лекцииматан Copy

ЛОГИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА И КВАНТОРЫ Конъюнкция (&) – « и».

Дизъюнкция - «или» (не разделительный). Импликация - «следует, влечет, если…, то».

Эквиваленция - «тогда и только тогда, следование в обе стороны». → «стремится» ↔ «взаимно однозначное соответствие»

отрицание ¬a принадлежит содержится

def «по определению»

def «по определению равно»

Квантор существования - «существует». Квантор всеобщности «для любого».

Множества и простейшие операции над ними.

Множество – это совокупность элементов, объединенных по какомулибо признаку.

Обозначение: А, В, С… Элементы множеств: a, b, c…

Под пустым множеством понимается множество, несодержащее ни одного элемента

А В - подмножество множества В.

Если из некоторого множества В произвольным образом выбирается некоторая совокупность его элементов, то они образуют некоторое подмножество множества В.

Множеством подмножеств некоторого множества В называется множество, элементами которого являются все подмножества множества В, включая пустое множество и само множество В.

Пример: B = {x, y} .

Множество всех подмножеств {{x},{ y}, ,{x, y}} .

Простейшая операция над множествами.

I.Объединение A B

xA B x A x B .

1

II. Пересечение A Ç B .

x Î A Ç B Û x Î A Ù x Î B

III.Разность А\В («А» без «В»)

x Î A \ B Û x Î A Ù x Î B .

IV. Дополнение Ас

Множество элементов из некоторого множества Х, не принадлежащих множеству А, называется дополнением множества А относительно множества Х. x Ac x X x A .

Числовые множества

1.N = {1, 2,3...} – натуральные числа Z = {0, ±1, ±2...} - целые числа

N Ì Z

I – иррациональные числа – числа, которые нельзя представить в виде конечной или периодической десятичной дроби.

R = Q U I

R \ Q = I R I = Q

Геометрическая иллюстрация действительных чисел Геометрически множества R изображается направленной

(ориентированной) прямой, а отдельные числа – точками этой прямой.

Расширенная числовая ось. R = [−∞;+∞].

Часто бывает удобно дополнить множества R несобственными элементами, которые обозначаются через «+∞» и «– ∞».

2

1)− ∞ < +∞

2)(-¥) + (-¥) = -¥

3)(+¥) + (+¥) = +¥

4)(±¥) ×(±¥) = -¥

5)(±¥) ×(±¥) = +¥

6)a Î R Û -¥ < a < +¥

7)a > 0, a Î R

a×(±¥) = ±¥

8)a < 0, a Î R

a×(±¥) = ±¥

9)a Î R

a+ (±¥) = ±¥

!Операции, которые не определены (теория пределов)

Числовая окрестность (геометрическая интерпретация расширенной числовой оси)

Некоторые наиболее употребляемые числовые промежутки Пусть а,bÎR.

[a, b] – отрезок (a, b) – интервал

[a,b), (a,b] - полуинтервал

(-¥;b],[0; +¥) - бесконечные полуинтервалы бесконечные промежутки (-¥;b), (a;+¥) - бесконечные интервалы

(-¥; +¥) = R

[-¥;+¥] = R

3

(а– d, а+d) – окрестность точки

Эквивалентные множества Говорят, что между множествами А и В установлено взаимно

однозначное соответствие, если каждому элементу a A поставлено в соответствие единственный элемент множества В и наоборот, каждому элементу b B поставлен в соответствие единственный элемент a A.

Множества А и В называются эквивалентными, если между ними установлено взаимно однозначное соответствие. Относительно двух эквивалентных множеств говорят, что они имеют одинаковую мощность.

Счетные и несчетные множества

Множество А, эквивалентное N, называется счетным, в противном случае – несчетным.

Множество мощности – континуум. Множество В называется множеством мощности континуума, если оно эквивалентно множеству всех действительных чисел отрезка [0; 1].

Множество комплексных чисел

Комплексными числами называются всевозможные упорядоченные пары (х, у) действительных чисел ( x Î R, y Î R) , удовлетворяющие операциям сложения, умножения отношения порядка:

Сложение: z1 + z2 = ( x1, y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) , Умножение z1 × z2 = ( x1, y1 ) ×( x2 , y2 ) = ( x1x2 - y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ,

Отношение порядка z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2 .

Для комплексных чисел не определены операции >, <, ³, £. действительные числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа

Всякое комплексное число может быть записано в виде

}i

z = ( x, y ) = ( x,0) + (0,1) ×( y,0)

z = x + yi - арифметическая форма записи комплексного числа i = (0;1) i2 = −1- мнимая единица.

4

Представление комплексного числа в алгебраической форме законно, т.к. можно отождествлять пару ( x,0) « x . В силу того, что можно

осуществлять взаимно однозначное соответствие между двумя множествами

{( x,0) x Î R} « R .

При этом сохраняются операции сложения и умножения

( x1,0) + ( x2 ,0) = ( x1 + x2 ,0 + 0) = ( x1 + x2 ,0) « x1 + x2

( x1,0) ×( x2 ,0) = ( x1 × x2 - 0, x1 × 0 + 0 × x2 ) = ( x1 × x2 ,0) « x1 × x2 .

Геометрическая иллюстрация комплексного числа

Модулем комплексного числа называется число, определяемое формулой z = r = x2 + y2 .

Геометрически модуль комплексного числа – это расстояние от начала координат до точки М(х,у).

Алгебраическая форма комплексного числа позволяет производить арифметические действия с комплексными числами, как с алгебраическими многочленами

z1 + z2 = ( x1 + iy1 ) + ( x2 + iy2 ) = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 )

z1 × z2 = ( x1 + iy1 ) ×( x2 + iy2 ) = x1x2 + x1 ×i × y2 + iy1x2 -1× y1 y2 =

= ( x1x2 - y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 )

Операция деления двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, осуществляется путем умножения на сопряженный множитель.

Число z = x − iy называется комплексно-сопряженным к числу

Понятие аргумента комплексного числа.

Всякое решение системы уравнений называется аргументом комплексного числа z = x + iy и обозначается символом Arg z.

Все аргументы комплексного числа отличаются на число, кратное 2π. Значение аргумента z, удовлетворяющее условию Argz (−π ;π ]

называют главным значением аргумента комплексного числа и обозначают

arg z.

Иногда в качестве главного значения аргумента комплексного числа берут значения аргумента z, удовлетворяющие условию Argz [0;2π ) .

Нахождение главного значения аргумента комплексного числа Теорема. Для нахождения главного значения аргумента комплексного числа

Доказательство.

6

tg (−ϕ ) = − y tgϕ = arctg y x x

α + (−ϕ ) = π − ϕ = π − α

ϕ = arctg y − π . x

Доказать, что главное значение аргумента комплексного числа, удовлетворяющее условию Argz [0;2π ) , находится по формуле

Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Теорема. Любое комплексное число z, не равное нулю, может быть записано в тригонометрической форме

7

z = x + iy

Пример. Представить в тригонометрической форме комплексное число, заданное в арифметической форме.

z = -1 + i3

2

Показательная форма комплексного числа.

Теорема. Любое комплексное число z, не равное нулю, можно представить в показательной форме

z = z eiϕ , где eiϕ = cosϕ + i sinϕ, ϕ = arg z .

Доказательство теоремы следует из тригонометрической формы комплексного числа.

Показательная форма комплексного числа позволяет легко проводить операции умножения и деления комплексных чисел.

Формулы Эйлера.

eiϕ = cosϕ + i sinϕ

e−iϕ = cos(−ϕ ) + i sin (−ϕ ) = cosϕ − i sinϕ

Возведение в степень комплексного числа (формула Муавра)

zn = ( z eiϕ )n = zn einϕ

zn = zn einϕ = zn (cos (nϕ ) + i sin (nϕ ))

Доказательство.

9

tgϕ = y x

ϕ = arctg y x

α + ϕ = π ϕ = π + arctg y x

ϕ = π + α ϕ = arctg y + π x

tgα = − y α = −arctg y x x

ϕ = 2π − α ϕ = arctg y + 2π x

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ n-ой СТЕПЕНИ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное

число W, которое при возведении в n-ую степень дает число z.

z = W n n z = W .

Воспользуемся тригонометрической формой записи комплексного числа.

Z = Z (cosϕ + i sinϕ ), ϕ = arcZ

W = W (cosϕ + i sinϕ ), ψ = arcW .

10