лекцииматан Copy

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2) ϕ (n+1) ( x ) ¹ 0 , тогда ξ ,

x < ξ < x , что

F (n+1) (ξ )

ϕ (n+1) (ξ )

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

700.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

f¢(ξ ) = f (b) - f (a) ×ϕ¢(ξ )

ϕ(b) -ϕ (a)

f ¢(ξ ) =

ϕ¢(ξ )

1		, ϕ¢( x) ¹ 0,	"x Î(a,b) .
/×
	ϕ¢(ξ )
f (b) - f (a)
ϕ (b) -ϕ (a) .

Правило Лопиталя. Теорема.

Если две f ( x) и ϕ ( x) непрерывны в окрестности точки а за исключением, быть может, ее самой; дифференцируется в точке а и предел

lim f ( x) = 0,	limϕ ( x) = 0, а ϕ ( x) ¹ 0		"x Î окр. а, то справедливо правило
x→a	x→a	f ( x)			f ¢( x)
			0
	Лопиталя: lim		=	= lim		.
		ϕ ( x)			ϕ¢( x)
	x→a		0	x→a

Доказательство:

Доопределим f и ϕ по непрерывности; f (a) = 0, ϕ (a) = 0 f ,ϕ непрерывны на [a, x] или [x, a]

f( x) , ϕ ( x) дифференцируема (a, x) или ( x, a) ϕ′( x) ¹ 0 .

Вокрестности точки а справедлива теорема Коши:

f ( x) - f (a)

f ¢(ξ )

ϕ ( x) -ϕ (a)

ϕ¢(ξ )

f ( x)

f ¢(ξ )

ϕ ( x)

ϕ¢(ξ )

f (a) - f ( x)

f ¢(ξ ) f ( x)

f ¢(ξ )

ϕ (a) -ϕ ( x)

ϕ¢(ξ )

ϕ ( x)

ϕ¢(ξ )

Перейдем в последней формуле к пределу при x → a . При этом ξ → a .

lim	f ( x)	= lim	f ¢(ξ )	lim	f ( x)	= lim	f ¢( x)	.
	ϕ ( x)		ϕ¢(ξ )		ϕ ( x)
x→a		ξ →a		x→a		x→a	ϕ¢( x)

Замечание: правило Лопиталя сохраняется, если пределы lim f ( x) = ¥

x→a

и limϕ ( x) = ¥ , т.е. при помощи правила Лопиталя можно раскрывать

x→a

неопределенность ¥ .

Доказательство:

f ( x) lim ( )

x→a ϕ x

=¥¥ = limx→a

ϕ ( x)

f ( x)

			1		¢

	0			ϕ ( x)
=		= {пр. Лопиталя} = lim				=
					¢
0		x→a	1

				f ( x)

×ϕ¢( x)

f 2 ( x)

ϕ¢( x)

= lim

ϕ 2 ( x)

= lim

× lim

ϕ 2 ( x)

x→a

× f ¢( x)

x→a

x→a f ¢( x)

f 2 ( x)

lim

f ( x)

= lim

2 ( x)

× lim

ϕ¢( x)

ϕ ( x)

2 ( x)

x→a

x→a ϕ

x→a f ¢( x)

1 = lim

f ( x)

× lim

ϕ¢( x)

ϕ ( x)

x→a

x→a f ¢( x)

lim

f ( x)

= lim

ϕ¢( x)

ϕ ( x)

x→a

x→a f ¢( x)

f ( x)

Замечание: правило Лопиталя сохраняет силу, если x → ∞ lim ( )

x→∞ ϕ x

f ( x) lim ( )

x→∞ ϕ x

= lim

t→0

замена t = 1 ® 0 a x

f ¢

= lim

t→0

ϕ¢

f ¢( x)

замена x =

® ¥

= lim

x→∞

ϕ¢( x)

¢ 1 f

t = ϕ¢ 1

t

Раскрытие по правилу Лопиталя неопределенностей [0 × ¥] и [¥ - ¥]

lim f ( x) × g ( x) = [0 × ¥] = lim

( x)

= lim

f ¢( x)

1 ¢

x→a

(

)

g ( x)

lim f ( x) × g ( x) = lim

g ( x)

= lim

g¢( x)

x→a

(

)

f ( x)

Если приходится иметь дело с неопределенностью [¥ - ¥] , то нужно вынести за скобки какой-либо множитель.

Раскрытие с помощью правила Лопиталя неопределенностей вида

1∞ ,¥0 ,00 .

Для раскрытия такого вида неопределенностей применяют логарифмирование:

	∞
g x	1				g x	) = y ( x) = lim y ( x) = lim eln y( x)
lim f ( x) (	) = ¥0			= замена f ( x) (		) = y ( x) = lim y ( x) = lim eln y( x)
x→a		0				x→a		x→a
		0
	0
								0 × ¥
limln y ( x) = lim ln f ( x)g( x) = lim g ( x)ln f ( x)							=	0 × ¥
x→a			x→a		x→a
							0 ×(-¥)

Формулы Тейлора и Маклорена. Теорема.

Пусть функция f ( x) дифференцируема n+1 раз в окрестности точки х0,

то существует такая точка x между х0 и х, в которой справедлива формула Тейлора

f ( x) = f ( x

) +

f ¢¢( x0 )

( x - x

) +

f ¢¢( x0 )

( x - x

)2 + ... +

(n) ( x

)

f (n+1) (ξ )

( x - x

)

( x - x )

n+1

(n +1)!

Rn( x) - остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Чтобы доказать формулу Тейлора докажем две вспомогательные леммы.

Лемма № 1 (формула Тейлора для многочлена). Если дан арифметический многочлен n – ой степени

f ( x) = a0 + a1 ( x - x0 ) + a2 ( x - x0 )2 + ... + an ( x - x0 )n , то его коэффициенты

										f ( x	),								f (к) ( x		)
							=										=		f (к) ( x		)		к =1, n .
находятся по формулам a														a					0			,
находятся по формулам a														a								,
						0				0					к					к!
																				к!
					Доказательство:
f ( x ) = a + a				( x		- x				) + a	2	( x - x							)2 + ... = a
0		0	1	0				0			2		0					0			0
f ¢( x)	= a + 2a				( x - x ) + ... + na													( x - x )n−1
		1		2						0							n		0
		f ¢( x0 ) = a1								a1	=		f ′( x					)
		f ¢( x0 ) = a1								a1	=						0
																	0
													1!
f ¢¢( x) = 2a	2	+ 6a ( x - x						)	+ ... + n × a						n		(n -1)( x - x						)n−2
	2		3			0									n						0
		f ¢¢( x0 ) = 2a2								a2 =				f ′′( x					)
		f ¢¢( x0 ) = 2a2								a2 =								0
																		0
																2!
f ¢¢¢( x) = 6a			+ ... + n × a						n	(n -1)(n - 2)( x - x											)n−3
		3							n										0
									53

f ¢¢¢( x0 ) = 3!a3

a3 =

f ′′′

( x

)

(n) ( x )

= n!a

a =

f (n) ( x0 )

Вывод: алгебраический многочлен может быть записан в виде

f ( x) = f ( x

) +

f ¢( x

)

( x - x

) +

¢¢( x

)

( x

- x

)

... +

(n) ( x

)

( x - x

)

Лемма № 2.

Пусть две F ( x) и ϕ ( x) удовлетворяют трем условиям:

1) обе функции непрерывны вместе со своими производными до n+1 порядка включительно в окрестности точки х0;

Доказательство:

Применим теорему Коши для функции F ( x) и ϕ ( x) n раз

F( x)

ϕ( x)

ϕ( x) -ϕ ( x0 )

=F¢(ξ )

ϕ¢(ξ )F ( x) - F ( x

=F¢(ξ ) , где х =0

ϕ¢(ξ ) 0

2-ой раз

F¢(ξ )	=	F¢¢(ξ1 )	F′( x) ϕ′( x)
ϕ¢(ξ )	=	ϕ¢¢(ξ )	F′( x) ϕ′( x)
ϕ¢(ξ )		ϕ¢¢(ξ )
		1

За счет условия 2) имеем

F ( x) F (n+1) (ξ ) ϕ ( x) = ϕ (n+1) (ξ ) .

Докажем формулу Тейлора, для этого воспользуемся леммой № 2. Для этого введем две вспомогательные функции

F ( x) = f ( x) - ∑n f (к) ( x0 ) ( x - x0 )к

к=0 к!

f ( x0 ) + f ′( x0 ) ( x - x0 ) + ...

ϕ ( x) = ( x - x0 )n+1 .

Эти две функции удовлетворяют условиям леммы № 2


	F ( x)		=	F (n+1) (ξ )
	ϕ ( x)			ϕ (n+1) (ξ )
F ( x)		f (n+1) (ξ )				f (n+1) (ξ )
	=				=		.
ϕ ( x)		ϕ (n+1) (ξ )				(n + 1)!

Подставим последнее соотношение для функций F ( x) и ϕ ( x)

(к)

( х0 )

( х − х0 )к

f ( x) − ∑

(n+1)

(ξ )

к=0

к!

( х − х0 )n+1

ϕ (n+1) (ξ )

(к)

( x0 )

(n+1)

(ξ )

f ( x) = ∑

( х − х0 )к +

( x − x0 )n+1 .

к=0

к!

(n + 1)!

R(x)

Формулу Тейлора можно записывать с остаточным членом в форме

n		(к)	( x0 )		(( x − x0 )n )
Пеано f ( x) = ∑	f			( х − х0 )к + 0

t		к!

остаточный член в форме Пеано. Если применяют формулу Тейлора с остаточным членом в форме

Пеано, то условие, накладываемое на функцию f ( x) , ослабляется. Теорема.

Пусть производная f (к) ( x) существует только в точке x = x0 , а функция f ( x) и ее производная до к −1 порядка существует в некоторой

окрестности точки х0, тогда x из достаточно малого х0 справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

(к)

( x0 )

f ( x) = ∑

( х − х0 )к + Rn( x), где Rn( x) = 0(( x − x0 )n ).

к=0

к!

Rn( x)

lim

= 0

( x − x

n→∞

(к)

( х − х0 )к

Rn( x) = f ( x) = ∑

к=0

к!

Rn( x)

Rn( x0 ) = f ( x0 ) − f ( x0 ) = 0

lim

= раскрытие по правилу Лопиталя =

( x − x0 )

n→∞

= lim

Rn( x)

= lim

f (n−1) ( x) ×( f

(n−1) ( x0 ) + f (n) ( x0 )( x - x0 ))

)n+1

n!( x - x0 )

x→x0 n( x - x

x→x0

f (n−1)

( x) - f (n−1) ( x )

)

( x

)

( x

) - f

) ( x ) = 0.

lim

- f (

= f (

(

x - x

n! x→x0

Пример:

f ( x) =

по формуле Тейлора x = −2

x +1

f ( x)

= f ( x

) +

f ¢( x

)

( x - x )

f ¢¢( x

)

( x

- x

)

+ ... +

f (n) ( x )

( x - x )

+ Rn( x)

f ( x) =

x0 = −2

x +1

f ¢( x0 ) = -(-1)−2

f ¢( x) = (( x +1)

−1

= -( x +1)

−2

f ( x0 ) = -1

)

f ¢¢( x) = (-( x +1)

−2

2( x +1)

−3

f ¢¢( x0 ) = 2(-1)−3

)

f ¢¢¢( x) = -6( x +1)−4 = -3!( x +1)−4

¢¢¢( x

) = -3!(-1)−4

f (4) = 4!( x +1)−5

(4) ( x ) = 4!(-1)−5

f (n) ( x

) = n!(-1)−(n+1) ×(

-1)n = n!(-1)−n−1+n = -n!

= -1 -1!( x + 2) + -2!( x + 2)2 + -3!( x + 2)3 + ... + -n!( x + 2)n + Rn( x) =

x +1

=-1 - ( x + 2) - ( x + 2)2 - ( x + 2)3 - ... - ( x + 2)n + Rn( x) = -∑( х + 2)к + Rn( x).

к=0n

Формула Маклорена.

Если в формуле Тейлора положить x0 = 0 , то получается формула

Маклорена, которая имеет вид

f ( x) = f (0) +

f ¢(0)

f (n) (

+ Rn( x) .

x2 + ... +

× xn

Пример: разложить по формуле Маклорена f ( x) = ex .

f ( x) = ex

f ( x ) = e0 =1

f ¢( x) = ex

f ′( x0 ) =1

f (n) ( x) = ex

f (n) ( x

) =1

ex =1 +

x +

x2 + ... +

xn + Rn( x) = ∑

+ Rn( x).

1! 2!

к=0 к!

Выполнить разложение sin x,

cos x,

(1 + x)2 ,

+ x

1 - x

Эквивалентные определения монотонных функций.

Функция y = f ( x) называется возрастающей, если выполняется

неравенство	y > 0
f ( x) "x1, x2 Î X	Dx
f ( x) "x1, x2 Î X	x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x2 )
Dy = f ( x + Dx) - f ( x )				y > 0
	0	0	Dx
	0	0
	− y =	y > 0
	-Dx	Dx
Аналогично можно ввести определения оставшихся монотонных
функций.
Функция y = f ( x) называется неубывающей, если				y ³ 0 .
				Dx
Функция y = f ( x) называется убывающей, если				y < 0 .
			Dx
Функция y = f ( x) называется не возрастающей, если				y £ 0 .
				Dx

ТЕОРЕМА О СВЯЗИ ХАРАКТЕРА МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ СО ЗНАКОМ ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ

1-й столбик.	2-й столбик
Если f ′( x) > 0 f ( x) возрастающая f ′( x) ³ 0 .

Если f ′( x) ³ 0 f ( x) неубывающая f ′( x) ³ 0 . Если f ′( x) < 0 f ( x) убывающая f ′( x) £ 0 .

Если f ′( x) £ 0 f ( x) не возрастающая f ′( x) £ 0 . Доказательство первого столбика:

1. Дано: f ′( x) > 0 .

Доказать – f ( x) – возрастающая.

Доказательство: воспользуемся теоремой Лагранжа

f (b) - f (a) = f ¢(ξ )
b - a
f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) = f ¢(ξ )
( x0 + Dx) - x0
y = f ¢(ξ ) > 0	y > 0
Dx	Dx

по «дано» эквив. опр. возраст.функции f ( x) – возрастающая. Замечание: аналогичный результат получается, если применить

теорему Лагранжа для			x < 0
	f ( x0 ) - f ( x0 + Dx)		= f ¢(ξ )	− y		y
				-Dx	=	f ¢(ξ ) Dx	> 0
	x - ( x + Dx)
0		0
	f ( x) –	возрастающая.

Доказательство первого столбика для случаев 2 – 4 самрстоятельно. 2. Дано: Дано: f ′( x) ³ 0 .

Доказать – f ( x) – неубывающая. Доказательство: воспользуемся теоремой Лагранжа


			f (b) - f (a)	= f ¢(ξ )
				= f ¢(ξ )
			b - a
		f ( x0 + Dx) - f ( x0 )			= f ¢(ξ )
					= f ¢(ξ )
			x0 + Dx - x0
y = f ¢(ξ ) ³ 0		y ³ 0 - эквив.опред-е неубывающей функции
Dx	Dx

f( x) - неубывающая.

3.Дано: f ′( x) < 0 . Доказать – f ( x) – убывающая.

Доказательство: воспользуемся теоремой Лагранжа

f (b) - f (a) = f ¢(ξ )

b - a

	f ( x0 + Dx) - f ( x0 )	= f ¢(ξ )
	x0 + Dx - x0	= f ¢(ξ )
	x0 + Dx - x0
	y = f ¢(ξ ) < 0	y < 0
	Dx	Dx

опр. убывающей.функции f ( x) – убывающая. 4. Дано: f ′( x) £ 0 .

Доказать – f ( x) – невозрастающая. Доказательство: воспользуемся теоремой Лагранжа

						f (b) - f (a)		= f ¢(ξ )
								= f ¢(ξ )
							b - a
		f ( x0 + Dx) - f ( x0 )							= f ¢(ξ )
									= f ¢(ξ )
						x0 + Dx - x0
y = f ¢(ξ ) £ 0							y £ 0 f ( x) – невозрастающая.
Dx						Dx
	Доказательство второго столбика.
1. Дано:				f ( x) - возрастающая (						y > 0 ).
					Доказать: f ′( x) ³ 0 .					Dx
					Доказать: f ′( x) ³ 0 .
Доказательство:	y > 0 . в неравенстве перейдем к пределу при x → 0 .
	Dx
При этом строгое неравенство переходит в нестрогое, т.е.
			lim				y ³ 0 f ¢( x) ³ 0
					x→0		Dx
							опред f ′( x) .
	2. Дано:			f ( x) - неубывающая (						y ³ 0 ).
					Доказать: f ′( x) ³ 0 .					Dx
					Доказать: f ′( x) ³ 0 .
Доказательство:						y ³ 0 перейдем к пределу при x → 0
			Dx				y ³ 0 f ¢( x) ³ 0
			lim				y ³ 0 f ¢( x) ³ 0
					x→0		Dx
	определение производной.
	2. Дано:					f ( x) - убывающая (				y < 0 ).
									Dx
							59

	Доказать:			f ′( x) ≤ 0 .
Доказательство:	y < 0 . Перейдем в неравенстве к пределу при					x → 0
	Dx		y £ 0 f ¢( x) £ 0 .
	lim
	x→0		Dx
3. Дано: f ( x) - неубывающая ( y £ 0 ).
					Dx
	Доказать:			f ′( x) £ 0 .
Доказательство:			y £ 0 lim		y £ 0 f ¢( x) £ 0 .
		Dx		x→0	Dx
Внутренние локальные экстремумы функции. Понятие максимума
функции и точки максимума функции.
Точка х0 называется точкой внутреннего локального максимума
функции, если существует такая окрестность точки х0 ( x0 - δ ; x0 + δ ),						δ > 0 ,
что для любой точки из этой окрестности справедливо неравенство
1) f ( x0 ) ³ f ( x)	"x Î( x0 - δ ; x0 + δ ) . Если неравенство (1) строгое, то

точка х0 называется точкой строгого локального максимума функции. Значение функции в точке max называется максимумом функции.

Геометрическая иллюстрация:

нестрогий

строгий локальный max

Понятие локального минимума функции и точки локального минимума. Точка х0 называется точкой минимума функции y = f ( x), если

существует такая окрестность точки х0 ( x0 - δ ; x0 + δ ), δ > 0 ($δ ) , что для любой точки из этой окрестности справедливо неравенство

2) f ( x0 ) £ f ( x) "x Î( x0 - δ ; x0 + δ ) . Если неравенство (2) строгое, то

точка х0 называется точкой строгого локального минимума функции. Геометрическая иллюстрация:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025147.97 Кб0лекции_ИСМ.doc
#
18.12.2018454.66 Кб20лекции_по_комп_гр_cim_и_ug.doc
#
18.12.2018346.62 Кб128Лекции_по_САПР_исправ.doc
#
12.03.20152.34 Mб147Лекции_Электротехника и электроника.pdf
#
12.03.20151.59 Mб40Лекциии ЭВМ Трусфус.doc
#
12.03.2015700.37 Кб12лекцииматан Copy.pdf
#
17.04.20191.99 Mб65лекциипо электронике.doc
#
12.03.20152.49 Mб43лекциирядыиинтегралфурье.docx
#
12.03.2015738.82 Кб22ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ ПО СЭПС.doc
#
12.03.201578.72 Кб47Лекция 1 Word.docx
#
17.09.201944.33 Кб4Лекция 1 (5 -12).docx