лекцииматан Copy

Число А называется правым пределом функции y = f ( x) в точке х0,

если

"ε > 0 $δ (ε ) > 0 x Î( x0 , x0 + δ (ε )) f ( x) - A < ε .

Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если в ней нарушается условие непрерывности

и пределы слева и справа у функции в этой точке конечны.

Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один левый или правый предел обращается в бесконечность.

Классификация точек разрыва первого рода.

Точка разрыва первого рода называется точкой устранимого разрыва, если предел справа равен пределу слева.

Точка разрыва первого рода называется точкой скачка, если предел справа в этой точке не равен значению пределу слева в этой точке, т.е.

Геометрическая иллюстрация точек разрыва.

31

Основные элементарные функции.

Под основными элементарными функциями понимают функции следующего вида:

1) y = f ( x), f ( x) = c, c = const постоянная

2)f ( x) = xα - степенная функция

3)f ( x) = ax - показательная

4)f ( x) = loga x

функций при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень, называется элементарной функцией.

Теорема:

Все основные элементарные функции непрерывны в своей области

Доказательство: Dy = f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) приращение функции

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ. Функция f(х) называется бесконечно малой функцией в точке х0, если

α ( x) бесконечно малая более высокого порядка малости по отношению к β ( x) (обозн. α ( x) = 0(β ( x)) - 0 малое)

¥ α ( x) бесконечно малая более низкого порядка, чем β ( x) .

const α ( x) и β ( x) одного порядка малости α ( x) = 0(β ( x)) - 0 большое 1 α ( x) и β ( x) эквивалентны. α ( x) β ( x) .

"ε > 0 $δ (ε ) > 0 0 < x - x0 < δ (ε ) f ( x) > ε

Понятие производной функции в точке.

Производная функции f(х) в точке х0 называется предел отношение приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

35

Геометрический смысл производной.

Df ( x) = f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) = Dy

Геометрически производная функции в точке х0 есть тангенс угла наклона касательной, построенной к графику функции в точке (х0, f(х)), к оси абсцисс.

Понятие дифференциальной функции.

Функция у = f(х) называется дифференцируемой в точке х0, если предел

(*) существует и кончен. В противном случае функция называется не дифференцируемой.

Если функция у = f(х) дифференцируема в каждой точке множества х, то функция называется дифференцируемой на множестве х.

Теорема о представлении дифференцируемой на некотором множестве функции.

Пусть функция у = f(х) дифференцируема на некотором множестве х, тогда для нее на этом множестве справедливо

Dy = A × Dx + Dx ×α% (Dx) α (Dx) α (Dx) = Dx ×α% (Dx)

36

lim α ( x) = 0

x→0

Dy = A × Dx +α (Dx)

lim α ( x) = 0 .

x→0

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Теорема.

Если функция у = f(х) дифференцируема на Х, то она непрерывна на этом множестве.

Обратное неверно, т.е. если функция непрерывна на Х, то она не обязательно дифференцируема на этом множестве.

Дано: f(х) – дифференцируема. Доказать: f(х) – непрерывна.

Определение № 2. lim y = 0 .

x→0

Доказательство:

Воспользуемся представлением дифференцируемой функцией

Df ( x) = A × Dx +α (Dx) , A − const, lim α ( x) .

x→0

Перейдем в этом соотношении к пределу

lim Dy = lim ( A × Dx + α ( x)) = A × 0 + 0 = 0 опр. №2 функция f(х) непрерывна.

x→0 x→0

Вторую часть теоремы проиллюстрируем на чертеже

Таблица производных основных элементарных функций.

у = c.

f(x) = c c - const

у = ln x.

f(x) = ln x Х – область определения

37

2)(u ( x) ± v ( x))¢ = u¢( x) ± v ( x)

3)(u ( x) × v ( x))¢ = u¢( x) × v ( x) + u ( x) × v¢( x)

38

Производные от гиперболических функций. Гиперболическим синусом sh х называется функция, определяемая

соотношением