D-M-1-Mnozh-Funkts-05r

10

Предикат – это некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения, которое истинно тогда и только тогда, когда указанные переменные (указанная переменная) удовлетворяют заданному условию.

Порождающая процедура – процедура, которая, будучи запущенной, порождает некоторые объекты по заданным правилам.

Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Задать множество можно различными способами:

перечислением элементов: M={a1, a2,…, an}; предикатом: M={x: P(x)};

порождающей процедурой: M={x: x=f}.

Например, пусть на множестве всех целых чисел предикат Р(х) означает х – четное число, тогда M={x: x – четное число} состоит из четных и только четных чисел. В тех случаях, когда при определении множества уточняется, что предикат Р введён на заранее заданном множестве S, записывается:

M={x S: P(x)} или M={x: x S и P(x)}.

Порождающей процедурой можно задать числа Фибоначчи: M={аk:

аk+2= аk + аk+1, а1=а2=1, k≥1}.

При записи множеств перед предикатом или порождающей процедурой, т. е. перед любым определяющим условием, поставлено двоеточие. В литературе, кроме двоеточия, может применяться вертикальная черта, т. е. вместо записи M={x: P(x)} может использоваться следующая форма записи: M={x P(x)}. Иногда множество M={x: P(x)} записывают в виде: M={x}

Интуитивное определение множества, приведённое в начале этого параграфа, может приводить к противоречиям (парадоксам). Бертраном Расселом в 1902 г. был построен следующий парадокс.

Рассмотрим множество всех окон в данной комнате. Элементами этого множества являются окна, т.е. множество окон не является элементом этого

11

множества. Есть множества, которые являются элементами самого себя, например, множество всех множеств. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элементов:

Y={X: X X}.

Если Y существует, то мы должны иметь возможность ответить на следующий вопрос: является ли Y элементом самого себя? Если Y есть элемент Y, то по определению Y, множество Y не есть элемент Y. Если же Y не есть элемент Y, то Y должно быть элементом Y. Получаем неустранимое логическое противоречие, которое известно как парадокс Рассела.

Одним из способов избежать парадоксов типа парадокса Рассела является задание множества с помощью аксиом (аналогично как строится геометрия).

Рассмотрим аксиоматику Цермело-Френкеля теории множеств.

I. Аксиома объемности. Если множества А и В составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают: А=В.

Множество В называется подмножеством А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А. В этом случае записываем: В А

или В А. Если В А и В≠А, то В называют собственным подмножеством

множества А. Отношения и называют отношениями включения. Из А В

иВ А следует, что А=В.

II. Аксиома существования пустого множества. Существует такое множество , что ни один элемент х ему не принадлежит.

Легко убедиться, что пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. для любого множества А: А.

II*. Аксиома пары. Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются a и b.

Аксиомы, помеченные звездочкой, здесь и в дальнейшем, зависимы от остальных, поэтому не имеют собственного номера.

12

III. Аксиома суммы (объединения). Для каждого семейства множеств R существует множество S, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат некоторому множеству А из R.

Объединение двух множеств А и В обозначается А В, объединение множеств А1, А2, …, Аn обозначается:

n

А1 А2 А3 … Аn или Ai .

i =1

IV. Аксиома степени. Для каждого множества А существует семейство множеств 2А, элементами которого являются все подмножества А и только они.

Рассмотрим примеры. Пусть

A= , тогда 2 ={ };

A={0, 1}, тогда 2A={ , {0}, {1}, {0, 1}};

A={a,b,c}, тогда 2A={ , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным множеством. Число элементов конечного множества А обозначим через |А| или п(А). Можно показать, что если |A|=k, то |2A|=2k.

V. Аксиома бесконечности. Существует такое семейство множеств А,

которому принадлежит и, если Х А, то в А найдется элемент Y, состоящий из всех элементов множества Х и самого множества Х.

VI. Аксиома выбора. Для каждого семейства А непустых непересекающихся множеств существует множество В, имеющее один и только один общий элемент с каждым из множеств Х, принадлежащих А.

VI*. Аксиома выделения для высказывательной функции Р. Для произвольного множества А существует множество В, состоящее из тех и только тех элементов из А, которые удовлетворяют Р, т.е. Р(х)=И. Иными словами, существует множество В такое, что:

В={х: х А и Р(х)=И}.

14

Отметим, что объединение A B является множеством по аксиоме суммы. Для следующих операций можно доказать, что в результате вновь получаем множество.

Пересечением множеств А и В называется множество А∩В, элементы которого являются элементами обоих множеств А и В:

(x B и x A)}.

Рис.1.4

На рис 1.4 множество A∆B заштриховано.

На рис 1.5 множество A заштриховано.

Изображения, приведенные на рис. 1.1-1.5 называют диаграммами Венна или Эйлера – Венна для соответствующих множеств.

15

Теорема 1.1. Для любых подмножеств А, В, С множества U выполняются следующие свойства (законы):

1)( A ) =A – свойство инволютивности;

2)A B=B A

–законы коммутативности;

3)A∩B=B∩A

4)A (B C)=(A B) C

-законы ассоциативности;

5)A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

7)A (B∩C)=(A B)∩(A C)

8)A∩(А В)=A

–законы поглощения;

9)A (А∩В)=A

10)A =A

19)A∩A=A

Докажем, например, равенство 1). Пусть х ( A ) . Имеем, что х ( A )

тогда и только тогда, когда х A . Последнее имеет место тогда и только тогда, когда х А. Итак, ( A ) =А. Аналогичным образом можно доказать и остальные соотношения 2) - 19).

16

§ 3. Разбиение множества. Декартово произведение

Пример разбиения приведен на рис. 1.6.

Пусть А и В – два множества и положим а А, b B, с А, d B.

Упорядоченной парой называется объект a,b такой, что a,b = c,d

тогда и только тогда, когда а=с и b=d. В упорядоченной паре a,b элемент а считается первым элементом, b – вторым.

Декартовым (прямым) произведением двух множеств А и В называется множество упорядоченных пар a,b , таких, что а А и b B. Декартово

(прямое) произведение обозначается через А В. Итак:

А В={ a,b : а А и b B}.

Пусть А={0,1}, B={a,b}, тогда А В = { 0,a , 1,a , 0,b , 1,b }.

Упорядоченной n-кой элементов a1, a2,…, an, a1 A1, a2 A2,…,an An,

называется объект a1,a2,…,an , такой что a1,a2,…,an = b1,b2,…,bn , b1 A1, b2 A2,…,bn An, тогда и только тогда, когда a1=b1, a2=b2, …, an=bn.

Декартовым произведением множеств A1,А2,…,Аn называется множество упорядоченных n-ок:

A1 A2 … An={ a1, a2, …,an : a1 A1 и a2 A2 и … и an An}.

Введём обозначение: An=A A … A. n-раз

Можно доказать, что, например, выполняются следующие равенства:

(A B) C =(A C) (B C);

17

(A∩B)×C =(A×C)∩ (B×C);

(A\B)×C =(A×C)\(B×C) и т.п.

Докажем, например, первое из этих равенств:

(A B)×C =(A×C) (B×C).

Выберем произвольный элемент х,у принадлежащий лавой части этого соотношения. Если х,у (A B)×C, то х (A B) и у С. Из того, что

х (A B) следует, что х A или х B. Тогда получаем, что х,у (A×C) или

х,у (B×C). Итак, х,у (A×C) (B×C), т. е. любой элемент из (A B)×C

является также элементом множества (A×C) (B×C). Таким образом,

(A B)×C (A×C) (B×C). Обратное включение доказывается аналогичным образом.

§ 4. Отношения

Бинарным отношением на (двух) множествах А и В называется подмножество R декартового произведения А× В.

Если задано подмножество R множества А×В, т.е. некоторое подмножество упорядоченных пар a,b (a A, b B), то говорим, что задано бинарное (двуместное) отношение R, и пишем:

a,b R или aRb.

Последнее читается: элемент а находится в отношении R с b.

Отношение на множествах А и А, т.е. подмножество множества А×А

называется бинарным отношением на множестве А.

Пусть A=(-∞,∞). Рассмотрим А×А, т.е. плоскость и выберем:

R1 – прямую, проходящую через начало координат, под углом π/4 к оси

0х,

R2 – полуплоскость выше R1,

Областью определения бинарного отношения R называется множество

DR={x А: существует такое y B, что xRy}.

Областью значений бинарного отношения R называется множество

ImR={y B: существует такое x A, что xRy}.

Легко видеть, что область значений отношения R (R А В) совпадает с

проекцией R на множество В, которое вводится как prBR={y B: существует такое x A, что x,y R},

т.е. prBR = ImR, а область значений R совпадает с проекцией R на A DR=prAR={x A: существует такое у В, что x,y R}, см. рис. 1.8.

Образом элемента х А при отношении R называется множество ImR(x)

элементов y B таких, что xRy, т.е.

ImR(x)={y B: x,y R}.

Прообразом элемента y B при отношении R называется множество kerR(y) элементов x A таких, что xRy, т.е.

kerR(y)={x A: x,y R}.

Единичным отношением Е (или I) называется бинарное отношение на множестве А: Е={ a,a : a A}.

Пустое отношение определяется пустым подмножеством.

19

B

R

ImR=prBR

JmR=prBR

A

D =pr R

DR R=prB AR

Рис. 1.8

Универсальное отношение U на множествах А и В совпадает с А В:

U={ a,b : a A и b B}.

Способы задания отношения R:

1)перечислением упорядоченных пар x,y , принадлежащих R;

2)предикатом P: R={ x,y : P(x,y)};

3)порождающей процедурой: R={ x,y : x=f, y=ϕ};

4)бинарное отношение R на конечных множествах А и В можно задать n m матрицей отношения MR =(mij), здесь n и m числа элементов в множествах А и В соответственно и

1, если аi ,b j R, ai A, b j B, mij = 0, если аi ,b j R, ai A, b j B.