лекцииматан Copy

x2 + y2 = 4cos2 t + 4sin2 t = 4 x2 + y2 = 4 .

Теорема.

Если функция у = f(х) задана параметрически и х=х(t) имеет обратную (t = t ( x)) , то производная параметрически заданной функции сходится по

формуле y¢ = y′t . x x¢t

Доказательство: т.к. функции х=х(t) существует обратная t=t(x), то ее можно подставить вместо переменной t в выражение для функции у=у(t),

тогда имеем y = y (t ( x)).

Понятие дифференциала функции одной переменной.

Пусть функция у = f(х) дифференцируема в точке х0, тогда для нее справедливо представление

главная часть приращения функции.

Главная часть в приращении функции у = f(х) в случае ее дифференцирования называется дифференциалом и обозначают dy.

dy = ADx dy = f ′( x) × Dx .

Приращение аргумента x принято обозначать так же dх и называть дифференциалом независимой переменной.

dy = f ′( x) dx .

Геометрический смысл дифференциала функции в точке.

Геометрически дифференциал функции в точке – это приращение касательной к кривой в точке дифференцирования.

Геометрические приложения производной и дифференциала.

I.Касательная и нормаль к графику функции в точке

и у функции x = x (t ) существует обратная t = t ( x) , то вторая производная функции f ( x) по переменной х находится по формуле

Дифференциалы высших порядков.

dy = f ′( x)dx, dx = Dx - обычно называют дифференциалом первого порядка. Дифференциалом второго порядка функции y = f ( x) называется

дифференциал от ее первого дифференциала, т.е. d 2 y = d (dy )

d 2 y = d ( f ¢( x)dx) = dxd ( f ¢( x)) = Dx ( f ¢( x))Dx = f ¢¢( x)(Dx)2 = f ¢¢( x)dx2 d 2 y = f ¢¢( x)dx2 .

Аналогично можно показать, что дифференциал n-го порядка, определяемый как дифференциал от дифференциала n-1 порядка, т.е.

d n y = d (d n−1 y ) , находится по формуле

d n y = f (n) ( x)dxn .

Теорема об инвариантности формы первого дифференциала.

Пусть функция z = z ( y ( x)) - сложная функция и z ( y ) и y ( x)

дифференцируемые функции. Тогда дифференциал сложной функции находится по формуле

45

dz = z′ × dy .

y

Доказательство:

dz = (z ( y ( x)))¢ dx = z¢y × y¢x × dx = z¢y × dy .

x

Замечание: дифференциалы высших порядков сложных функций не инвариантны, в частности

d 2 z ¹ z¢¢ × dy2

yy

отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

m £ f ( x) £ M

20. Если функция y = f ( x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то на отрезке [a,b] найдется хотя бы одна точка ξ Î(a,b) , в которой функция обращается в ноль.

f (ξ ) = 0

30. Если функция y = f ( x) непрерывна на отрезке [a,b] и f (a) ¹ f (b) , то для любой точки "μ ÎY $ξ Î(a,b) f (ξ ) = μ

46

Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.

Теорема Ролля.

Если функция y = f ( x)

1)непрерывна на отрезке [a,b]

2)дифференцируема на (a,b)

3)значения функции на концах отрезка совпадают

тогда в интервале (a,b) найдется по крайней мере одна точка ξ, в которой

значение производной равно нулю, т.е.

ξ (a,b) f ′(ξ ) = 0 .

Геометрическая иллюстрация

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции y = f ( x) , удовлетворяющей условиям 1 –3, найдется по крайней мере одна

точка, в которой касательная к графику функции параллельна ось абсцисс. Доказательство:

Дано: 1) непрерывна на [a,b]

2) дифференцируема на (a,b)

Доказательство:

47

Воспользуемся условием 1) «Дано». Согласно свойствам функции, непрерывной на отрезке, функция y = f ( x) достигает на этом отрезке своего

наибольшего М и наименьшего m значений, причем m ≤ f ( x) ≤ M . Возможно два варианта:

т.к. m ¹ M и f (a) = f (b) , то функция y = f ( x) достигает либо своего наибольшего, либо наименьшего, либо и наибольшего и наименьшего внутри интервала (a,b) .

Для определенности пусть функция достигает своего наибольшего

Теорема Лагранжа. Если функция y = f ( x)

1)непрерывна на [a,b]

2)дифференцируема в (a,b)

48

тогда в интервале (a,b) найдется по крайней мере одна точка x, в которой

справедлива формула конечных приращений Лагранжа:

$ξ Î[a,b]: f (b) - f (a) = f ¢(ξ ). b - a

Геометрическая иллюстрация теоремы Лагранжа.

tgα = f (b) - f (a) = f ¢(ξ ) b - a

Геометрически теорема Лагранжа означает, что на произвольной дуге графика функции y = f ( x), удовлетворяющей условиям 1 – 2, найдется по

крайней мере одна точка (ξ , f (ξ )), в которой касательная к графику

функции параллельна хорде, стягивающей концы дуги. Дано:

1)непрерывна на [a,b]

2)дифференцируема в (a,b) .

Доказательство:

введем в рассмотрение вспомогательную функцию

F ( x) = f ( x) - f (b) - f (a) × x . b - a

Эта функция удовлетворяет теореме Ролля 1. непрерывность

= f (a)b - f (b)a . b - a

49

Доказательство: Дано:

1)f ( x) , ϕ ( x) непрерывны "x Î[a,b]

2)f ( x) , ϕ ( x) дифференцируемы "x Î(a,b)

Доказательство:

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

F ( x) = f ( x) - f (a) - f (b) - f (a) (ϕ ( x) -ϕ (a)). ϕ (b) -ϕ (a)

Для функции F ( x) справедлива теорема Ролля, т.к.:

1)F ( x) непрерывна на [a,b] Ü из 1)

2)F ( x) дифференцируема в (a,b)

F (b) = f (b) - f (a) - f (b) - f (a) (ϕ (b) -ϕ (a)) = 0 ϕ (b) -ϕ (a)

F (a) = F (b) = 0 .

Т.к. все условию теоремы Ролля выполняются, то в интервале (a,b) найдется по крайней мере одна точка x такая, что F′(ξ ) = 0

F¢(ξ ) = f ¢(ξ ) - f (b) - f (a)ϕ¢(ξ ) = 0 ϕ (b) -ϕ (a)

50