Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лекцииматан Copy

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

700.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

По формуле Муавра имеем

W n = W n (cosϕ + i sinϕ ) .

Приравняем вещественные и мнимые части комплексных чисел Z и W

W n

ϕ = n

ψ +

2π k,

k = 0,1, 2...

= n

ψ = ϕ + 2π k

ϕ + 2π k

n Z = W = n

cos

+ i sin

k = 0,1,...n −1

k = n k = 0

Пример:

−1

Z = –1

Z = 1(cosπ + i sinπ )

			π + 2π k	π + 2π k
Z =	1		π + 2π k	π + 2π k
Z =	1	cos		+ i sin
			2	2

+ i sin

k = 0

−1 = i

−1 = cos

k = 1 −1 =

+ π

= −i

cos

+ i sin

+ π

−1 = ±i .

Числовые последовательности.

Числовой	последовательностью	{ x	}∞	называется
		n	1
				xn R, n =		,
последовательность	действительных	чисел		xn R, n =	1, +∞	,

упорядоченных в числовой ряд, т.е. когда каждому действительному

числу xn			поставлено в соответствие натуральной число n (свой номер).
Каждый член последовательности четко пронумерован
R x1	x2		x3...
N 1	2		3...
				Способы задания числовых последовательностей.
1.	Аналитический
xn	=		2	- формула n-го члена


		3n −1
			11

{x	}∞ =	1,	2	...

n	1		5

2. Описательный

Последовательность простых чисел {xn } = {1, 2,3,5,7,11...} . Геометрическая иллюстрация числовой последовательности.

Абсолютная величина действительного числа. Модуль числа. Абсолютной величиной действительного числа a R называется

неотрицательное число, определяемой формулойa, если a ³ 0

a = -a, если a < 0. Свойства модуля.

10. -a = a

20. a = max{-a;a} 30. a ³ a

40. a ³ -a

50. a = a , b ¹ 0 b b

60. a ×b = a × b .

Свойства 1 – 6 очевидны и следуют из определения модуля действительного числа

70. a + b £ a + b .

1) Пусть a + b ³ 0 a + b = a + b £ a + b

по 30 a £ a , b £ b .

2) Пусть a + b < 0

a + b = -(a + b) = -a - b £ a + b .

-a £ a -b £ b

80. a - b £ a + b .

a - b = a + (-b) £ a + -b = a + b .

90. a - b ³ a - b

a - b+ b

a - b

100.

a - b

b - a+ a

b - a

a - b

b - a £ a - b

110. a + b ³ a - b из 90 и 100.

Геометрический смысл действительного числа.

		x < ε			x	< ε
		x < ε			x	< ε
x	= x, если x ³ 0
x	= x, если x ³ 0
		x ³ 0		"ε > 0
		x ³ 0		"ε > 0
x	= -x, если x < 0		-x < ε		x > -ε
x	= -x, если x < 0
			x < 0		x < 0.
			x < 0		x < 0.
						[0; e)
						(-e; 0)
x	< ε Û -ε < x < ε		ε - окрестность т.о.
x	< ε Û -ε < x < ε		ε - окрестность т.о.
x	- a	< ε Û -ε < x - a < ε Û a - ε < x < ε + a					ε > 0
x	- a	< ε Û -ε < x - a < ε Û a - ε < x < ε + a					ε > 0

ε - окрестность точки а.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Числовая последовательность { x			}∞	называется ограниченной, если
		n	1
к > 0, к R такое, что n N :	xn	< к .
к > 0, к R такое, что n N :	xn	< к .

Геометрическая иллюстрация ограниченные числовой последовательности.

Числовая последовательность	{x	}∞	называется неограниченной, если
	n	1
к > 0, к R N N такие, что	xN ( K )		> ê.
к > 0, к R N N такие, что	xN ( K )		> ê.

Записать через логическую символику определение огранич. сверху и снизу последовательности.

Предел числовой последовательности.

Число а называется пределом числовой последовательности {xn }1∞ , еслиε > 0 N (ε ) N такое, что n > N (ε ) выполняется неравенство

xn − a < ε .

Геометрическая иллюстрация предела числовой последовательности.

lim x = a

n→∞ n

Доказать,

что

числовая последовательность

{ x }∞ ,

x =

n + 1

имеет

n 1

n -1

предел а=1 и найти

такой натуральный

номер N (ε ), который

отвечает

значению ε = 0,1.

n + 1

=1 "ε > 0

$N (ε )Î N "n > N (ε )

n =

n +1

-1

< ε

lim

2, +¥

n→∞ n -1

n -1

n +1 - (n -1)

< 0,1

n -1

< 0,1

×(n -1) > 0

n -1

2 < 0,1n − 0,1 → n > 21

Сходящиеся и расходящиеся последовательности.

Числовая последовательность {x

}∞ называется сходящейся,

если она

имеет конечный предел. Если последовательность не является сходящейся, то она называется расходящейся.

Пример. 1) {x

}∞

2n +1

lim xn

= lim

= 0 - const .

n→∞

n→∞ 2n +1

2) {x

}∞

, x = 5n + 3

lim xn

= lim(5n + 3) = +¥ .

n→∞

3) {xn

}1∞ = +1, -1, +1, -1,...

lim xn

{xn } - расходящийся.

n→∞

СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. 10. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел

Дано: {x	}∞ - сходящийся lim x = a − const .
n	1	n→∞	n
	1	n→∞
Доказать: а –		единственное.
Доказательство:
			15

Предположим противное, т.е. числовая последовательность имеет 2

предела lim x = a

lim x

= b a,b - const,

a ¹ b .

n→∞

lim xn = a : ε1 > 0

N1 (ε1 ) N

n > N1 (ε1 )

xn − a

< ε

n→∞

N2 (ε2 ) N

n > N2 (ε2 )

lim xn = b : ε

2 > 0

xn − b

< ε2

n→∞

= ε

ε2 = ε

N (ε )max{N1 (ε1 ) N2 (ε2 )} ε > 0 ε1

− a

< ε

ε > 0 N (ε ) N n > N (ε )

− b

a − b

Оценим

< ε

+ ε = ε

a − b

a − x + x − b

≤

a − x

x − b

x − a

x − b

ε > 0 N (ε ) N n > N (ε )

a − b

< ε

ε =

a − b

> 0

a ¹ b

a − b

- противоречие.

20. Если

}∞

имеет

предел,

равный

а,

то числовая последовательность

{

}∞ имеет предел

(ε ) N

Дано: lim xn = a : ε > 0

xn − a

< ε .

n→∞

: "ε > 0 $N

[ε ]Î N

< ε .

Доказать: lim

n→∞

Доказательство: по свойству модулей 110

a +b

xn − a

− a

xn - -a £ xn - a < 0 a

xn - a < ε .

Замечание: это свойство не будет справедливым в обратную сторону. 30. Свойство зажатой последовательности.

Пусть даны две числовые последовательности, сходящиеся к одному и

тому же	пределу	lim xn = a и lim yn = a ,				тогда	если некоторая числовая
		n→∞		n→∞
последовательность		{z	}∞	начиная с N	0	N	удовлетворяет неравенству
		n	1		0
xn ≤ zn ≤ yn	n > N0 , то эта последовательность сходится, причем ее предел
равен lim zn = a .
n→∞
				16

lim x = a : ε > 0

(ε ) N

n > N

(ε )

n→∞ n

xn − a

< ε a − ε < xn < a + ε .

lim y

= a : ε > 0

(ε ) N

n > N

(ε )

n→∞

a − ε < yn < a + ε

) = max{N0 , N1 (ε ), N2 (ε )}

Пусть N (ε

ε > 0 N (ε ) N n > N (ε )

a − ε < xn ≤ zn ≤ yn < a + ε

zn − a

< ε lim zn − a .

n→∞

xn − a < ε

yn − a < ε

Необходимый признак сходимости числовой последовательности.

Для того, чтобы числовая последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограничена.

Дано:

{x }∞

сходящийся,

т.е.

lim x = a

ε > 0

n→∞

N (ε ) N n > N (ε )

xn − a

< ε .

Доказать: {x

}∞

ограничена к > 0 к R n N

< к.

xn − a + a

≤

xn − a

< ε +

n > N (ε )

Доказательство:

a + b

≤

n }1∞ = {x1, x2 ,..., xN (ε ) , xN (ε )+1} ограничено ε +

к = max{

,...,

xN (ε )

,ε +

} к > 0 к R

n > N

< к .

Достаточный признак.

Для

того,

чтобы

числовая последовательность {x

}∞

была

расходящейся, достаточно, чтобы она была неограничена. Дано: {xn }1∞ - неограничена.

Доказать: {xn }1∞ расходящийся. Доказательство: от противного.

Пусть {xn }1∞ сходится, тогда в силу предыдущей теоремы она

ограниченная, что противоречит условию.

Точная верхняя грань числовой последовательности, ограниченной сверху

(supremum).

Пусть {xn }1∞ ограничена сверху, т.е. существует такое число

M R n N xn < M .

Точной верхней гранью ограниченной сверху последовательности

называют число М* M				= sup{ x } , если выполняются два условия:
				n
	x £ M " n Î N			n N
1)	x £ M " n Î N
	n
2)	ε > 0 N (ε ) N X N (ε ) > M − ε .
	Если{ x	}∞	неограничена сверху, то по определению считают, что
	n	1

sup{ xn } = +¥ .
n N
Точная нижняя грань числовой последовательности, ограниченной
	снизу (infimum).
{ x	}∞ ограничена снизу, т.е. $m Î R "n Î N	x ³ m
n	1	n

Точной		нижней		гранью	ограниченной			снизу	числовой
последовательности { x			}∞	называют	m = inf { x		} , удовлетворяющей двум
		n	1		n N	n
			1		n N
условиям:
1) x ³ m	"n Î N
n

2) ε > 0 N (ε ) N X N (ε ) < m + ε .

Если последовательность неограничена снизу, то inf { xn} = −∞ .
					n N
Пример: sup{ xn } - ?					inf { xn} - ?
	n N				n N
{x } =	{n} {x } =		1

n		n
			n
sup{n} = +¥		inf {n} =1
n N		n N
1		1
sup	=1	inf		= 0 .

n N n		n N n

Замечание: max и min числовой последовательности обязательно является членом этой последовательности, а sup и inf могут принадлежать и

не принадлежат.
{x	}∞	Монотонные последовательности.
{x	}∞	называется неубывающей, если для ее членов выполняется
n	1		( xn £ x2 £ ... £ xn £ xn+1 £ ...)
неравенство xn £ xn+1 "n Î N			( xn £ x2 £ ... £ xn £ xn+1 £ ...)
{x	}∞	возрастающая x	< x	"n Î N
n	1	n	n+1
{x	}∞	не возрастающая x ³ x		n+1	"n Î N	( x ³ x	³ ... ³ x	> ... )
n	1		n	n+1		1	2	n
					18

{ x }∞	убывающая x > x	n+1	n N .
n 1	n	n+1

Эти последовательности называются монотонными последовательностями. Про возрастающую и убывающую говорят строго монотонные.

Замечание: всякая монотонная последовательность ограничена с одной стороны.

Необходимое и достаточное условие сходимости числовой последовательности (критерий Вейерштрасса сходимости монотонной

последовательности.

Для того, чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.

lim x = a Û { x }∞ - ограничена.

n→∞

необходимость.

Дано: lim xn = a,

{ xn} - монотонная.

n→∞

Доказать: { x

}∞

- ограничена.

Доказательство: следует из необходимого признака сходимости

числовой последовательности.

Ü - достаточность.

{ xn }

Доказательство:

пусть последовательность

неубывающая,

т.е.

x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ ...следовательно, { xn } ограничена

снизу

кроме

того

по

условию теоремы она вообще ограничена.

Рассмотрим точную верхнюю грань этой числовой последовательности

M = sup{ x } .

По

определению точной

верхней

грани

имеем

n N

ε > 0 N (ε ) : xN (ε ) > M − ε ε > 0

N (ε )

n > N (ε )

x > M − ε .

Пусть M = a , тогда x > a − ε

x £ M

< ε lim xn = a .

a − ε < xn ≤ a < a + ε

xn - a

n→∞

(1 + n ×α ) < (1 +α )n

НЕРАВЕНСТВО БЕРНУЛЛИ.

α ¹ 0 n ³ 2 1 +α > 0 .

Для доказательства этого неравенства применим метод математической индукции, который состоит в следующем:

Предположим, что неравенство Бернулли имеет место при n = к ³ 2 ,

т.е. (1 + к ×α ) < (1 +α )к .

Докажем, что это неравенство будет справедливо так же при n = к +1

(1 + к ×α )(1 + α ) < (1 + α )к+1

xn−1

1 + кα <1 + кα + α + кα 2 < (1 + α )к+1

1 +α (к +1) < (1 +α )к+1 .

Частный случай неравенства Бернулли.

Пусть α =

n Î N .

+ n ×

1 +

Число е.

(применение критерия Вейерштрасса)

Рассмотрим {x	}∞	, x	=	1 +	1	n+1 .

n	1	n
					n

Эта последовательность монотонна и ограничена. Т.к. {xn }1∞ - строго убывающая

xn > xn+1 "n Î N

xn−1 > xn n ³ 2, n Î N

1 n+1

1 n

n + 1 n

1 +

−1

xn−1

1 +

n −1

1 n

1 +

1 −

= 1

−

1 +

= 1 −

< 1.

x1 > x2 > x3 > ... > xn ... > 1.

Рассматриваемая числовая последовательность является монотонной и ограниченной последовательностью, т.к. она строго убывающая т ее значения заключены между единицей и четырьмя.

Следовательно, в силу критерия Вейерштрасса последовательность сходящаяся, т.е.

		1 n+1
lim 1	+		= const .

n→∞		n

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025147.97 Кб0лекции_ИСМ.doc
#
18.12.2018454.66 Кб20лекции_по_комп_гр_cim_и_ug.doc
#
18.12.2018346.62 Кб128Лекции_по_САПР_исправ.doc
#
12.03.20152.34 Mб147Лекции_Электротехника и электроника.pdf
#
12.03.20151.59 Mб40Лекциии ЭВМ Трусфус.doc
#
12.03.2015700.37 Кб12лекцииматан Copy.pdf
#
17.04.20191.99 Mб65лекциипо электронике.doc
#
12.03.20152.49 Mб43лекциирядыиинтегралфурье.docx
#
12.03.2015738.82 Кб22ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ ПО СЭПС.doc
#
12.03.201578.72 Кб47Лекция 1 Word.docx
#
17.09.201944.33 Кб4Лекция 1 (5 -12).docx