А.Н.Шерстнев - Математический анализ
..pdf
TAKOE, ^TO FUNKCII ; ; WMESTE S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI @@x; @@y; @@z
OBLADA@T NEPRERYWNYM PRODOLVENIEM NA G,. dIWERGENCIEJ WEKTORNOGO POLQ a NAZYWAETSQ FUNKCIQ div a : G, ! R, ZADANNAQ FORMULOJ
@ @ @
(div a)(x; y; z) = @x (x; y; z) + @y (x; y; z) + @z (x; y; z)
(FORMALXNO div a = hr; ai).
2. wWED•EM POLEZNOE W TEHNI^ESKOM OTNO[ENII PONQTIE. nAZOW•EM OB- LASTX@ TIPA (z) OBLASTX G (SM. rIS. 27), OGRANI^ENNU@ POWERHNOSTQMI
1 : z = f1(x; y); (x; y) 2 R2; 2 : z = f2 (x; y); (x; y) 2 ;
3 | BOKOWAQ POWERHNOSTX CILINDRA S OSNOWANIEM I OBRAZU@]IMI, PARALLELXNYMI OSI OZ. aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ OBLASTI TIPA (x) I
(y).
3. pUSTX a(x; y; z) | WEKTORNOE POLE W OBLASTI G, UDOWLETWORQ@- ]EE PREDPOLOVENIQM P. 1, | POWERHNOSTX, OGRANI^IWA@]AQ OBLASTX
G I ORIENTIROWANNAQ WNE[NEJ (K OBLASTI G) NORMALX@ n. dOPUSTIM, |
|||
|
|
n |
|
^TO SU]ESTWUET PREDSTAWLENIE G = |
Gk, GDE Gk | OBLASTI TIPOW |
||
|
\ |
k=1 |
6 |
|
; |
||
(x); (y); (z) ODNOWREMENNO, I Gi |
|
Gj = S (i = j). tOGDA |
|
Z Z Z (div a) dxdydz = Z ha; ni: |
|||
G |
|
|
|
pUSTX POLE a TAKOWO, ^TO (x; y; z) = (x; y; z) = 0 ((x; y; z) 2 G) I G
QWLQETSQ OBLASTX@ TIPA (z), OPISANNOJ W P. 2. iMEEM TOGDA
|
|
@ |
f1(x;y) @ |
|||
Z Z Z (div a) dxdydz = |
Z Z Z |
|
dxdydz = Z Z |
dxdyZf2(x;y) |
|
dz |
@z |
@z |
|||||
G |
G |
|
|
|
|
|
= |
Z Z [ (x; y; f1(x; y)) , (x; y; f2(x; y))] dxdy |
|||||
= |
Z (x; y; z)dxdy + Z (x; y; z)dxdy: |
|||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
301
tAK KAK DLQ KUSKA POWERHNOSTI 3 ORT NORMALI n ORTOGONALEN WEKTORU k; Z (x; y; z) dxdy = 0. pRIBAWLQQ \TOT INTEGRAL K PRAWOJ ^ASTI POLU-
3
^ENNOGO RAWENSTWA, IMEEM
Z Z Z |
(div a) dxdydz = |
Z |
(x; y; z) dxdy; |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
||
I UTWERVDENIE DOKAZANO.
pUSTX TEPERX G QWLQETSQ OBLASTX@ TIPOW (x); (y) I (z) ODNOWREMEN- NO, I WEKTORNOE POLE a UDOWLETWORQET USLOWIQM P. 1. tOGDA DLQ OB]EGO WEKTORNOGO POLQ S U^•ETOM DOKAZANNOGO WY[E
Z Z Z (div a) dxdydz = |
Z Z Z |
@ |
|
|
|
||
@x dxdydz |
|
|
|||||
G |
|
G |
|
|
|
|
|
+ Z Z Z |
@ |
dxdydz + Z Z Z |
@ |
dxdydz |
|||
@y |
@z |
||||||
|
Z |
G |
|
|
G |
|
|
= |
(x; y; z) dydz + (x; y; z)dzdx + (x; y; z) dxdy |
||||||
= Z dydz + dzdx + dxdy:
nAKONEC, W SAMOM OB]EM SLU^AE RASSMOTRIM PREDSTAWLENIE G = n Gk W
|
k=1 |
USLOWIQH TEOREMY. pO DOKAZANNOMU |
S |
Z Z Z (div a) dxdydz = |
Z ha; ni; |
Gk |
k |
GDE k | POWERHNOSTI, OGRANI^IWA@]IE Gk I ORIENTIROWANNYE WNE[NEJ NORMALX@. tOGDA
G |
n |
Gk |
n |
X |
X k |
||
Z Z Z (div a) dxdydz = k=1 Z Z Z |
(div a) dxdydz = k=1 Z ha; ni: |
||
pRI \TOM KAVDAQ IZ POWERHNOSTEJ k RASPADAETSQ NA KUSKI DWUH TIPOW:
(1) KUSKI, QWLQ@]IESQ ^ASTX@ POWERHNOSTI , (2) NOWYE KUSKI, WOZNIK- [IE PRI RAZLOVENII G NA ^ASTI Gk . kUSKI TIPA (2) WSTRE^A@TSQ W SUMME
302
n
P Z ha; ni DWAVDY KAK KUSKI, OGRANI^IWA@]IE SMEVNYE OBLASTI (ONI
k=1 k
SNABVENY PROTIWOPOLOVNYMI ORIENTACIQMI), TAK ^TO SOOTWETSTWU@]IE POWERHNOSTNYE INTEGRALY WZAIMNO UNI^TOVA@TSQ I OSTA@TSQ LI[X IN- TEGRALY PO KUSKAM TIPA (1).
4. s L E D S T W I E. dLQ OBLASTI G W USLOWIQH P. 3
m(G) = 1Z x dydz + y dzdx + z dxdy:
3
k WEKTORNOMU POL@ a(x; y; z) = xi +yj + zk PRIMENIM FORMULU P. 2. > tAKIM OBRAZOM, POLU^ENA FORMULA WY^ISLENIQ OB_EMA OBLASTI ^EREZ
POWERHNOSTNYJ INTEGRAL.
5. z A M E ^ A N I E. iZ FORMULY gAUSSA-oSTROGRADSKOGO USMATRIWAETSQ FIZI^ESKIJ SMYSL DIWERGENCII. pUSTX W G IMEET MESTO STACIONARNOE
TE^ENIE VIDKOSTI, SKOROSTX KOTOROJ W KAVDOJ TO^KE (x; y; z) 2 |
G RAWNA |
||||||
a(x; y; z). pUSTX | POWERHNOSTX [ARA B |
(x |
0 |
; y ; z |
0 |
), ORIENTIROWANNAQ |
||
" |
" |
|
0 |
|
|
||
WNE[NEJ NORMALX@. iMEEM |
|
|
|
|
|
|
|
Z Z Z |
(div a) dxdydz = Z ha; ni: |
|
|
|
|||
B" |
" |
|
|
|
|
|
|
pRAWAQ ^ASTX | KOLI^ESTWO VIDKOSTI, WYTEKA@]EE WNE B" ZA EDINICU
WREMENI. pO TEOREME O SREDNEM (div a)(x1; y1; z1 ) = V1 R ha; ni, GDE V" |
" "
OB_EM [ARA, A (x1; y1; z1) 2 B" (x0; y0; z0). uSTREMLQQ " K 0, IMEEM
(div a)(x0; y0; z0) = lim 1 Z ha; ni:
"!0 V" "
tAKIM OBRAZOM, (div a)(x0; y0; z0) | PROIZWODITELXNOSTX ISTO^NIKA W TO^- KE (x0; y0; z0). w ^ASTNOSTI, ESLI (div a)(x0; y0; z0 ) < 0, TO W TO^KE IMEET MESTO STOK.
x190. fORMULA sTOKSA
1. pRIWED•EM SNA^ALA FORMULU ZAMENY PEREMENNYH DLQ INTEGRALOW PO ORIENTIROWANNYM PLOSKIM OBLASTQM. pUSTX NA PLOSKOSTI R2 TO^EK
303
(u; v) ZADANA ORIENTIROWANNAQ OBLASTX , OGRANI^ENNAQ KONTUROM , I ZADANO BIEKTIWNOE NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE PREOBRAZOWANIE x = x(u; v); y = y(u; v) OBLASTI NA OBLASTX 0 PEREMENNYH (x; y), OGRANI- ^ENNU@ KONTUROM 0, PRI^EM•
|
|
@x |
|
@x |
|
|
|
|
J(u; v) = |
|
@u |
|
@v |
|
= 0: |
||
|
|
@y |
|
@y |
|
|
6 |
|
|
@u |
|
@v |
|
|
|||
pRI \TOM PREOBRAZOWANII OBHOD KONTURA INDUCIRUET OBHOD 0 I TEM SA- MYM 0 TAKVE ORIENTIROWANA (PI[EM 0 ). eSLI PRI OBHODE OBLASTX OSTAETSQ• , NAPRIMER, SLEWA I J (u; v) > 0 (SOOTWETSTWENNO J (u; v) < 0), TO PRI OBHODE KONTURA 0 TO^KI OBLASTI 0 OSTA@TSQ SLEWA (SOOTWETSTWEN- NO SPRAWA). eSLI f (x; y) | NEPRERYWNAQ NA OBLASTI 0 FUNKCIQ, TO IZ SKAZANNOGO IMEEM
|
|
|
|
Z |
0Z f (x; y)dxdy = Z Z f(x(u; v); y(u; v))J(u; v)dudv |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(W \TOJ FORMULE QKOBIAN BERETSQ• |
UVE BEZ ZNAKA MODULQ). |
|
|
||||||
|
2. [fORMULA sTOKSA]. pUSTX | ORIENTIROWANNAQ GLADKAQ POWERH- |
||||||||
NOSTX S NEPRERYWNYM KUSO^NO-GLADKIM KRAEM TAKAQ, ^TO = |
n |
|
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
k |
( k |
\ |
j |
= |
; |
; |
|
|
S |
|
(k = j )), GDE k | GLADKIE KUSKI, BIEKTIWNO PROEKTIRU@- |
|||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||
]IESQ NA WSE TRI KOORDINATNYE PLOSKOSTI. tOGDA
Z hrot a; ni = Z ha; i;
GDE ORIENTACIQ KRIWOJ SOGLASOWANA S ORIENTACIEJ POWERHNOSTI.
uTWERVDENIE DOSTATO^NO DOKAZATX DLQ ODNOGO GLADKOGO KUSKA. dALEE, TAK KAK rota | ADDITIWNAQ FUNKCIQ WEKTORNOGO ARGUMENTA, DOSTATO^NO RASSMOTRETX SLU^AJ POLQ a(x; y; z) = (x; y; z)i (TO ESTX = = 0). pUSTXOPISYWAETSQ URAWNENIQMI
z = h(x; y) (x; y) 2 z; |
y = g(z; x) (z; x) 2 y |
304
(KAVDOE IZ UKAZANNYH URAWNENIJ ZADA•ET ). tOGDA
|
|
|
i |
|
rota |
= |
@ |
|
@x |
||
|
|
|
|
Z h |
rot a; n |
= |
|
i |
Z Z |
||
|
|
y |
|
jk
|
@ |
|
@ |
|
@ |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
@y |
|
@z |
= @z j , @y k; |
|
|
||||||
0 |
0 |
|
, Z Z |
@y |
||||||||
@z |
|
|
||||||||||
@ |
(x; g(z; x); z) dzdx |
|
|
|
@ |
(x; y; h(x; y)) dxdy: |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
z
dELAQ W 1-M INTEGRALE ZAMENU PEREMENNYH |
x |
||||||||
|
@h |
|
@h |
|
|
@h |
|
|
|
J (z; x) = @x |
|
@y |
= , |
I (S U^ETOM• |
P. 1) |
|
|||
|
@y |
|
|||||||
Z |
hrot a;1ni =0 |
|
, |
ZzZ |
[ |
@ |
(x; y; h(x; y)) |
@h |
+ |
||
|
|
|
@z |
@y |
|||||||
|
= |
|
,Z Z |
d |
(x; y; h(x; y))dxdy |
||||||
|
|
dy |
|||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
! x; z ! h(x; y), IMEEM
@@y (x; y; h(x; y))] dxdy
= Z (x; y; h(x; y)) dx:
z
w POSLEDNEM RAWENSTWE ISPOLXZOWANA FORMULA gRINA, I z | KONTUR, QW-
LQ@]IJSQ GRANICEJ OBLASTI , OBHOD KOTOROGO SOGLASOWAN S ORIENTACIEJ |
|||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
. eSLI PARAMETRIZOWANA DLINOJ DUGI s (W NAPRAWLENII WOZRASTANIQ |
|||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
(s); (s)g (0 |
|
|
s), TO MY IMEEM PARU f ; p : [0; `] ! R3g, GDE p(s) = f'(s); |
|
||||||||
s `g I (s) = h('(s); (s)). tOGDA KONTUR z |
TAKVE PARAMETRIZUETSQ |
||||||||
PARAMETROM s S POMO]X@ OTOBRAVENIQ pz (s) = ('(s); |
(s); 0)(0 s |
`) |
|||||||
\TO UVE NE DLINA DUGI DLQ |
z !), |
PRI^EM ORIENTACII |
z |
I |
|
SOGLASOWANY |
, |
||
( |
• |
|
|
|
|
||||
TAK ^TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z (x; y; h(x; y)) dx = |
Z0` ('(s); (s); h('(s); (s))'0(s)ds |
|
|
||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z ` ('(s); (s); (s))'0(s)ds = Z ha; i: >
0
3. z A M E ^ A N I E. fORMULA sTOKSA WERNA I DLQ SLU^AQ, KOGDA | KUSOK, LEVA]IJ W ODNOJ IZ KOORDINATNYH PLOSKOSTEJ (BOLEE OB]O, W PLOSKOSTI, PARALLELXNOJ ODNOJ IZ KOORDINATNYH PLOSKOSTEJ). eSLI,
305
NAPRIMER, LEVIT W PLOSKOSTI z = 0, TO |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Z |
|
|
|
i |
j |
|
k |
|
Z Z |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= Z |
|
@ |
|
@ |
|
@ |
|
|
|
|
@ |
|
@ |
|
|
hrot a; ni |
h |
@x |
@y |
|
@z |
; ki = |
|
( |
@x , @y )dxdy |
||||||
|
|
= Z |
dx + dy = Z |
ha; i |
|
|
|
|
|
|
||||||
(POSLEDNEE RAWENSTWO WERNO, TAK KAK WEKTOR ORTOGONALEN k).
306
mera lebega
w \TOM RAZDELE KURSA MY WOZWRA]AEMSQ K PROBLEME MEROOPREDELENIQ, NA^ATOJ W RAZDELE \mERA vORDANA". w x113 BYLO DOKAZANO, ^TO PLO]ADX PRQMOUGOLXNIKA W R2 OBLADAET SWOJSTWOM S^ETNOJ• ADDITIWNOSTI (SWOJ- STWOM SU]ESTWENNO BOLEE GLUBOKIM, ^EM OBY^NAQ ADDITIWNOSTX). |TO SWOJSTWO LEGLO W OSNOWU PO SU]ESTWU PRINCIPIALXNO NOWOJ TEORII MERO- OPREDELENIQ I SWQZANNOJ S NEJ TEORII INTEGRIROWANIQ, OSNOWY KOTOROJ IZLOVENY W MONOGRAFII FRANCUZSKOGO MATEMATIKA a. lEBEGA \lEKCII PO INTEGRIROWANI@ I OTYSKANI@ PRIMITIWNYH FUNKCIJ" (1904). dALXNEJ- [IE MNOGO^ISLENNYE I PLODOTWORNYE PRIMENENIQ KONCEPCII a. lEBEGA (W ^ASTNOSTI, W AKSIOMATIZACII TEORII WEROQTNOSTEJ a. n. kOLMOGORO- WYM W 1933 G.) STIMULIROWALI RAZWITIE ABSTRAKTNOJ KONCEPCII MERY I INTEGRALA (NE SWQZANNOJ S TOPOLOGI^ESKOJ STRUKTUROJ PROSTRANSTW, QW- LQ@]IHSQ OBLASTX@ ZADANIQ MERY). iMENNO TAKOJ PODHOD I PRINQT ZA OSNOWU W DANNOM RAZDELE KURSA.
w \TOM RAZDELE ZNAKI P I + W KONTEKSTE OPERACIJ NAD MNOVESTWA- MI OZNA^A@T, ^TO BERETSQ• OB_EDINENIE POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ MNO- VESTW; DLQ KRATKOSTI MY PI[EM ^ASTO XY WMESTO X \ Y .
x191. pOLUKOLXCA MNOVESTW
1. pUSTX S | KLASS WSEH PRQMOUGOLXNIKOW W R2 SO STORONAMI, PARAL- LELXNYMI KOORDINATNYM OSQM, TO ESTX MNOVESTW WIDA X = ha; bi hc; di, GDE ^EREZ ha; bi OBOZNA^AETSQ ODIN IZ PROMEVUTKOW WIDA (a; b); [a; b]; [a; b);
2 R). |TOT KLASS OBLADAET SWOJSTWAMI (SM. x111):
p |
ESLI |
X; Y 2 |
S |
|
TO |
X T Y |
|
2 |
S |
|
|
||
( 1 ) |
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|||||
p |
ESLI |
X Y (X; Y 2 |
S |
), |
TO SU]ESTWUET KONE^NOE SEMEJSTWO |
fXig |
|||||||
( 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
S TAKOE, ^TO Y = X + |
P |
Xi. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|TI SWOJSTWA BERUTSQ W KA^ESTWE SISTEMY AKSIOM ABSTRAKTNYH PRQ- MOUGOLXNIKOW.
2. nEPUSTOE SEMEJSTWO S ^ASTEJ MNOVESTWA E NAZYWAETSQ POLUKOLX- COM W E, ESLI WYPOLNQ@TSQ TREBOWANIQ (p1) I (p2 ); POLUKOLXCO S NA- ZYWAETSQ POLUKOLXCOM S 1, ESLI E 2 S.
307
|POLUKOLXCO W R. 2 R)
4.sISTEMA PROMEVUTKOW WIDA ha; bi | POLUKOLXCO W R.
5.eSLI K SISTEME WSEH PRQMOUGOLXNIKOW W R2 (P. 1) DOBAWITX NESOBST-
WENNYE PRQMOUGOLXNIKI (TIPA POLUPLOSKOSTI, KWADRANTA, WSEJ PLOSKOS- TI), POLU^IM POLUKOLXCO S 1 W R2 .
6.sISTEMA WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA E | POLUKOLXCO S 1 W E.
pEREJDEM TEPERX K SWOJSTWAM POLUKOLEC MNOVESTW.
7. pUSTX X |
2 S I MNOVESTWA X1; : : : ; Xn 2 S POPARNO NE PERESE- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
KA@TSQ |
, |
PRI^EM |
Xk |
|
|
X (k = 1; : : : ; n). |
|
tOGDA SU]ESTWUET KONE^NOE |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
SEMEJSTWO fYj g S TAKOE, |
^TO X = k=1 Xk |
+ j |
Yj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
pRI n = 1 UTWERVDENIE | (p2). dALEE RASSUVDENIQ DOSLOWNO SOWPA- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
DA@T S DOKAZATELXSTWOM PO INDUKCII LEMMY 111.5 (!!). |
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
8. eSLI X1; : : : ; Xn |
2 S, TO SU]ESTWUET KONE^NOE SEMEJSTWO POPARNO |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTW Y1; : : : ; Ym 2 S TAKOE, ^TO Xi = j |
2 |
i Yj (i = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1; : : : ; n); i |
f1; : : : ; mg. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
||||||||||||||
uTWERVDENIE O^EWIDNO DLQ n = 1. pUSTX ONO WERNO DLQ WSEH NATURALX- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NYH ^ISEL |
|
n, |
1 I PUSTX Y1; : : : ; Ym | SEMEJSTWO IZ S, SOOTWETSTWU@]EE |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X1; : : : ; Xn |
, |
1 . pOLOVIM Zq = XnYq |
(q = 1; : : : ; m). mNOVESTWA Zq POPARNO |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
NE PERESEKA@TSQ, Zq 2 S; Zq Xn |
. pO\TOMU SOGLASNO P. 7 IMEET MESTO |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
PREDSTAWLENIE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xn = |
|
|
Zq + Z0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
GDE |
f |
Z0 |
|
| NEKOTOROE KONE^NOE SEMEJSTWO IZ |
S. w SILU (p |
|
) DLQ KAVDOGO |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
rg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
Z |
(q) |
g |
IZ |
S, ^TO Y |
2 |
= Z |
|
+ |
|
Z |
(q) |
. |
|||||||||
q SU]ESTWUET TAKOE KONE^NOE SEMEJSTWO |
|
|
|
|
Pi |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
mNOVESTWA SEMEJSTWA |
|
|
Zq; Z0 |
; Z |
(q) |
g |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
q |
q |
|
|
|
i |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
POPARNO NE PERESEKA@TSQ, I Xk = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Yj = |
|
|
|
|
|
|
(j)f |
|
r |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
), WIDIM, ^TO SEMEJSTWO |
||||||||||||||||||
j2 k |
|
|
|
|
[Zj + Zi |
|
] (!!). sOPOSTAWLQQ \TO S ( |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
j2 k |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P |
|
|
|
P(q) |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
fZq |
; Zr0 ; Zi |
|
|
g QWLQETSQ ISKOMYM DLQ fX1; : : : Xn,1; Xng: |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
9. u P R A V N E N I Q. pUSTX | MNOVESTWO WSEH POSLEDOWATELXNOSTEJ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
! = (!1; !2; : : :), GDE !i = 0 ILI 1. pUSTX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Xij11:::i:::jks = f! 2 j !i1 |
= : : : = !ik |
= 0; |
!j1 = : : : = !js = 1g: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
308
pRI s = k = 0 S^ITAEM, ^TO X = . pOKAVITE, ^TO SEMEJSTWO Z =
j :::j
fXi11:::iksg | POLUKOLXCO S 1 W .
10. pOKAVITE, ^TO DLQ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (E; T ) SEMEJ- STWO fU \ X j U; Xc 2 T g | POLUKOLXCO S 1 W E.
x192. mERA NA POLUKOLXCE
1. pUSTX S | POLUKOLXCO W E. fUNKCIQ m : S ! R+ NAZYWAETSQ |
||||||
KONE^NO-ADDITIWNOJ MEROJ, ESLI |
|
|
|
|||
|
n |
|
|
n |
|
|
X = |
X |
Xk (X; Xk |
2 S) ) mX = |
X |
mXk: |
|
k=1 |
k=1 |
|||||
|
|
|
|
|||
2. dLQ POLUKOLXCA PRQMOUGOLXNIKOW W R2 PLO]ADX, OPREDELENNAQ• FOR- MULOJ m(ha; bi hc; di) = (b,a)(d,c), QWLQETSQ KONE^NO-ADDITIWNOJ MEROJ
pEREJDEM K IZU^ENI@ SWOJSTW KONE^NO-ADDITIWNOJ MERY.
|
3. eSLI X1; X2; : : : (Xk 2 S) POPARNO NE PERESEKA@TSQ I Xk X |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
mX. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(X 2 S), TO k=1 mXk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dOSTATO^NO UBEDITXSQ, ^TO TREBUEMOMU NERAWENSTWU UDOWLETWORQET |
||||||||||||||||||||
L@BAQ ^ASTNAQ SUMMA RQDA |
mXk. pUSTX n |
2 |
N PROIZWOLXNO. w SILU |
|||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
s |
|
|
|
|
Pk |
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
191.7 X = |
|
Xk + |
|
Yj PRI NEKOTORYH Yj |
S. sLEDOWATELXNO, |
|
mXk |
|||||||||||||
|
|
|
k=1 |
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|||
n |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
k=1 |
mXk + |
j=1 |
mYj = mX: |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
|
|
P |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
4. eSLI X k=1 Xk (X; Xk 2 S), TO mX k=1 mXk . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
||||
pUSTX fYjg | KONE^NAQ SISTEMA IZ S, UDOWLETWORQ@]AQ TREBOWANIQM |
||||||||||||||||||||
191.8 DLQ SEMEJSTWA X; X1; : : : ; Xn , TAK ^TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
X = jX2 0 Yj ; Xk = jX2 k Yj |
(k = 1; : : : ; n): |
|
|
|
||||||||||||
kAVDYJ INDEKS |
j |
2 |
0 |
WHODIT NE MENEE ODNOGO RAZA W DWOJNU@ SUMMU |
||||||||||||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||
k=1 j |
k mYj (= k=1 mXk ), TAK ^TO mX = j |
0 mYj |
k=1 mXk: |
|
> |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
P |
|
|
|
||
P P |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|||||||
309
|
|
5. uTWERVDENIE P. 4 NE OBOB]AETSQ NA S^ETNYE• |
POKRYTIQ MNOVES- |
||||||
TWA X. rASSMOTRIM POLUKOLXCO PROMEVUTKOW WIDA |
ha; bi (a; b 2 Q) W Q |
||||||||
S KONE^NO-ADDITIWNOJ MEROJ mha; bi = b , a. sEMEJSTWO f[r; r]gr2Q\[0;1] |
|||||||||
OBRAZUET S^ETNOE• |
POKRYTIE MNOVESTWA Q. oDNAKO, m[0; 1] = 1 > 0 = |
||||||||
r2Q\[0;1] |
m[r; r]. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oDNAKO DLQ SLU^AEW, WAVNYH W PRILOVENIQH, OBOB]ENIE P. 4 NA SLU^AJ |
|||||||
S^•ETNYH POKRYTIJ SPRAWEDLIWO (x113 P. 2): |
|
|
|||||||
|
|
6. pUSTX m | PLO]ADX NA POLUKOLXCE S PRQMOUGOLXNIKOW W R2. eSLI |
|||||||
X |
|
1 |
Xk (X; Xk |
|
S), TO mX |
1 mXk . |
|
|
|
|
kS=1 |
2 |
|
kP=1 |
R2 |
OBLADAET SWOJSTWOM BOLEE |
|||
|
|
iZ PP. 3 I 6 SLEDUET, ^TO PLO]ADX W |
|
||||||
SILXNYM, ^EM KONE^NAQ ADDITIWNOSTX: |
|
|
|
||||||
( ) |
|
X = 1 Xk (X; Xk 2 S) ) mX = 1 mXk: |
|||||||
|
|
|
|
k=1 |
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
X |
|
|
|TO WAVNOE SWOJSTWO NAZYWAETSQ -ADDITIWNOSTX@ I ONO BERETSQ• W KA- ^ESTWE OPREDELENIQ DLQ ABSTRAKTNYH POLUKOLEC:
|
7. pUSTX S | POLUKOLXCO. fUNKCIQ m : S ! R+ NAZYWAETSQ MEROJ, |
|||||||||||||||||||
ESLI ONA OBLADAET SWOJSTWOM ( ). |
|
pn 0, |
|
|
|
|
|
|
+1. |
|
|
|||||||||
|
u P R A V N E N I Q |
. 8. |
pUSTX |
PRI^EM |
|
|
pn < |
fUNK |
- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
P |
|
||||||||
CIQ m, ZADANNAQ NA POLUKOLXCE WSEH PODMNOVESTW |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
N |
RAWENSTWOM mX = |
|||||||||||||||||||
n |
X pn (X N), QWLQETSQ MEROJ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
R+ (191.9), ZADANNAQ RAWENSTWAMI m |
|
|
|
|
||||||||||
P 9. fUNKCIQ m : Z |
! |
; |
= 0; m = |
|||||||||||||||||
1; mX |
j1:::js |
= 2, |
(s+k) |
|
|
j1:::js |
= |
|
), QWLQETSQ MEROJ. |
|
|
|
||||||||
|
|
(ESLI X |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
i1:::ik |
|
|
|
|
|
i1:::ik 6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x193. kOLXCA I ALGEBRY MNOVESTW
dLQ ^ISLOWOJ PLOSKOSTI PERWYJ [AG W RE[ENII ZADA^I PRODOLVENIQ MERY SOSTOIT W PRODOLVENII MERY NA KLASS KONE^NYH OB_EDINENIJ PRQ- MOUGOLXNIKOW (112.3). pO\TOMU IZU^IM SNA^ALA KLASS MNOVESTW, DOPUSKA- @]IH PREDSTAWLENIE W WIDE OB_EDINENIQ KONE^NOGO ^ISLA ABSTRAKTNYH PRQMOUGOLXNIKOW.
1. pUSTX S | POLUKOLXCO W E. kLASS E WSEH ^ASTEJ E, QWLQ@]IHSQ OB_EDINENIEM KONE^NYH SEMEJSTW POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ MNOVESTW IZ S, OBLADAET SWOJSTWAMI (SM. P. 9):
310