Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лекцииматан Copy

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

700.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Числом

называют

предел

ограниченной

монотонной

последовательности { x

}∞ , где x

1 +

n+1

, т.е. lim

1 +

n+1

= e .

n→∞

n+1

Замечание: из этого определения следует, что предел lim 1

= e

1 n+1

n→∞

e = lim 1

= lim 1

1 +

= lim 1

n→∞

123

↓

Бесконечно малые числовые последовательности.

Числовая последовательность {αn }1∞ называется бесконечно малой,

если limα = 0 , т.е.

n→∞ n

ε > 0 N (ε ) N n > N (ε ) αn < ε .

Пример: αn = − 1 {αn} - бесконечно малая. n

Основные свойства бесконечно малых (Б.М.) последовательностей. 10. Сумма двух Б.М. дает бесконечно малую последовательность

{αn },{βn } − Б.М. {αn + βn} - БМ.

{αn } − Б.М. ε1 > 0 N1 (ε1 ) N n > N1 (ε1 )

αn

< ε1

{βn } − Б.М. ε2 > 0 N2 (ε2 ) N n > N2 (ε2 )

< ε2

ε > 0

= ε

N (ε ) = max{N1, N2}

= ε

+ ε = ε

+ β

≤

< ε

+ ε

ε > 0 N (ε ) N n > N (ε )

αn + βn

< ε

{αn + βn } - Б.М.

Следствие: сумма конечного числа Б.М. последовательностей есть Б.М. 20. Разность двух Б.М. последовательностей есть Б.М. последовательность.

{αn },{βn } − Б.М. {αn + βn} - Б.М.

Доказать.

αn + βn = αn + (−βn ) < αn + −βn = αn + βn

− β

= ε

+ ε = ε

ε > 0 N (ε ) N n > N (ε ) αn − βn < ε

{αn + βn } - Б.М.

Следствие: разность нескольких Б.М. есть Б.М. последовательность. 30. Произведение ограниченной последовательности на Б.М. есть Б.М.

{ xn } - ограничена { xn } - Б.М. { xn ×αn} - Б.М.

{ xn } - ограничена : $к > 0, кÎ R "n Î N

< к

{αn } - Б.М. "ε > 0

$N (ε )Î N "n > N (

ε )

αn

< ε .

Пусть ε = ε1

"ε > 0

x ×α

< к ×ε = к × ε1 = ε

xn ×αn < ε1 {xn ×αn} - Б.М.

Следствие: произведение сходящейся последовательности на бесконечно малую, есть Б.М.

Доказательство следствия следует из необходимого признака сходимости числовой последовательности.

40. Пусть имеются две числовые последовательности

{α }∞ -Б.М. и {β }∞

n 1

$N Î N

"n > N :

βn

αn

, то последовательность

Доказать:{βn } - Б

.М

Доказательство:

{αn } - Б.М. : "ε > 0

$N (ε )Î N "n > N (ε )

αn

< ε

βn £ αn < ε βn < ε {βn } - Б.М.

50. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть Б.М.

{αn } - Б.М., {βn } - Б.М. {αn × βn } - Б.М.

{αn } - Б.М. Û "ε1 > 0

$N (ε1 )Î N "n > N (ε1 )

αn

< ε1 =

{ βn } - Б.М. : "ε2 > 0

$N (ε2 ) Î N "n > N (ε2 )

βn

< ε2 =

αn × βn

αn

βn

< ε1 ×ε2 =

= ε

αn × βn

< ε {αn × βn } - Б.М.

Замечание: отношение двух Б.М. необязательно Б.М.

- неопределенность

βn

{

}

βn

Бесконечно большие последовательности.

Числовая последовательность

называется бесконечно большой,

если lim xn = ∞ :

n→∞

$N ( E )Î N "n > N ( E )

"E > 0

> E .

Последовательность	{ xn }	называется	бесконечно большой,
положительной	числовой		последовательностью
"E > 0 $N ( E ) Î N "n > N ( E ) xn > E .

Числовая последовательность { xn } называется бесконечно большой,

отрицательной числовой последовательностью, если

"E > 0 $N ( E ) Î N "n > N ( E ) xn < -E .

Свойства бесконечно больших (Б.Б.) последовательностей.

10. Произведение двух бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая

{ xn}

- Б.Б.

{xn × yn} - Б.Б.

{yn } - Б.Б.

$N ( E1 ) Î N "n > N ( E1 ) :

{ xn }

- Б.Б. : "E1 > 0

> E1 =

{ уn } - Б.Б. : "E2 > 0

$N ( E2 ) Î N "n > N ( E2 ) :

> E2 =

xn × yn > E1 × E2 = E xn × yn > E {xn × yn} - Б.Б.

20. Произведение Б.Б. последовательности на ограниченную дает Б.Б. последовательность

{xn}	- Б.Б.		{xn	× yn} - Б.Б.
{yn }	-	огр.

Следствие: произведение Б.Б. на сходящуюся последовательность дает Б.Б. последовательность.

30. Сумма двух бесконечно больших последовательностей одного знака дает Б.Б. последовательность.

40. Пусть даны две последовательности

} - Б.Б. и

{ у

} . Тогда если

существует такой номер N

$N Î N "n > N

, то { уn } - Б.Б.

{xn } - Б.Б. : "E > 0

$N ( E )Î N "n > N ( E )

> E

E <

> E { yn} - Б.Б.

Связь бесконечно большой и бесконечно малой последовательности.

1. {xn }		1	∞
	- Б.Б., то начиная с N определена		, которая является

xn N

бесконечно малой.

{αn }

∞

2. Если

1 -Б.М., и αn ¹

0 "n Î N , то

бесконечно больная.

αn

Доказать:

1. {xn } - Б.Б. : "E > 0

$N ( E )Î N "n > N (E )

> E = 0

x ¹ 0 "n > N

( E ) $

∞

xn N

= ε

∞

> 0

- Б.М.

Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности {xn } к пределу а.

(связь сходящейся последовательности с бесконечно малой)

Для того, чтобы последовательность {xn } сходилась к пределу а необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство xn = a + αn , где αn - общий член бесконечно малой последовательности.

необходимость

Дано: lim xn = a .

n→∞

= a + α

, где limα

= 0 .

Доказать: x

n→∞

$N (ε )Î N "n > N (ε )

Доказательство: lim x = a "ε > 0

x - a

< ε

n→∞

Обозначим αn = xn − a .

"ε > 0 $N (ε )Î N "n > N (ε )

αn

< ε {αn} - Б.М.

limαn = 0

n→∞

xn = αn + a.

Доказательство достаточности приводится в обратную сторону.

Дано: xn

= a + αn , где limαn = 0 .

Доказать: lim xn = a .

n→∞

$N (ε )Î N "n > N (ε )

Доказательство: limαn = 0 "ε > 0

αn

< ε .

n→∞

Пусть αn = xn − a , тогда

"ε > 0

$N (ε )Î N

"n > N (ε )

xn - a

< ε lim xn = a .

n→∞

Теорема Коши о конечных пределах.

{xn } и

Пусть даны

две сходящиеся числовые последовательности

{ yn }

lim xn = a,

lim yn = b , тогда {xn ± yn }, {xn × yn },

также является

n→∞

сходящимися причем:

1) lim

( xn ± yn ) = a ± b = lim xn ± lim yn .

n→∞

lim ( xn × yn ) = a ×b = lim xn

× lim yn .

n→∞

lim

lim xn

n→∞ y

lim y

n→∞

1. xn = a +αn

limαn = 0

lim βn = 0

yn = b + βn

n→∞

xn + yn = a + b +αn + βn

lim

( xn + yn ) = a + b .

n→∞

2. lim xn × yn = ab = lim xn × lim yn .

n→∞

Доказательство:

{αn} - Б.М.П.

lim xn = a xn = a +αn ,

limαn

= 0

n→∞

{βn } -Б.М.П.

n→∞

lim yn = b yn = b + βn ,

lim βn

= 0

т→∞

n→∞

xn × yn = (a +αn )(b + βn ) = ab +αnb + a × βn +αn × βn ® a ×b

lim xn × yn = a ×b.

n→∞

3. lim

lim xn

, b ¹ 0 .

n→∞ y

lim y

n→∞

Доказательство:

a +α

ab +α

b - ab - a × β

b - aβ

(b + βn )b

b × yn

b + βn

b b

αnb - aβn

αn

× βn

Сходящяяся Б.М.

lim

n→∞ y

Предельный переход неравенства.

Теорема:

Если {x }∞

и { y

}∞

- две сходящиеся числовые последовательности и

lim xn = a,

lim yn = b , тогда, если:

n→∞

a £ b

$N Î N

"n > N : xn < yn

lim xn

£ lim yn

a £ b

n→∞

$N Î N

"n > N : xn £ yn

lim xn

£ lim yn

a ³ b

n→∞

$N Î N

"n > N : xn > yn

lim xn

³ lim yn

a ³ b

n→∞

$N Î N

"n > N : xn ³ yn

lim xn

³ lim yn .

n→∞

В случае предельного перехода в неравенстве строгое неравенство всегда переходит в нестрогое.

Доказательство:

Докажем 3), т.к. все остальные случаи доказываются аналогично.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть a < b .

lim x = a

"ε > 0 $N (ε ) Î N

"n > N (ε ) :

x - a

< ε

n→∞ n

−ε < xn − a < ε a − ε < xn < ε + a .

lim y

= b

"ε > 0 $N

(ε )Î N

"n > N

(ε ) :

- b

< ε

n→∞

b − ε < yn < b + ε .

Пусть ε =

b − a

> 0 (т.к. a < b )

a − b

b − a

3a − b

a + b

a - ε < x < a + ε a -

< x < a +

< x <

b - ε < yn

< b + ε a -

b + a

< yn < a +

3b − a

xn < yn "n > N (ε ) N (ε ) = max{N1, N2} .

Противор., что xn > yn .

Фундаментальные последовательности.

Числовая последовательность {xn }1∞ называется фундаментальной, если для нее выполняется условие Коши:

"ε > 0	$N (ε )Î N "n > N (ε ), m > N (ε )		xn - xm		< ε .

Замечание: если в этом определении положить вместо m величину m = n + p , где p N , то условие Коши примет вид

"ε > 0 $N (ε )Î N "n > N (ε ) "p Î N : xn - xn+ p < ε .

Критерий Коши.

Для того, чтобы {xn }1∞ была сходящейся, необходимо и достаточно,

чтобы она была фундаментальной. ФУНКЦИЯ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА y = f ( x).

Переменная величина у называется функцией, зависящей от другой переменной х в области изменения Х, если между ними установлен закон соответствия и установлен так, что каждому значению х соответствует одно и вполне определенное значение у.

Функция определена в данной точке x = x0 , если f ( x) ¹ ¥ и

вещественна.

Совокупность всех точек, где функция определена, называется областью определения функции f : x → y (х – область определения, у –

область значения).

Способы задания функций:

1)табличный y = 2x

х	-2	-1	0
у	1	1	1

	4	2

2)аналитический

3)графический

4)описательный.

Ваналитическом способе задания функции f означает, какие математические действия изменения надо произвести над х, чтобы

получилось f ( x) .

Обратные функции
y = 2x	y = log		2	x x = log			2	y - обратные
y = x2	+ 1	[0;+∞)
x2 = y −1		x = ±				y =
x2 = y −1		x = ±			y −1	y =			x −1
y = f ( x + x) − f ( x)
y = x3	y2 = ( x + x)3 − x3 = 3x2 x + 3x x2 + x2 .
								Предел функции.

A = lim f ( x) , если ε > 0 δ (ε ) > 0 0 < x − x < δ (ε ) f ( x) − A < ε

x→x0 0

определение предела функции по Коши.

0 <	x − x0		< ε	- функция в точке х0, вообще говоря, не определена

f ( x0		+ 0) = lim			- предел справа
f ( x0			x→a+0
		− 0) = lim			- предел слева.
			x→a−0
		Для того, чтобы в заданной точке существовал предел,
необходимо и достаточно, чтобы
f ( x0 + 0) = f ( x0 − 0)
lim f		( xn ) = A		{xn } = lim xn = x0 .
n→∞					n→∞

Определение предела функции по Гейне.

Первый замечательный предел.

lim sin x =1

x→0 x

AM £ BM £ CB

S OMB < SOMB < S OCB

×1×sin x <

×1× x <

×1×tgx

sin x ≤ x ≤ tgx

1 £

sin x

cos x

cos x £

sin x

£1

limcos x = 1.

x→0

lim

sin kx

= k lim

arcsin x

lim

tgx

=1.

x→0

→0

x→0 x

Второй замечательный предел.

1∞. lim 1 +

= e

x→∞

1 n

lim 1 +

n→∞

n < x < n + 1

x → +∞

1 +

£1 +

n +1

1 x

1 n+1

n +1

n+1

1 +

n+1

n +1

lim

= e

lim 1

= lim 1 +

× 1

= e .

n→∞

1 +

n +1

2) x → −∞

1 x

x = -t -1

lim

1 +

x→−∞

t ® +¥

−t −1

t +1 t +1

lim

= lim

t→+∞

t +1

t→+∞ t +1

t→+∞

-1

t −1

= lim

1 +

= lim 1

× lim 1 +

= e.

-1

t −1→∞

t -1

t→∞

Все, что имеет численную характеристику, называется величиной. Бывают скалярные (имеется шкала), векторные (направление).

lim (1 +α )

= e

= α x =

α →0

lim

ln (1 +α )

ln (1 +α ) α ,

α ® 0

α →0

lim

ln (1 +α ) = limln (1 +α )

α →0

Если функция непрерывна, то lim f ( x) = f (lim) = f (a)

x→a

limln (1 +

α )α

+α )α

= ln e =1

= ln lim (1

α →0

ln (1 + кα )

α →0

lim

= к

lim

ah -1

= ln a .

α →0

h→0

ln (1 +α )

Пусть ah -1 =α , тогда ah =1 +α h = loga

(1 +α ) =

ln a

α ln a

lim

= ln a lim

= ln a .

α →0 ln (1 + α )

Непрерывность функции в точке.

y = f ( x)

x U (a,b) - проколотая окрестность.

f (a) f (a +

x) - определена в этих точках.

Определение № 1 непрерывности функции в точке х0.

Функция называется непрерывной в заданной точке х = а, если выполняются следующие условия:

1) функция определена в самой точке и в окрестностях этой точки f (a) и f (a + x) ;

2) lim f ( x) = A .

x→x0

Определение № 1 на языке ε − δ :

ε > 0 δ (ε ) > 0 x − x0 < δ (ε ) f ( x) − f ( x0 ) < ε ;

3) A = f ( x0 ) .

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в этой точке.

Разрывы бывают двух видов:

1)устранимый разрыв

2)разрыв 1-го рода → скачек

3)разрыв 2-го рода. Устранимый разрыв

lim

sin x

= 1

sin x

= 1 определена во всех точках при х = 0, если

x→0

lim f ( x) = f (a) , функция непрерывна

x→a

(

)

(

))

x→a (

− f

= 0 x → a x = a + x x → 0

lim

lim y = 0 Определение непрерывности функции в точке х0 № 2:

x→0

Функция является непрерывной в данной точке, если определена в этой точке и в окрестностях точки и бесконечно малое приращение функции.

Разрыв первого рода – скачок

y = x x

Разрыв второго рода ln (+0) = −∞ .

КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА НА ОСНОВЕ ЛЕВОГО И ПРАВОГО ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.

Число А называется левым пределом функции в точке х0 и

обозначается lim f ( x) = A , если

x→x0 −0

ε > 0 δ (ε ) > 0 x ( x0 − δ (ε ), x0 ) f ( x) − A < ε .

Геометрическая иллюстрация

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025147.97 Кб0лекции_ИСМ.doc
#
18.12.2018454.66 Кб20лекции_по_комп_гр_cim_и_ug.doc
#
18.12.2018346.62 Кб128Лекции_по_САПР_исправ.doc
#
12.03.20152.34 Mб147Лекции_Электротехника и электроника.pdf
#
12.03.20151.59 Mб40Лекциии ЭВМ Трусфус.doc
#
12.03.2015700.37 Кб12лекцииматан Copy.pdf
#
17.04.20191.99 Mб65лекциипо электронике.doc
#
12.03.20152.49 Mб43лекциирядыиинтегралфурье.docx
#
12.03.2015738.82 Кб22ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ ПО СЭПС.doc
#
12.03.201578.72 Кб46Лекция 1 Word.docx
#
17.09.201944.33 Кб4Лекция 1 (5 -12).docx