§ 5. Операции над отношениями

18

на множествах А и С такое, что:

a,c (R°S) b(b B и a,b R и b,c S).

Если R определено на А, В, а S на C, D, В∩С= , то R°S не определено.

Свойства операций над отношениями. Для пересечения,

объединения и дополнения отношений справедливы все свойства, установленные ранее (см. равенства 1)-19) в теореме 1.1). Кроме того, можно доказать следующие свойства:

1)R1°(R2°R3)=(R1°R2)°R3 – ассоциативность композиции;

2)(R1°R2)-1=R2-1°R1-1;

3)С(R-1)=(СR)-1;

4)(R1 R2)-1=R1-1 R2-1;

5)(R1∩R2)-1=R1-1∩R2-1;

6)R1°(R2 R3)=(R1°R2) (R1°R3);

7)если R1 R2, то R1-1 R2-1.

Свойства отношений на множестве A. Бинарное отношение R на множестве А называется:

1)рефлекcивным, если для а А а,а R;

2)антирефлексивным (иррефлексивным), если для а А а,а R;

3)симметричным, если из x,y R следует, что y,x R;

4)антисимметричным, если из x,y R и y,x R следует, что х=у;

5)транзитивным, если из x,y R и y,z R следует, что x,z R.

Теорема 1.2. Пусть R – бинарное отношение на А. Тогда:

1)R рефлексивно E R;

2)R антирефлексивно R∩Е= ;

3)R симметрично R=R-1;

4)R антисимметрично R∩R-1=E;

5)R транзитивно R°R=R.

Доказательство: Рассмотрим утверждение 1). Необходимость условия: если R рефлексивно, то для a A имеет место a,a R, отсюда следует, что E R. Достаточность условия: пусть E R, тогда для a A имеем a,a R, а это и означает, что R рефлексивно.

Рассмотрим утверждение 2). Необходимость докажем от противного. Пусть R∩Е≠, тогда найдется а А, что a,a R и a,a Е, но этого не может быть, ибо для а А имеем а,а R. Итак, R∩Е= . Достаточность. Пусть R∩Е= . Это означает, что не существует а А, что a,a R и a,a Е. Тогда для любого а А выполняется а,а R, что и требовалось.

Аналогично доказываются утверждения 3) - 5).

19

Теорема 1.3. Если бинарное отношение R на множестве А обладает любым из указанных свойств 1)-5), то обратное отношение R-1 обладает этим же свойством.

Доказательство. 1) Если E R, то E-1 R-1, но Е-1=Е, следовательно, E R-1, т.е. R-1 рефлексивно;

2)если R∩Е= , то (R∩Е)-1 , тогда (R-1∩Е) , следовательно,

(R-1∩Е) = ;

3)очевидно, что (R-1)-1=R, а по условию R=R-1, следовательно, (R-1)-1 = R-1, т.е. R-1 симметрично.

Аналогично доказываются утверждения 4), 5).

§ 6. Функция

Определим функцию, следуя Дирихле. При таком определении отождествляется функция с ее графиком. Существуют другие определения, когда функция рассматривается как правило (алгоритм) вычисления; такие определения будут вводиться в курсе математической логики и теории алгоритмов.

Бинарное отношение f на множествах А и В называется функцией, если образ каждого элемента (при этом отношении) единственен, т.е. из x,y f иx,z f следует, что y=z.

Пусть отношение f является функцией (f A B). Область определения Df функции f является подмножеством множества А (Df А), а область значений Imf является подмножеством множества В (Imf B). Если Df является собственным подмножеством множества А, то говорят, что задана частично определенная функция. Если область определения совпадает с А, то говорят, что задана всюду определенная функция или задана функция. На рис. 1.10 изображены области определения и области значений различных функций и частично определённых функций.

Функцию f (с областью определения Df и с областью значения Imf, ImfВ) иногда называют отображением множества А в множество В; если же область значений функции совпадает с В, то f называют отображением множества А на множество В.

Для функции вместо x,y f или xfy записывают y=f(x) или f: A→B. Если y=f(x), то х называют аргументом, а у – значением функции f.