лекцииматан Copy
.pdf
Значение функции в точке локального минимума называется минимумом функции.
Точки максимума и минимума функции называется точками экстремума функции и обозначаются extr, а значения функции в точках
экстремума называется экстремумами функции.
Основное свойство локальных экстремумов функции. Приращение функции в окрестности точки локального экстремума
сохраняет знак, при чем Dy ³ 0 в окрестности точки min Dy £ 0 в окрестности точки mах.
Dy = f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) |
Dy = f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) ³ 0 |
Доказательство основного свойства экстремума функции следует непосредственно из определения экстремума.
Понятие стационарной и критической точки функции.
Точка х0 называется точкой стационарной точкой функции y = f ( x) по
первой производной, если производная функции обращается в ноль, т.е. f ′( x0 ) = 0 .
Точки, в которых производная функции не существует или обращается в ноль, называется критическими точками функции.
Необходимый признак локального экстремума у функции. Теорема.
Для того, чтобы точка х0 была точкой локального экстремума функции необходимо, чтобы она являлась критической точкой функции.
Доказательство:
61
Дано: х0 – точка экстремума
max
min
Доказать: х0 – |
критическая точка либо |
f ′( x ) = 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
f ′( x |
) . |
|
|
|
|
либо не существует |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Доказательство: |
|
|
|
f ′( x |
) = 0 . |
|||
Пусть производная существует в точке х0. Докажем, что |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Воспользуемся определением производной |
|
|
||||||||
$f ¢( x |
) = lim |
y = lim |
y = lim |
|
y . |
|
|
|||
|
0 |
x→0 |
Dx |
x→0 |
Dx |
x→0 |
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
( x<0) |
|
( x>0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
слева |
|
справа |
|
|
|
|
|
Пусть х0 – m ах, тогда |
y ≤ 0 |
|
|
|
|||||
lim |
y ³ 0, |
lim |
y £ 0 f ¢(x ) = 0. . |
|
|
|||||
x→0 |
Dx |
|
x→0 |
Dx |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( x<0) |
|
|
( x>0) |
|
|
|
|
|
|
|
Если производная в точке х0 не существует, то доказательство проиллюстрируем на чертеже.
Замечание: признак носит необходимый, но не достаточный характер. Если f ′( x0 ) = 0 или f ′( x0 ), то х0 не обязательно является точкой экстремума.
Первый достаточный признак существования экстремума у функции. Теорема.
62
Пусть х0 – критическая точка функции y = f ( x) по первой производной и выполняются два условия:
1)f ( x) непрерывна в окрестности х0
2)f ( x) дифференцирована в окрестности х0, за исключением, быть
может, ее самой.
Тогда если при переходе через точку х0 производная функции меняет знак, то точка х0 является точкой экстремума, причем если с плюса на минус, то точкой mах; а если с минуса на плюс, то точкой min. Если же производная не меняет знак при переходе через точку х0 , то экстремумы в точке х0 нет.
extr нет.
Дано: 1. Доказать: х0 – точка max.
Доказательство: для доказательства воспользуемся теоремой Лагранжа
f ( x0 ) −( f ( x0 + ) x) = f ′(ξ ) x0 − x0 + x
−y = f ′(ξ )
−x
y = f ′(ξ ) > 0 при х0>0 x
y < 0
f ((x0 + x))− f ( x0 ) = f ′(ξ ) x0 + x − x0
y = f ′(ξ ) < 0 при х0<0 x
y < 0
В окрестности точки х0 приращение функции сохраняет знак y < 0 . Следовательно согласно основному свойству экстремумов точка
х0 является точкой экстремума, при чем точкой максимума.
63
Для случая № 2, применяя теорему Лагранжа, доказать, что приращение функции в окрестности точки х0 сохраняет знак, причем
y> 0 .
2.Доказать: точка х0 – min. Доказательство: воспользуемся теоремой Лагранжа.
f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) = f ¢(ξ ) x0 + Dx - x0
Dy = f ¢(ξ ) > 0 при х0>0 x
y > 0
f ( x0 ) - f ( x0 + Dx) = f ¢(ξ ) x0 - x0 - Dx
− y = f ¢(ξ ) < 0 -Dx
y = f ¢(ξ ) < 0 Dx
y > 0 .
3. |
y = f ¢(ξ ) < 0 |
y = f ¢(ξ ) < 0 |
|
|
Dx |
|
Dx |
|
|
x < 0 |
x > 0 |
|
|
y > 0 . |
y < 0 . |
|
|
Приращение функции в окрестности точки х0 меняет знак, |
|
|
|
следовательно х0 не является точкой экстремума. |
|
|
4. |
y = f ¢(ξ ) > 0 |
y = f ¢(ξ ) > 0 |
|
|
Dx |
Dx |
|
|
x < 0 y < 0 . |
x > 0 y > 0 . |
y не сохраняет знак в окрестности точки х0, следовательно х0 не
является точкой экстремума.
Второй достаточный признак существования экстремума функции в терминах высших производных.
Теорема.
Пусть точка х0 – |
стационарная точка функции y = f ( x) по первой |
|||||
производной и в той точке функция имеет производные до n-го порядка |
||||||
включительно, при чем f |
¢( x ) = |
f ¢¢( x ) = |
f ¢¢¢( x )... f |
(n−1) ( x |
) = 0 , а f (n) ( x ) ¹ 0 , |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
тогда |
|
|
|
1) |
если n – четное, то х0 является точкой экстремума, причем если |
|||||
f |
(n) ( x ) > 0 , то х0 |
– точка минимума; если |
f (n) ( x |
) < 0 , то х0 – точка |
||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
максимума;
2) если n – нечетное, то х0 не является точкой экстремума. Доказательство:
Разложим по формуле Тейлора функцию f ′( x)
64
f ′( x) = f ′( x0 ) + |
|
|
f |
′′( x |
) |
( x − x0 ) + |
|
f |
′′′( x |
) |
( x − x0 ) |
2 |
+ ... |
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
2! |
|
|
|||||||||||||
|
|
(n−1) ( x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) ( x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ |
f |
( x − x |
|
) |
n−2 |
+ |
|
f |
( x − x ) |
n−1 |
+ Rn( x). |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||
(n − 2)! |
|
|
|
|
(n −1)! |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
′( x) = |
|
f |
(n) ( x |
|
) |
( x − x0 ) |
n−1 |
+ Rn( x). |
|
|
|||||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
(n −1)! |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Воспользуемся первым достаточным признаком существования экстремума у функции
1) пусть n – четное (n −1) нечетное
если f (n) ( x0 ) > 0
если f (n) ( x0 ) < 0
2) n – нечетное (n −1) четное
|
|
( x − x |
)n−1 > 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
f ′( x) = |
f |
(n) ( x ) |
( x − x0 ) |
n−1 |
+ Rn( x). |
||
|
0 |
|
|
||||
(n −1)! |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
sign (знак) f ′( x) = sign f |
(n) ( x |
) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Смены знака при переходе через точку х0 не происходит следовательно экстремума в точке х0 нет.
Пример: f ′( x0 ) = f ′′( x0 ) = f ′′′( x0 ) = 0 . f (n) ( x0 ) < 0
65
Пример: f ′( x |
) = 0 |
f ′′( x |
) > 0 |
0 |
|
0 |
|
Выпуклые и вогнутые функции. Дифференцируемая в интервале (a,b) функции y = f ( x) называется
выпуклой на этом интервале, если для любого x (a,b) справедливо
x0
неравенство: f ( x) ≤ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) . Если последнее неравенство
строгое, то функция называется строго выпуклой на этом интервале. Геометрическая иллюстрация.
Геометрически понятие выпуклой функции означает, что график функции находится ниже любой касательной построенной у графику
функции.
Дифференцируемая в интервале (a,b) функция y = f ( x) называется
вогнутой на этом интервале, если для любого x (a,b)
x0
66
f ( x) ³ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x - x0 ) . Если последнее неравенство строгое, то
функция называется строго вогнутой. Геометрическая иллюстрация.
строго вогнутая.
Критерий строгой выпуклости (строгой вогнутости) функции. Для того, чтобы дифференцируемая в интервале функция была строго
выпуклой (вогнутой), необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале производная функции убывала (возрастала).
|
Доказательство: Необх-ть. |
|
|
|||||||||
|
Дано: |
f ( x) |
строго выпуклая. |
|
|
|||||||
f ( x) < f ( x ) + f ′( x )( x - x ) |
"x x Î(a,b) . |
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
Доказать: |
f ′( x) - убывающая функция |
|
||||||||||
"x x Î(a,b) x < x f ′( x |
) > f ′( x |
) . |
|
|||||||||
|
1 |
0 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|||||
В силу того, что функция строго выпуклая можно в определение строго |
||||||||||||
выпуклой функции взять сначала x = x1, |
x0 = x2 , а затем x = x2 , x0 = x1 , тогда |
|||||||||||
|
|
|
|
имеем |
|
|
|
|
|
|||
x = x , x = x f ( x |
) < f |
( x |
) + f ′( x |
)( x - x |
) |
|||||||
1 |
0 |
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
x = x , x = x f ( x |
|
) < f |
( x |
) + f ′( x |
)( x - x |
) . |
||||||
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
Сложим полученные неравенства
f ( x0 ) + f ( x2 ) < f ( x2 ) + f ( x1 ) + f ¢( x2 )( x1 - x2 ) + f ¢( x1 )( x2 - x1 )
0 < ( x1 - x2 )( f ¢( x2 ) - f ¢( x1 ))
x < x f ′( x |
2 |
) - f ′ |
( x |
|
) < 0 f ′( x |
) < f ′( x |
). |
||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
||
|
|
Дано: |
|
f ( x) строго вогнутая. |
|
|
|||||||
f ( x) > f ( x |
) |
+ f ′( x |
|
)( x - x ) |
"x x Î(a,b) . |
||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
Доказать: |
f ′( x) - возрастающая функция |
|
|||||||||||
"x x Î(a,b) x < x f ′( x |
) < f |
′( x |
) . |
|
|||||||||
|
1 |
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|||||
x = x , x = x f ( x ) > f |
( x ) + f ′( x )( x - x ) |
|
|||||||||||
1 |
0 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
67 |
|
|
|
|
|
|
||
|
x = x , x = x f ( x |
) |
> f ( x ) |
+ f |
′( x )( x - x ) . |
|
|
|||||||
|
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
f ( x |
) + f ( x ) |
> f ( x |
) |
+ f ( x |
) + f ′( x |
)( x - x |
) + f ′( x |
)( x - x |
) |
|||||
1 |
2 |
2 |
|
1 |
|
|
2 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
0 > ( x1 - x2 ) ( f ¢( x2 ) - f ¢( x1 )) f ¢( x2 ) - f ¢( x1 ) > 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f ′( x |
|
) > f ′( x |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ü Достаточность: |
f ( x) - строго выпуклая. |
|
|
||||||||||
|
|
f ( x) |
< f ( x |
|
) + f ′( x |
)( x - x |
) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
Доказательство: введем в рассмотрение вспомогательную величину
D = f ( x) - f ( x |
) - f |
′( x |
)( x - x |
) . |
0 |
|
0 |
0 |
|
Докажем, что |
< 0 |
|
||
f ( x) - f ( x0 ) применим теорему Лагранжа
f (b) - f (a) = f ¢(ξ )
b - a
|
|
|
f ( x) - f ( x0 ) |
= f ¢(ξ ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x - x0 |
|
|
|
|
f ( x) = f ( x ) = f ′(ξ )( x - x ) ξ Î( x ; x) |
|||||
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
D = f ¢(ξ )( x - x0 ) - f ¢( x0 )( x - x0 ) = ( x - x0 )( f ¢(ξ ) |
- f ¢( x0 )) т.к. убывающая. |
|||||
|
< 0 |
f ( x) - f ( x |
) - f ′( x |
)( x - x ) < 0 |
||
|
|
0 |
0 |
0 |
||
|
|
f ( x) < f ( x ) + f |
′( x )( x - x ) . |
|||
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
Критерий строгой выпуклости (вогнутости) для дважды |
||||||
|
|
дифференцируемой функции. |
||||
Если функции y = f ( x) дважды дифференцируема в интервале (a,b) и |
||||||
если f ′′( x) > 0 |
"x Î(a,b) , то функция является строго вогнутой на интервале |
|||||
|
|
|
(a,b) . |
|
|
|
Если |
f ′′( x) < 0 |
"x Î(a,b) , функция строго выпуклой на интервале |
||||
|
|
|
(a,b) . |
|
|
|
Доказательство:
воспользуемся теоремой о связи характера монотонности со знаком произв. у функции
если f ¢¢( x) > 0 ( f ¢( x))¢ > 0 f ¢( x) - возрастающая если f ¢¢( x) < 0 ( f ¢( x))¢ < 0 f ¢( x) - убывающая.
68
Согласно только что доказанному критерию выпуклости (вогнутости), если f ′( x) возрастающая функция, то y = f ( x) - выпуклая.
ПОНЯТИЕ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.
Точка ( x0 , f ( x0 )) называется точкой перегиба графика функции y = f ( x) , если в этой точке осуществляется переход от выпуклости к
вогнутости или от вогнутости к выпуклости. Т.е. существует такая окрестность точки х0
( x0 − δ , x0 + δ ),δ > 0 x ( x0 − δ , x0 ) |
y > f ( x) - выпуклая (вогнутая), а |
x ( x0 , x0 + δ ) y = f ( x) |
- вогнутая (выпуклая). |
Геометрическая иллюстрация.
f ′( x |
) = const |
f ′( x |
) = const |
0 |
|
0 |
|
f ′( x0 ) → tg π |
f ( x0 ) = ∞ |
2 |
|
Необходимый признак существования у функции точки перегиба. Если точка х0 является точкой перегиба графика функции y = f ( x), а
сама функция дважды дифференцируема в окрестности точки х0, за исключением быть может ее самой, тогда либо вторая производная в точке х0 равна нулю, либо не существует.
Доказательство:
Дано: х0 – точка перегиба f ( x) - дважды дифференцируема в окрестности точки х0 (за исключением быть может х0)
69
Доказать: 1) f ′′( x0 ) = 0 или
2) f ′′( x0 ) .
Доказательство: 1) Пусть функция дважды дифференцируема как в самой точке, так и в ее окрестности.
Предположим для определенности, что в точке х0 осуществляется переход от выпуклости к вогнутости. Тогда согласно критерию выпуклости
(вогнутости) для дважды дифференцируемой функции имеем
( f ′( x0 ))′ < 0 |
( f ′( x0 ))′ > 0 |
min
( f ′( x0 ))′ = 0 .
Первая производная в окрестности точки х0 от функции f ′( x) при
переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс. Следовательно согласно первому достаточному признаку существования экстремума у функции функция f ′( x) в точку х0 имеет минимум, отсюда согласно
необходимому признаку существования экстремума у функции ( f ′( x0 ))′ = 0 . Следовательно f ′′( x0 ) = 0 .
В случае когда переход осуществляется от вогнутости к выпуклости доказательство аналогично.
( f ′( x))′ > 0 ( f ′( x))′ < 0
max
( f ′( x))′ = 0 f ′′( x) = 0 .
Доказательство: 2) проиллюстрируем примерами
70