31

Глава 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

Некоторые результаты по алгебраической тематике дошли до нас в клинописных текстах древнего Вавилона, например, относящихся ко времени правления династии Хаммурапи (18001600гг. до н. э.), в работах мыслителей древнего Египта, Греции, Индии, Китая и Арабского Востока.

В работе Аль-Хорезми «Китаб мухтасар аль-джебр на-л-мукабала» алгебра впервые рассматривается как самостоятельный раздел математики. Название операции «аль-джебр», состоящей в переносе членов из одной стороны уравнения в другую с изменением знака,

впоследствии стало названием раздела

Аль-Хорезми

математики (алгебра).

§ 1. Операции и предикаты

Ранее было введено понятие функции f:A→B, где множество А может быть любым, например может быть декартовым произведением каких-то

множеств, положим А=С×С или А=С×С×С, или А= C × C × ...× C = С n.

1442443

n − раз

Если множество А является декартовым произведением n множеств, то аргументом функции f: A→B является упорядоченная n-ка, например, (x1,x2,…,xn), xi C, 1≤ i ≤ n. Таким образом, n-аргументная, n≥ 1, функция

у=f(x1,x2,…,xn) отображает С n в (на) B.

Функцию ϕ: С n→ С называют n-арной (n-местной) операцией на С или операцией с n аргументами.

Например, функция f(x,y)=x+y есть 2 - местная операция – операция сложения, а функция ϕ(x,y)=x·y – 2 - местная операция умножения на множестве действительных чисел.

33

Алгебраическая система A;ΩF,ΩP называется алгеброй, если ΩP= и

ΩF ≠ и моделью (реляционной системой), если ΩF = и ΩP ≠ .

Следовательно, алгебру можно ввести следующим образом.

Алгебра – непустое множество А, на котором задана совокупность операций, переводящих элементы из А в А.

Пример. Пусть А = (0,∞) и введем операции +, ×, /, . В результате

имеем алгебру положительных вещественных чисел.

Будем рассматривать алгебры с конечным числом операций.

Пусть имеем алгебру с n операциями F1, F2,…, Fn и пусть mi число аргументов операции Fi (1≤ i≤ n). Тогда вектор τ = (m1, m2,…, mn) называют типом алгебры. Так, рассмотренный пример алгебры имеет тип τ = (2,2,2,1).

Рассмотрим еще один пример. Пусть А = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} и на этом множестве введены две операции: + и ×. Ясно, что тип алгебры равен: τ = (2,2).

§ 3. Подалгебры

Пусть имеем алгебру A; ΩF , здесь ΩF – множество n операций на непустом множестве А. Положим, что тип алгебры есть (m1, m2,…, mn).

Подмножество В множества А называется замкнутым относительно операции Fi, если Fi переводит элементы из В в это же В, т.е. для x1, x2,…,

xmi B имеет место, что Fi(x1, x2, …, xmi) B.

Если подмножество В (В А) замкнуто относительно всех операций алгебры, то В= B; ΩF называют подалгеброй алгебры A; ΩF . Иногда вместо В говорят, что В - подалгебра, подразумевая, что на В определены те же операции, что и для всей алгебры.

Пусть А=[0,∞) и введем операции сложения (+) и умножения (×). Множество натуральных чисел N = {0, 1, 2, …} содержится в А и замкнуто относительно операций + и ×. Поэтому N порождает подалгебру в алгебре

[0,∞);+,× .

Теорема 2.1 Пересечение любой совокупности подалгебр данной алгебры либо пусто, либо является подалгеброй данной алгебры.

Доказательство. Пусть имеем некоторое множество подалгебр {Bk} данной алгебры A; ΩF . Рассмотрим пересечение этих подалгебр и пусть это пересечение равно В (B=∩Bk). Если В= , то утверждение теоремы доказано. Пусть В≠ . Выберем произвольную операцию Fi из ΩF и произвольные элементы x1,x2,…,xmi из В. Так как В - пересечение всех подмножеств Bk, то элементы x1,x2,…,xmi принадлежат каждому Bk и так как Bk - подалгебра, то

34

Fi(x1,x2,…,xmi) Bk. В результате получаем, что Fi(x1,x2,…,xmi) B, т.е. В подалгебра. Теорема доказана.

Рассмотрим алгебру А = {1,2,3,…},+ . Пусть А1={2,4,6,…} и А2={3,6,9,…}. Очевидно, что А1 и А2 порождают подалгебры данной алгебры и пересечения этих подалгебр тоже является подалгеброй. Объединение множеств А1 и А2 равно:

А1 А2={2,3,4,6,8,9,…}.

Полученное множество А1 А2 не замкнуто относительно операции сложения, ибо, например, 2+3=5, но 5 (А1 А2). Таким образом, объединение подалгебр не всегда является подалгеброй данной алгебры.

§ 4. Морфизмы алгебр

Будем рассматривать однотипные алгебры

А = A; ΩF и В = B, ΩG ,

где

ΩF = (F1, F2, …, Fn), τ =(m1,m2,…,mn), mi – число аргументов Fi; ΩG = (G1, G2, …, Gn), τ =(m1,m2,…,mn), mi – число аргументов Gi.

Таким образом, рассматриваем алгебры, в каждой из которых введены одинаковые числа (n) операций и для каждого i, 1≤ i ≤ n, числа аргументов операций Fi и Gi одинаковы.

Всякое отображение ϕ основного множества А в(на) основное множество В называем отображением алгебры А в(на) алгебру В.

Изоморфизмом алгебры А = A; F1, F2, …, Fn в(на) однотипную алгебру В = B; G1, G2, …, Gn называется взаимно однозначное (биективное) отображение ϕ множества А в(на) В, сохраняющее главные операции алгебры, т.е. для которого выполняются соотношения: