21

Можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1.4. Функция f имеет обратную функцию f -1 тогда и только тогда, когда f биективна.

Теорема 1.5. Композиция биективных функций является функцией биективной.

Рис. 1.12 показывают различные отношения, все они, кроме первой, являются функциями.

Рис. 1.12

Пусть f : А→В – функция, а множества А и В - конечные множества, положим А = n, B = m. Принцип Дирихле гласит, что если n > m, то, по крайней мере, одно значение f встречается более одного раза. Иными словами, найдется пара элементов ai ≠ aj, ai, aj A, для которых f(ai)= f(aj).

Принцип Дирихле легко доказать, поэтому оставляем его читателю в качестве тривиального упражнения. Рассмотрим пример. Пусть в группе более 12 студентов. Тогда, очевидно, что, по крайней мере, у двоих из них день рождения в одном и том же месяце.

§ 7. Отношение эквивалентности. Фактор-множество

Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если R рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение равенства на множестве чисел обладает указанными свойствами, поэтому является отношением эквивалентности.

Отношение подобия треугольников, очевидно, является отношением эквивалентности.

22

Отношение нестрогого неравенства (≤ ) на множестве действительных чисел не будет отношением эквивалентности, ибо не является симметричным: из 3≤ 5 не следует, что 5≤ 3.

Классом эквивалентности (классом смежности), порожденным элементом а при данном отношении эквивалентности R, называется подмножество тех х А, которые находятся в отношении R с а. Указанный класс эквивалентности обозначается через [а]R, следовательно, имеем:

[а]R={х A: а,х R}.

Рассмотрим пример. На множестве треугольников введено отношение подобия. Ясно, что все равносторонние треугольники попадают в один смежный класс, ибо каждый из них подобен, например, треугольнику, все стороны которого имеют единичную длину.

Теорема 1.6. Пусть R - отношение эквивалентности на множестве А и [а]R смежный класс, т.е. [а]R={х A: а,х R}, тогда:

1)для любого а А: [а]R ≠ , в частности, а [а]R;

2)различные смежные классы не пересекаются;

3)объединение всех смежных классов совпадает со всем множеством А;

4)совокупность различных смежных классов образуют разбиение множества А.

Доказательство. 1) В силу рефлексивности R получим, что для любого а, а А, имеем a,a R, следовательно а [а]R и [а]R≠;

2) допустим, что [а]R ∩ [b]R ≠ , т.е. существует элемент с из А и с [а]R ∩ [b]R. Тогда из (cRa)&(cRb) в силу симметричности R получаем, что (аRс)&(cRb), а из транзитивности R имеем аRb.

Для любого х [а]R имеем: (хRa)&(аRb), тогда в силу транзитивности R получим хRb, т.е. х [b]R, поэтому [а]R [b]R. Аналогично для любого у, у [b]R, имеем: (уRb)&(аRb), а в силу симметричности R получим, что (уRb)&(bRа), затем, в силу транзитивности R, получим, что уRа, т.е. у [а]R и

поэтому [b]R [а]R. Из [а]R [b]R и [b]R [а]R получаем [а]R = [b]R, т. е. если смежные классы пересекаются, то они совпадают;

3) для любого а, а А, как доказано, имеем а [а]R, тогда, очевидно, что объединение всех смежных классов совпадет с множеством А.

Утверждение 4) теоремы 1.6 следует из 1)-3). Теорема доказана. Можно доказать следующую теорему.

Теорема 1.7. Различные отношения эквивалентности на множестве А порождают различные разбиения А.

23

Теорема 1.8. Каждое разбиение множества А порождает отношение эквивалентности на множестве A, причем различные разбиения порождают различные отношения эквивалентности.

Доказательство. Пусть дано разбиение В={Bi} множества A. Определим отношение R: а,b R тогда и только тогда, когда существует Bi такое, что а и b оба принадлежат этому Bi. Очевидно, что введенное отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным, следовательно, R – отношение эквивалентности. Можно показать, что если разбиения различны, то и отношения эквивалентности, ими порождаемые, тоже различны.

Совокупность всех классов смежности множества А по данному отношению эквивалентности R называется фактор-множеством и обозначается через А/R. Элементами фактор-множества являются классы смежности. Класс смежности [а]R, как известно, состоит из элементов А, которые находятся между собой в отношении R.

Рассмотрим пример отношения эквивалентности на множестве целых чисел Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

Два целых числа а и b называют сравнимыми (конгруэнтными) по модулю m, если m делитель числа a-b, т. е. если имеем:

a=b+km, k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

В этом случае записывают a≡ b(mod m).

Теорема 1.9. Для любых чисел a, b, c и m>0 имеем:

1)a ≡ a(mod m);

2)если a ≡ b(mod m), то b ≡ a(mod m);

3)если a ≡ b(mod m) и b ≡ c(mod m), то a ≡ c(mod m).

Доказательство. Утверждения 1) и 2) очевидны. Докажем 3). Пусть a=b+k1m, b=c+k2m, тогда a=c+(k1+k2)m, т.е. a ≡ c(mod m). Теорема доказана.

Таким образом, отношение сравнимости по модулю m является отношением эквивалентности и делит множество целых чисел на непересекающиеся классы чисел.

Построим бесконечно раскручивающуюся спираль, которая на рис. 1.13 изображена сплошной линией, и бесконечно скручивающуюся спираль, изображенную штриховой линией. Пусть задано целое неотрицательное число m. Все целые числа (элементы из множества Z) расположим в точках пересечения этих спиралей с m лучами, как показано на рис. 1.13.

Для отношения сравнимости по модулю m (в частности и для m=8) класс эквивалентности – это числа, лежащие на луче. Очевидно, что каждое число попадает в один и только один класс. Можно получить, что для m=8 имеем:

Фактор-множество множества Z по отношению сравнения по модулю m обозначается как Z/m или как Zm. Для рассматриваемого случая m=8

получим, что Z/8 = Z8 = {[0], [1], [2], …, [7]}.

Теорема 1.10. Для любых целых a, b, a*, b*, k и m:

1)если a ≡ b(mod m), то ka ≡ kb(mod m);

2)если a ≡ b(mod m) и a* ≡ b*(mod m), то:

а) a+а* ≡ b+b*(mod m); б) аа*≡ bb*(mod m).

Доказательство приведем для случая 2б). Пусть a ≡ b(mod m) и a* ≡ b*(mod m), тогда a=b+sm и a*=b*+tm для некоторых целых s и t. Перемножив,

получим: aa*=bb*+ btm+ b*sm+ stm2=bb*+(bt+ b*s+ stm)m. Следовательно,

aa*≡ bb*(mod m).

Таким образом, сравнения по модулю можно почленно складывать и умножать, т.е. оперировать точно также как и с равенствами. Например,