25

очевидно, имеем: 11 ≡ 3(mod 8) и 10 ≡ 2(mod 8), тогда 21 ≡ 5(mod 8) и 110 ≡ 6(mod 8). Только сокращать, вообще говоря, нельзя: имеем, что 10 ≡ 2(mod 8), но сравнение 5 ≡ 1(mod 8), неверно, хотя 2 ≠ 0.

§ 8. Отношения порядка

Бинарное отношение R на множестве А называется отношением частичного порядка, если R рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношение частичного порядка обозначается через , т.е. вместо xRy пишется х у и читается, что х предшествует у.

Бинарное отношение R на множестве А называется отношением строгого порядка, если R антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношение строгого порядка обозначается через , т.е. вместо xRy пишется х у и читается, что х строго предшествует у.

Рассмотрим примеры. Отношение х≤ у на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка, но не является отношением строгого порядка.

Отношение x<y на (-∞,∞) является отношением строгого порядка, но не является отношением частичного порядка, так как это отношение не рефлексивно.

На множестве подмножеств данного множества М отношение является отношением частичного порядка.

Если для х,у А имеем х у или у х, то считаем элементы х и у

сравнимыми, в противном случае несравнимыми.

Множество А с заданным на нем отношением частичного порядка называется частично упорядоченным множеством.

Частично упорядоченное множество, в котором любые два элемента сравнимы, называется линейно упорядоченным множеством.

Элемент а частично упорядоченного множества А называется

минимальным (наименьшим) элементом, если не существует элементов х, х ≠ а, предшествующих ему, т.е. не существует х, х ≠ а, такого, что х а.

Линейное упорядоченное множество А называется вполне упорядоченным, если всякое непустое подмножество В множества А имеет наименьший элемент.

Множество М = {0, 1, 2, …} является вполне упорядоченным. Множество (-∞,∞) не является вполне упорядоченным, ибо, например,

каждое из подмножеств (-∞,0] и (0,1] не имеют наименьшего элемента.

26

§9. Вопросы и темы для самопроверки

1.Понятие множества, способы задания множества.

2.Аксиоматическое задание множества.

3.Операции над множествами: дополнение, объединение, пересечение, разность, симметрическая разность.

4.Какими свойствами обладают операции над множествами?

5.Основные равенства для алгебры подмножеств.

6.Разбиение множества. Декартово произведение множеств. Коммутативно ли декартово произведение множеств?

7.Отношения на множествах. Области определения и значения бинарных отношений. Образы и прообразы элементов при заданном отношении.

8.Способы задания отношений (5 способов).

9.Операции над отношениями.

10.Свойство операций над отношениями.

11.Функция. Инъективная, сюръективная и биективная функция.

12.Отношения эквивалентности. Связь с разбиением множества.

13.Пример отношения эквивалентности на множестве целых чисел - отношение сравнимости по модулю m.

14.Отношение частичного и строгого порядка. Линейно упорядоченные и вполне упорядоченные множества.

Небеса не помогают людям, которые бездействуют.

Софокл

§10. Упражнения

1.Пусть А = {n: n2 – нечётное целое число}, В = {n: n – нечётное целое число}, Доказать, что А=В.

2.Поставить знаки и так, чтобы получилось истинное высказывание:

3.Задайте с помощью предикатов следующие множества:

А= {2,4,6,8,…}, B = {1,3,5,7,9,…},

4.Ввести операции , ∩, \, . Перечислить все подмножества множества А:

5.Найдите A B, A∩B, A\B, B\A, Ā, B для:

а) U={0,1,2,…,9}, A={1,2,5}, B={2,3,4,5};

27

б) U={0,1,2,…}, A={x: x U и x делится на 2}, B={x: x U и x

делится на 3}.

6.Доказать, что для любых А1,А2,…,Аn, если А1 А2 … Аn А1, то

А1=А2=…=Аn.

7.Доказать, что:

а) А В=(А∩В) (А∩ B ) (Ā∩В);

б) А=А (А∩В).

8. Выяснить, выполняются ли следующие равенства:

А∩В=В∩А; А∩(В С)=(А∩В) (А∩С); А (В∩С)=(А В)∩(А С); (А В)∩А=А; А\(В\С)=(А\В) (А∩С); А\(В С)=(А\В)\С; А∩(В\А)= .

9.Выяснить, выполняются ли следующие равенства:

10.Пусть С = (A∩B). Постройте диаграмму Эйлера–Венна для множества

С.

11.Найдите 2А, если А={1,2,3}.

12.Выяснить совпадают ли множества 2А∩ 2В и 2А ∩ В для любых непустых множеств А и В.

13.Выяснить совпадают ли множества 2А 2В и 2А В для любых непустых множеств А и В.

14.Доказать, что операцию \ нельзя выразить через ∩ и .

15.Решить систему уравнений:

А∩Х=В

А Х=С,

где В А С; А, В, С –данные множества, Х – искомое. 16. Решить систему уравнений:

А\Х=В Х\А=С,

где В А, А∩С≠С; А, В, С – данные множества, Х – искомое. 17. Решить систему уравнений:

А\Х=В,

А Х=С,

где В А С; А, В, С –данные множества, Х – искомое.

18.Пусть А={а,b,с}, В={c,d}. Записать, чему равны множества A×B, В×А,

А2, В2.

19.Пусть A C, B C, А≠ , В≠ . Доказать, что A×B=(A×C)∩(C×B).

28

20.Доказать, что (А×В) (С×D) (A C)×(B D).

21.Выяснить, выполняются ли следующие равенства:

а) (А В)×С=(А×С) (В×С);

б) А×(В С)=(А×В) (А×С);

в) (А\В)×С=(А×С)\(В×С);

г) А×(В\С)=(А×В)\(А×С).

22.Пусть непустые множества А, В и С удовлетворяют соотношению: А×В=А×С. Докажите, что тогда В=С.

23.Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие следующим

бинарным отношениям на множествах A={1,3,5,7} и B= {2,4,6}: a) R= { x,y : x+y=9}; б) S={ x,y : x<y}.

24.Пусть R - бинарное отношение на множестве {1,2,3,4,5}, определяемое условием: nRm тогда и только тогда, когда n+m – нечётное число. Представьте R следующими способами:

а) как множество упорядоченных пар; б) в виде матрицы отношения; в) с помощью орграфа.

25.Пусть R - бинарное отношение на множествах А={1,2,3} и В={1,2,3,4},

заданное перечислением пар: R={ 1,1 , 2,3 , 2,4 , 3,1 , 3,4 }. Бинарное отношение S на множествах А={1,2,3} и В={1,2,3,4}, тоже задано перечислением пар: S={ 1,1 , 1,2 , 2,1 , 3,2 , 3,4 }. 1) Задать отношения R и S с помощью матриц отношений. 2) Задать отношение R°S перечислением пар и с помощью матрицы отношения.

26.Для бинарного отношения R={ x,y : x2+y2≤ 1} на множестве (-∞,∞) найти область определения и область значений.

27.Для бинарного отношения R={ x,y : y ≥ х2} на множестве (-∞,∞) найти область определения и область значений.

28.Выяснить, какими из свойств (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметрчность, транзитивность) обладают следующие отношения на множестве N={1,2,3,…}:

nR1m n делитель m; nR2m n< m;

nR2m n≤ m;

nR4m n и m взаимно простые;

nR5m n+m≤ 100; nR5m n+m - четно; nR6m n+m - нечетно;

nR7m n и m имеют общий делитель отличный от 1;

nR8m n ≠ m.

29. На множестве прямых на плоскости рассмотрены отношения: а) параллельности прямых; б) перпендикулярности прямых.

29

Будут ли они отношениями эквивалентности?

30.На множестве людей задано отношение R: xRy тогда и только тогда, когда x и y живут в одном городе. Будет ли это отношение отношением эквивалентности?

31.Пусть на множестве {±1, ±2, ±3, …} задано отношение R следующим образом: nRm тогда и только тогда, когда m×n > 0. Является ли R отношением эквивалентности? Если R отношение эквивалентности, то сколько и какие классы смежностей порождаются этим отношением?

32.Пусть R бинарное отношение, заданное на множестве городов России: хRу тогда и только тогда, когда названия городов х и у начинаются с одинаковой буквы. Является ли R отношением эквивалентности? Если R отношение эквивалентности, то каково максимально возможное число классов смежностей, на которые разбивается множество городов России?

33.Доказать, что если R1 и R2 отношение эквивалентности на А, то R1−1 ,

R2−1 и R1∩ R2 тоже отношения эквивалентности. 33. Для бинарных отношений доказать, что:

(R1 R2)-1=R1-1 R-12; (R1○R2)-1=R2-1○R-11.

34.Отношение R на множестве всех действительных чисел задано условием: xRy тогда и только тогда, когда х-у – целое число. Докажите, что R – отношение эквивалентности. Выпишите класс смежности, содержащий: а) элемент 0,5; б) элемент 1.

35.Пусть R бинарное отношение на множестве всех целых чисел Z = {… -3,- 2,-1,0,1,2,3,…} такое, что nRm тогда и только тогда, когда n2-m2 делится на число 3. Покажите, что R является отношением эквивалентности. Запишите: а) класс смежности, содержащий 0; б) класс смежности, содержащий 1.

36.Пусть R бинарное отношение на множестве всех целых чисел Z = {… -3,- 2,-1,0,1,2,3,…} такое, что nRm тогда и только тогда, когда n2-m2 делится на число 5. Покажите, что R является отношением эквивалентности. Сколько элементов содержит фактор-множество Z/R. Постройте все классы смежностей по отношению R.

37.Найти все отображения множества А={a,b,c} на множество В={0,1}.

38.Пусть Z – множество всех целых чисел, Z+ - множество всех неотрицательных целых чисел. Какие из следующих отношений являются функциями? Найти их области определения и значений:

39. Пусть М – множество всех жителей г. Казани. Для введённых на М отношений Ri, 1≤ i ≤ 5, выяснить, какие из этих отношений являются функциями:

хR1у у является отцом для х;

хR2у у является сыном для х;

хR3у у является матерью для х;

30

хR4у у является внуком для х;

хR5у у является дедушкой для х.

40.Найти все отображения множества А={0,1} в А и на А и указать, какие из них инъективны, какие сюръективны и какие биективны.

41.Пусть f(A)={y: ( x A)&(y=f(x))}. Доказать, что функция f удовлетворяет условию f(А∩В)= f(А)∩f(В) для любых А и В тогда и только тогда, когда функция f инъективна.

42.Пусть А и В – конечные множества, множества А и В имеют n и m

элементов соответственно ( А = n, B = m). При каких n и m существует инъективное отображение А в В?

43. Какие функции на (-∞,∞), из заданных далее, инъективны, суръективны, биективны:

y=2x, y=x3, y=x2+1, y=x+1?

44.Какие из следующих множеств чисел, упорядоченных по величине, будут вполне упорядочены:

1)множество всех целых чисел;

2)множество всех целых положительных чисел;

3)множество всех целых отрицательных чисел;

4)множество всех рациональных чисел;

5)множество всех чисел вида (2/3)n, n=1,2,3,…;

6)множество всех чисел вида (3/2)n, n=1,2,3,…;

7)множество всех чисел вида 1/n, n=1,2,3,….

45.На множестве N×N, N={1, 2, 3,…} введено отношение R: а,b R c,d тогда и только тогда, когда a≤ c и b≤ d. Будет ли N×N при этом частично упорядоченным или линейно упорядоченным?