D-M-1-Mnozh-Funkts-05r

2.Задайте с помощью предикатов следующие множества:

А= {2,4,6,8,…}, B = {1,3,5,7,9,…}, C = {1,2,3,5,7,11,13,17,…}.

3.Сколько элементов содержат следующие множества:

А ={x: x Z и 5 ≤ x ≤ 10}, B = { x: x Z и x2 ≤ 36},

C ={x: x Z и 6 x2 + x – 1 = 0}, D = { x: x R и x2 + 1 = 0}.

4. Выяснить, равны ли множества А и В если:

5.Пусть А = {n: n2 – нечётное целое число}, В = {n: n – нечётное целое число}, Доказать, что А=В.

6.Ввести операции , ∩, \, . Перечислить все подмножества множества А:

7. Пусть А = {x: x N и 2 < x ≤ 6}, B = {x: x N и 1 < x < 4},

C = {x: x N и x2 -4 = 0}. Из каких элементов состоят множества:

A) B C; б) А∩В∩С; в) А В С?

а) если А (В∩С), то А В и А С;

б) если (А∩В) С то А ( B C );

в) если (А В) С то А С и В С;

г) если А (В С), то ( A ∩ B ) C .

41

10. Доказать, что для любых А1,А2,…,Аn, если А1 А2 … Аn А1, то

А1=А2=…=Аn.

11. Выяснить, выполняются ли следующие равенства:

а) А В=(А∩В) (А∩ B ) (Ā∩В);

б) А=А (А∩В);

в) A\B = А∩ B ;

г) A\(A\B) = А∩В.

12. Выяснить, выполняются ли следующие равенства:

А∩В=В∩А;

А∩(В С)=(А∩В) (А∩С);

А (В∩С)=(А В)∩(А С);

(А В)∩А=А;

А\(В\С)=(А\В) (А∩С);

А\(В С)=(А\В)\С;

А∩(В\А)= .

13. Выяснить, выполняются ли следующие равенства:

14.Пусть С = (A∩B). Постройте диаграмму Эйлера–Венна для множества С.

15.Нарисовать диаграммы Эйлера–Венна для множеств:

АB , А\(B∩C), A∩(B\C), A∩(B C).

16.Найдите 2А, если А={1,2,3}.

17.Выяснить совпадают ли множества 2А∩ 2В и 2А ∩ В если:

а) А = {a,b}, B ={b,c};

б) А и В любые непустые множества.

18. Выяснить совпадают ли множества 2А 2В и 2А В для любых непустых множеств А и В.

42

19.Доказать, что операцию \ нельзя выразить через ∩ и .

20.Решить систему уравнений:

А∩Х=В

А Х=С,

где В А С; А, В, С –данные множества, Х – искомое.

21. Решить систему уравнений:

А\Х=В

Х\А=С,

где В А, А∩С≠С; А, В, С – данные множества, Х – искомое.

22. Решить систему уравнений:

А\Х=В,

А Х=С,

где В А С; А, В, С –данные множества, Х – искомое.

23.Пусть А={а,b,с}, В={c,d}. Записать, чему равны множества A×B, В×А, А2,

В2.

24.Пусть A C, B C, А≠ , В≠ . Доказать, что A×B=(A×C)∩(C×B).

25.Доказать, что (А×В) (С×D) (A C)×(B D).

26.Выяснить, выполняются ли следующие равенства:

а) (А В)×С=(А×С) (В×С);

б) А×(В С)=(А×В) (А×С);

в) (А\В)×С=(А×С)\(В×С);

г) А×(В\С)=(А×В)\(А×С).

27. Пусть непустые множества А, В и С удовлетворяют соотношению:

А×В=А×С. Докажите, что тогда В=С.

28. Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие следующим бинарным отношениям на множествах A={1,3,5,7} и B= {2,4,6}:

A) R= { x,y : x+y=9}; б) S={ x,y : x<y}.

43

29.Пусть R - бинарное отношение на множестве {1,2,3,4,5}, определяемое условием: nRm тогда и только тогда, когда n+m – нечётное число. Представьте R следующими способами:

а) как множество упорядоченных пар; б) в виде матрицы отношения; в) с помощью орграфа.

30.Бинарное отношение R на множестве A ={1,2,3,4} задано следующим

графом.

Перечислите упорядоченные пары, принадлежащие R, запишите матрицу отношения R.

31.Бинарное отношение R на множестве A ={1,2,3,4} задано следующим условием: xRy тогда и только тогда, когда х+2у – нечетное число. Представьте R каждым из способов:

а) как множество упорядоченных пар; б) в виде матрицы отношения; г) с помощью графа отношения.

32.Пусть R - бинарное отношение на множествах А={1,2,3} и В={1,2,3,4},

заданное перечислением пар: R={ 1,1 , 2,3 , 2,4 , 3,1 , 3,4 }. Бинарное отношение S на множествах А={1,2,3} и В={1,2,3,4}, тоже задано перечислением пар: S={ 1,1 , 1,2 , 2,1 , 3,2 , 3,4 }.

а) Задать отношения R и S с помощью матриц отношений;

б) Задать отношение R°S перечислением пар и с помощью матрицы отношения.

33. Бинарные отношения R и S заданы орграфами, представленными ниже. а) Найдите орграф для композиции этих отношений.

45

39. Выяснить, какими из свойств (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметрчность, транзитивность) обладают следующие отношения на множестве N={1,2,3,…}:

nR1m n делитель m; nR2m n< m;

nR2m n≤ m;

nR4m n и m взаимно простые; nR5m n+m≤ 100;

nR5m n+m - четно; nR6m n+m - нечетно;

nR7m n и m имеют общий делитель отличный от 1;

nR8m n ≠ m.

40. На множестве прямых на плоскости рассмотрены отношения: а) параллельности прямых; б) перпендикулярности прямых.

Будут ли они отношениями эквивалентности?

41.На множестве людей задано отношение R: xRy тогда и только тогда, когда x и y живут в одном городе. Будет ли это отношение отношением эквивалентности?

42.Пусть N = {1,2,3,…}. На множестве N×N введено отношение R:

x,y R u,v x+v =y+u.

Выясните, будет ли R отношением эквивалентности. 43. Построить бинарное отношение:

а) рефлексивное, симметричное и нетранзитивное; б) рефлексивное, антисимметричное и нетранзитивное; в) рефлексивное, несимметричное и транзитивное;

г) нерефлексивное, антисимметричное и транзитивное.

44. Пусть на множестве {±1, ±2, ±3, …} задано отношение R следующим образом: nRm тогда и только тогда, когда m×n > 0. Является ли R отношением

46

эквивалентности? Если R отношение эквивалентности, то сколько и какие классы смежностей порождаются этим отношением?

45.Пусть R бинарное отношение, заданное на множестве городов России: хRу тогда и только тогда, когда названия городов х и у начинаются с одинаковой буквы. Является ли R отношением эквивалентности? Если R отношение эквивалентности, то каково максимально возможное число классов смежностей, на которые разбивается множество городов России?

46.Доказать, что если R1 и R2 отношения эквивалентности на А, то R1−1 , и

R1∩ R2 тоже отношения эквивалентности. 47. Для бинарных отношений доказать, что:

(R1 R2)-1=R1-1 R-12; (R1○R2)-1=R2-1○R-11.

48.Отношение R на множестве всех действительных чисел задано условием: xRy тогда и только тогда, когда х-у – целое число. Докажите, что R – отношение эквивалентности. Выпишите класс смежности, содержащий: а) элемент 0,5; б) элемент 1.

49.Пусть R бинарное отношение на множестве всех целых чисел Z = {… -3,- 2,-1,0,1,2,3,…} такое, что nRm тогда и только тогда, когда n2-m2 делится на число 3. Покажите, что R является отношением эквивалентности. Запишите: а) класс смежности, содержащий 0; б) класс смежности, содержащий 1.

50.Пусть R бинарное отношение на множестве всех целых чисел Z = {… -3,- 2,-1,0,1,2,3,…} такое, что nRm тогда и только тогда, когда n2-m2 делится на число 5. Покажите, что R является отношением эквивалентности. Сколько элементов содержит фактор-множество Z/R. Постройте все классы смежностей по отношению R.

51.Найти все отображения множества А={a,b,c} на множество В={0,1}.

52.Пусть Z – множество всех целых чисел, Z+ - множество всех неотрицательных целых чисел. Какие из следующих отношений являются функциями? Найти их области определения и значений:

а) { x,y : (x,y Z)&(y=x3)}; б) { x,y : (x,y Z+)&(x<y)};

48

Показать, что f биективная функция и найти обратную ей функцию.

59. Пусть f : А→В и g: В→С функции. Доказать, что

а) если f и g инъективны, то их композиция тоже инъективна; б) если f и g сюръективны, то их композиция тоже сюръективна.

60.Пусть f(A)={y: ( x A)&(y=f(x))}. Доказать, что функция f

удовлетворяет условию f(А∩В)= f(А)∩f(В) для любых А и В тогда и только тогда, когда функция f инъективна.

61.Пусть А и В – конечные множества, множества А и В имеют n и m

элементов соответственно ( А = n, B = m). При каких n и m существует инъективное отображение А в В?

62. Какие функции на (-∞,∞), из заданных далее, инъективны, сюръективны, биективны:

y=2x, y=x3, y=x2+1, y=x+1?

63.Равномощны ли множество точек окружностей радиуса 1 и 10?

64.Равномощны ли множество точек отрезка [0,1] и [-10,10]?

65.Равномощны ли множество точек единичного квадрата и единичного отрезка?

66.Равномощны ли множество всех натуральных чисел и множество неотрицательных четных натуральных чисел?

67.Используя характеристические функции множеств, выясните, выполняются ли следующие равенства:

а) ( A B) ∩ C = ( A ∩ C) (B ∩ C) ;

б) ( A B) C = A (B C) ;

в) А\ (В \ С) =(А \ B) \ C;

г) A ∩ (B C) = ( A ∩ B) ( A ∩ C) .

68. Пусть R отношение частичного порядка на множестве А. Образует ли R -1 частичный порядок на А?

69. Какие из следующих множеств чисел, упорядоченных по величине, будут вполне упорядочены:

49

1)множество всех целых чисел;

2)множество всех целых положительных чисел;

3)множество всех целых отрицательных чисел;

4)множество всех рациональных чисел;

5)множество всех чисел вида (2/3)n, n=1,2,3,…;

6)множество всех чисел вида (3/2)n, n=1,2,3,…;

7)множество всех чисел вида 1/n, n=1,2,3,….

70.На множестве N×N, N={1, 2, 3,…} введено отношение R: а,b R c,d

тогда и только тогда, когда a≤ c и b≤ d. Будет ли N×N при этом частично упорядоченным или линейно упорядоченным?