRANSTWA IZOMORFNY TTOGDA ONI OBLADA@T RAWNOMO]NYMI ORTONORMIROWANNYMI BAZISAMI.
pUSTX GILXBERTOWY PROSTRANSTWA H I K IZOMORFNY, U | SOOTWET- STWU@]IJ IZOMORFIZM I (ej )j2J | POLNAQ ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA W H . tOGDA (Uej )j2J | ORTONORMIROWANNAQ SISTEMA W K. pOKAVEM, ^TO
408
(Uej)j2J POLNA W K . pUSTX g 2 K PROIZWOLEN I f 2 H TAKOW, ^TO Uf = g. tOGDA (SM. 155.7)
jX2J jhg; Uejij2 = jX2J jhf; ejij2 = kfk2 = kgk2;
OTKUDA SNOWA W SILU 155.7 SLEDUET, ^TO (Uej )j2J POLNA.
pUSTX GILXBERTOWY PROSTRANSTWA H I K OBLADA@T RAWNOMO]NYMI POLNYMI ORTONORMIROWANNYMI SISTEMAMI (ej )j2J H; (hj )j2J K (IH MOVNO ZANUMEROWATX ODNIM INDEKSOM). oPREDELIM U : H ! K RAWENST- WOM
|
|
|
|
|
|
Uf |
X2 |
hf; ejihj (f |
2 H ): |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
j J |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
rQD, STOQ]IJ SPRAWA, SHODITSQ, TAK KAK DLQ L@BOJ KONE^NOJ ^ASTI |
||||||||||||||||||||
|
k j hf; ejihjk |
2 |
= j |
|
|
jhf; ejij |
2 |
kfk |
2 |
.g oTOBRAVENIE U SOHRANQET |
|||||||||||
J : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
P |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
WEKTORNYE OPERACII (!!). pOKAVEM, ^TO U | BIEKCIQ H NA K. dLQ PRO- |
|||||||||||||||||||||
IZWOLXNOGO g 2 K : g = j |
|
|
Jhg; hj ihj |
|
) g = |
Uf, GDE f = j Jhg; hjiej 2 H, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
T. E. U | S@R_EKCIQ; U SOHRANQET SKALQRNOE PROIZWEDENIE: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
|
hUf; UgiK = h |
hf; ejihj ; |
hg; ejihji = |
hf; ejihg; eji = hf; giH : |
|||||||||||||||||
|
j J |
j |
J |
j J |
|||||||||||||||||
oTS@DA VE SLEDUET, ^TO U | IN_EKCIQ. >
3. s L E D S T W I E. wSE BESKONE^NOMERNYE SEPARABELXNYE GILXBERTOWY PROSTRANSTWA IZOMORFNY MEVDU SOBOJ I IZOMORFNY PROSTRANSTWU `2.
|
x237. tEOREMA rISSA |
|
1. t E O R E M A [f. rISS]. pUSTX H | GILXBERTOWO PROSTRANSTWO. |
tOGDA DLQ L@BOGO ' 2 H SU]ESTWUET I OPREDEL•EN ODNOZNA^NO WEKTOR |
|
g 2 H TAKOJ, ^TO |
|
( ) |
'(f ) = hf; gi (f 2 H ): |
pRI \TOM k'k = kgk.
oTMETIM SNA^ALA, ^TO LINEAL M ff 2 H j '(f) = 0g | POD-
PROSTRANSTWO H (SM. 232.1). dOSTATO^NO, O^EWIDNO, RASSMOTRETX SLU^AJ,
409
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
M?. pOLO- |
|||
KOGDA M | SOBSTWENNOE PODPROSTRANSTWO H. pUSTX = h |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
VIM g = |
|
'(h)h. zAMETIW, ^TO '(h)f |
, |
|
'(f)h |
2 |
M PRI L@BOM |
f |
2 |
H, |
||||||||||
IMEEM |
|
khk2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
'(h) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
'(f) = |
|
h'(h)f |
, '(f )h + '(f)h; hi |
= khk2 hf; hi = hf; gi (f |
2 H): |
|||||||||||||||
khk2 |
||||||||||||||||||||
eSLI k | E]E• ODIN WEKTOR, UDOWLETWORQ@]IJ ( ), TO |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
kg , kk2 = hg , k; gi , hg , k; ki = '(g , k) , '(g , k) = 0: |
|
|
||||||||||||||||||
nAKONEC, RAWENSTWO NORM SLEDUET IZ OCENOK: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
k'k kgk = j'( |
h |
)j k'k: |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
khk |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. sOOTWETSTWIE '(2 H ) |
! g(2 |
H ) W TEOREME rISSA ANTILINEJNO: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
' ! g; |
|
! h ) |
' + |
! g + |
|
h ( ; 2 C ). oNO, KROME TOGO, |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
BIEKTIWNO I IZOMETRI^NO, A RAWENSTWO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
h'; |
i hh; giH (GDE ' ! g; |
|
! h ('; |
2 H )) |
|
|
|
|
||||||||||
ZADAET• W H STRUKTURU GILXBERTOWA PROSTRANSTWA, I UKAZANNOE W TEORE- ME rISSA SOOTWETSTWIE OSU]ESTWLQET ANTIIZOMORFNOE OTOBRAVENIE GILX- BERTOWA PROSTRANSTWA H NA H (!!).
iZ TEOREMY rISSA WYTEKAET SLEDSTWIE PRINCIPA RAWNOMERNOJ OGRA- NI^ENNOSTI 230.1 DLQ GILXBERTOWA PROSTRANSTWA:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g2L jh |
|
|
|
ij |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
3. |
pUSTX L |
|
H I sup |
f; g |
|
|
|
< + DLQ L@BOGO f |
|
H. tOGDA |
|||||||||||||||
g2L k |
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup g |
|
< + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dLQ g 2 L POLOVIM 'g h ; gi. tOGDA M |
f'g j |
g |
2 Lg H I |
||||||||||||||||||||||
'g2M j |
|
|
j |
|
g2L jh |
|
|
ij |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
sup 'g(f ) = sup |
f; g |
|
< + |
|
DLQ KAVDOGO |
f |
|
H . |
iZ |
230.1 |
I TEOREMY |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
g2L k |
k |
|
'g2M k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
rISSA sup |
g |
|
= sup |
'g |
|
< + |
|
|
: |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO GILXBERTOWY PROSTRANSTWA H I H IZOMORFNY. dLQ H = `2 UKAVITE QWNYJ WID \TOGO IZOMORFIZMA.
410