40

называется порядком элемента а. Если такого n не существует, то элемент а называется элементом бесконечного порядка.

Теорема 2.7 (малая теорема Ферма). Если a G и G конечная группа, то a|G|=e.

Примем без доказательства.

Напомним, что каждая группа G, ° является алгеброй с одной бинарной операцией, для которой выполняются три условия, т.е. указанные аксиомы группы.

Подмножество G1 множества G с той же операцией, что и в группе, называется подгруппой, если G1, ° является группой.

Можно доказать, что непустое подмножество G1 множества G является подгруппой группы G, ° тогда и только тогда, когда множество G1 вместе с любыми элементами а и b содержит элемент а°b-1.

Можно доказать следующую теорему.

Теорема 2.8. Подгруппа циклической группы является циклической.

§ 7. Алгебра с двумя операциями. Кольцо

Рассмотрим алгебры с двумя бинарными операциями.

Кольцом называется непустое множество R, на котором введены две бинарные операции + и °, называемые сложением и умножением такие, что:

1)R; + является абелевой группой;

2)умножение ассоциативно, т.е. для a,b,c R: (a°b°)°c=a°(b°c);

3)умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. для

a,b,c R: a°(b+c)=(a°b)+(а°c) и (а+b)°c= (a°c)+(b°c).

Кольцо называется коммутативным, если для a,b R: a°b=b°a.

Кольцо записываем как R; +,° .

Так как R является абелевой (коммутативной) группой относительно сложения, то она имеет аддитивную единицу, которую обозначают через 0 или θ и называют нулем. Аддитивную обратную для a R обозначают через -а. При этом в любом кольце R имеем:

0+x=x+ 0=x, x+(-x)=(-x)+x=0, -(-x)=x.

Тогда получаем, что

x°y=x°(y+ 0)=x°y+ x°0 x°0=0 для х R; x°y=(х+ 0)°y=x°y+ 0°y 0°y=0 для y R.

41

Итак, мы показали, что для х R: x°0 = 0°х = 0. Однако из равенства x°y=0 не следует, что х=0 или у=0. Покажем это на примере.

Пример. Рассмотрим множество непрерывных на отрезке [a,b] функций. Введем для этих функций обычные операции сложения и умножения: f(x)+ϕ(x) и f(x)·ϕ(x). Как легко видеть, получим кольцо, которое обозначается C[a,b]. Рассмотрим функцию f(x) и ϕ(x), изображенные на рис. 2.3. Тогда получим, что f(x) ≡/ 0 и ϕ(x) ≡/ 0, но f(x)·ϕ(x)≡0.

Мы доказали, что произведение равно нулю, если равен нулю один из множителей: a°0=0 для a R и на примере показали, что может быть, что a°b=0 для a≠ 0 и b≠ 0.

Если в кольце R имеем, что a°b=0, то а называется левым, а b правым делителями нуля. Элемент 0 считаем тривиальным делителем нуля.

a d b

Рис. 2.3

Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от тривиального делителя нуля, называют целостным кольцом или областью целостности.

Легко видеть, что

0=x°(y+(-y))=x°y+x°(-y), 0=(x+(-x))°y=x°y+(-x)°y

и поэтому x°(-y)=(-x)°y является обратным элементом для элемента х°у, т.е.

х°(-у) = (-х)°у = -(х°у).

Аналогично можно показать, что (-х)°(-у) = х°у.

42

§ 8. Кольцо с единицей

Если в кольце R существует единица относительно умножения, то эту мультипликативную единицу обозначают через 1.

Легко доказать, что мультипликативная единица (как и аддитивная) единственна. Мультипликативную обратную для a R (обратную по умножению) будем обозначать через а-1.

Теорема 2.9. Элементы 0 и 1 являются различными элементами ненулевого кольца R.

Доказательство. Пусть R содержит не только 0. Тогда для a ≠ 0 имеем а°0=0 и а°1=а ≠ 0, откуда следует, что 0 ≠ 1, ибо если бы 0=1, то и их произведения на а совпадали бы.

Теорема 2.10. Аддитивная единица, т.е. 0, не имеет мультипликативного обратного.

Доказательство. а°0=0°а=0 ≠ 1 для а R. Таким образом, ненулевое кольцо никогда не будет группой относительно умножения.

Характеристикой кольца R называют наименьшее натуральное число k

такое, что a + a + ... + a = 0 для всех a R. Характеристика кольца

14243

k − раз

записывается k=char R. Если указанного числа k не существует, то полагаем char R=0.

Пусть Z – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных чисел; С – множество всех комплексных чисел.

Каждое из множеств Z, Q, R, C с обычными операциями сложения и умножения является кольцом. Эти кольца являются коммутативными, с мультипликативной единицей, равной числу 1. Эти кольца не имеют делителей нуля, следовательно, являются областями целостности. Характеристика каждого из этих колец равна нулю.

Кольцо непрерывных на [a,b] функций (кольцо C[a,b]) тоже является кольцом с мультипликативной единицей, которая совпадает с функцией, тождественно равной единице на [a,b]. Это кольцо имеет делители нуля, поэтому не является областью целостности и char C[a,b]=0.

Рассмотрим ещё один пример. Пусть М - непустое множество и R=2M - множество всех подмножеств множества М. На R введем две операции: симметрическую разность А+В=А В (которую назовём сложением) и пересечение (которое назовём умножением). Можно убедиться, что получили

43

кольцо с единицей; аддитивной единицей этого кольца будет , а мультипликативной единицей кольца будет множество М. Для этого кольца при любом А, А R, имеем: А+А =А А= . Следовательно, charR = 2.

§ 9. Поле

Полем называется коммутативное кольцо, у которого ненулевые элементы образуют коммутативную группу относительно умножения.

Приведем прямое определение поля, перечисляя все аксиомы.

Поле – это множество P с двумя бинарными операциями «+» и «°», называемыми сложением и умножением, такими, что:

1)сложение ассоциативно: для a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c);

2)существует аддитивная единица: 0 P, что для a P: a+0=0+a=a;

3)существует обратный элемент по сложению: для a P (-a) P:

(-a)+a=a+(-a)=0;

4)сложение коммутативно: для a, b P: a+b=b+a;

(аксиомы 1 – 4 означают, что поле есть абелева группа по сложению);

5)умножение ассоциативно: для a, b, c P: a°(b°c)=(a°b)°c;

6)существует мультипликативная единица: 1 P, что для a P:

1°a=a°1=a;

7)для любого ненулевого элемента (a ≠ 0) существует обратный элемент по умножению: для a P, a ≠ 0, a-1 P: a-1°a = a°a-1=1;

8)умножение коммутативно: для a,b P: a°b=b°a;

(аксиомы 5 – 8 означают, что поле без нулевого элемента образует коммутативную группу по умножению);

9) умножение дистрибутивно относительно сложения: для a, b, c P: a°(b+c)=(a°b)+(a°c), (b+c) ° a=(b°a)+(c°a).

Примеры полей:

1)R;+, - поле вещественных чисел;

2)Q;+, - поле рациональных чисел;

3)C;+, - поле комплексных чисел;

4)пусть Р2={0,1}. Определим, что 1 +2 0=0 +2 1=1,

1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. Тогда F2= P2;+2, является полем и называется двоичной арифметикой.

Теорема 2.11. Если а ≠ 0, то в поле единственным образом разрешимо уравнение а°х=b.

Доказательство. a°x=b a-1°(a°x)=a-1°b (a-1°a)° x=a-1°b