D-M-1-Mnozh-Funkts-05r

Ш. И. ГАЛИЕВ

ДИСКРЕТНАЯ

МАТЕМАТИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

1

Министерство образования и науки Российской Федерации

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. Н. ТУПОЛЕВА

Ш. И. ГАЛИЕВ

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано к изданию в качестве учебного пособия Учебно-методическим центром

КГТУ им. А. Н. Туполева

Казань 2009

2

УДК 519.1(075.8) ББК 22.176я73

С89

Галиев Ш. И. Дискретная математика. Казань: 2009. 251 с.

Включены разделы: множества, отношения и функции; алгебры, в том числе группы, кольца, решётки и матроиды; булевые функции, их различные разложения, минимизация, декомпозиция, а также выяснение полноты систем булевых функций; элементы комбинаторики и элементы теории графов.

Предназначено студентам технических вузов по направлению «Информатика и вычислительная техника» и может быть использовано студентами, обучающимися по другим направлениям при изучении дисциплины дискретная математика.

Ил. . Библиогр.: 23 назв.

Рецензенты:

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………….. 7

§1. Задание множества……………………………………….. 9

§2. Операции над множествами……………………………... 13

§3. Разбиение множества. Декартово произведение……….. 16

§4. Отношения………………………………………………... 17

§5. Операции над отношениями…………………………….. 21

§6. Функции…………………………………………………... 24

§1. Операции и предикаты…………………………………... 50

§2. Алгебраическая система. Алгебра. Модель……………. 51

§3. Подалгебры……………………………………………….. 53

§4. Морфизмы алгебр………………………………………… 54

§5. Алгебра с одной операцией……………………………… 57

§6. Группы……………………………………………………. 59

§7. Группы подстановок…………………………………….. 63

§8. Алгебры с двумя операциями. Кольцо…………………. 64

§9. Кольцо с единицей……………………………………….. 66

4

§10. Поле…………………………………………………….. 68

§11. Решётки………………………………………………….. 69

§12. Булевы алгебры…………………………………………. 72

§13. Матроиды………………………………………………... 73

§14. Вопросы и темы для самопроверки……………………. 76

§15. Упражнения……………………………………………... 77

§2. Формулы………………………………………………….. 88

§3. Равносильность формул…………………………………. 91

§4. Важнейшие пары равносильных формул………………. 94

§5. Зависимости между булевыми функциями…………….. 96

§6. Свойства операций штрих Шеффера, стрелка Пирса и

§10. Совершенные нормальные формы…………………….. 107

§11. Полином Жегалкина……………………………………. 110

§12. Сокращенные дизъюнктивные нормальные формы….. 112

§16. Минимальные конъюнктивные нормальные формы…. 122

§17. Неполностью определенные булевы функции……….. 123

5

§18. Полнота систем функций. Теорема Поста…………….. 126

§19. Приложение булевых функций к анализу и синтезу контактных (переключательных) схем………………... 131

§20. Приложение булевых функций к анализу и синтезу

§2. Правило произведения для конечных множеств………. 157

§3. Выборки и упорядочения……………………………….. 158

§ 4. Число сочетаний………………………………………… 162

§5. Биномиальная теорема………………………………….. 16407

§6. Число возможных разбиений конечного множества Полиномиальная теорема………………………………. 166

§7. Метод включения и исключения……………………….. 168

§8. Задача о беспорядках и встречах……………………….. 172

§9. Системы различных представителей…………………... 173

§10. Вопросы и темы для самопроверки……………………. 176

§11. Упражнения…………………………………………….. 177

6

§ 6. Матрица смежности……………………………………… 195

§7. Матрицы смежности и достижимости………………….. 200

§8. Критерий изоморфизма графов…………………………. 203

§9. Матрица инциденций……………………………………. 207

§10. Деревья………………………………………………….. 210

§ 11. Задача о минимальном соединении…………………… 213

§12. Центры дерева………………………………………….. 219

§13. Ориентированные деревья…………………………….. 220

§14. Эйлеровы графы………………………………………... 223

§15. Гамильтоновы графы…………………………………... 227

§16. Планарные графы………………………………………. 228

§17. Задача о кратчайшей цепи между произвольными вершинами графа……………………………………….. 233

§18. Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайших путей

от заданной вершины орграфа………………..……….. 235

§ 19. Потоки в сетях………………………………………….. 240

§ 20. Вопросы и темы для самопроверки…………………… 243

§ 21. Упражнения…………………………………………….. 244

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………... 250

7

ВВЕДЕНИЕ

Дискретная математика – это раздел математики, в котором изучаются свойства структур конечного характера, а также бесконечных структур, в которых наблюдается скачкообразность происходящих в них процессов. Бурное развитие дискретной математики обусловлено необходимостью разработки математических моделей и методов для современных компьютерных и информационных технологий, а также представлениями различных моделей на компьютерах, являющихся по своей природе конечными (дискретными) структурами.

Вглаве 1 рассматривается понятие множества, даётся аксиоматика теории множеств, позволяющая избегать известных парадоксов и получать результаты, строгость которых находится на современном уровне. Определяется понятие отношения на множествах, устанавливаются некоторые свойства отношений. Рассматриваются важнейшие отношения, такие как отношение эквивалентности и отношения порядка. Вводится понятие функции и рассматриваются её некоторые свойства.

Вглаве 2 приводятся понятия алгебраической системы, алгебры и модели. Вводятся отображения алгебр (изоморфизм и гомоморфизм). Рассматриваются классические алгебры – группы и кольца и изучаются некоторые их свойства. Также даются понятия о решетках, булевых алгебрах

иматроидах.

Глава 3 посвящена теории булевых функций. Вводятся элементарные булевы функции, их свойства. Определяются различные нормальные формы

8

и приводятся некоторые методы их получения, в частности, даны алгоритмы минимизации булевых функций. Вводится понятие полноты систем булевых функций и приведен критерий полноты. Даны некоторые приложения теории булевых функций.

В главе 4 приведены элементы комбинаторики. Здесь рассматриваются начальные понятия комбинаторики и некоторые формулы, без которых не обходится ни одна книга по комбинаторике.

В главе 5 излагаются основы теории графов (неориентированных и ориентированных). Приводятся задачи теории графов, являющиеся математическими моделями ряда прикладных задач.

Каждая глава содержит вопросы и темы для самопроверки и упражнения (задачи), для выработки навыков их решения.

При написании пособия использована литература [1-19], интернетстраницы [20-23] и, естественно, другие источники.

Автор выражает благодарность доценту Л. Г. Амбарцумову за полезные обсуждения некоторых тем пособия и своим студентам за помощь по набору текста пособия.

9

Глава 1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ

§ 1. Задание множества

Интуитивное определение множества. Множество - это собрание определенных и различных между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества.

В этом определении собрание предметов рассматривается как один объект, как единое целое. Примеры множеств:

1)множество студентов в данной аудитории;

2)множество целых положительных чисел меньших 10;

3)множество решений уравнения х2-1=0;

4)множество чисел Фибоначчи: а1, а2, а3, …, где аk+2 = ak + ak+1, k ≥ 1, a1=a2=1;

5)множество самолетов и авиапассажиров.

Элементы множества могут быть разнородными, как в последнем примере.

Если объект (элемент) х принадлежит множеству М, то записываем

х М, если же х не является элементом из М, то х М. Отношение называется отношением принадлежности.

То, что множество М состоит из элементов a1, a2,…, an, записываем с помощью фигурных скобок: М={a1, a2, …, an}.

Введём понятие предиката и порождающей процедуры.