139

отображении 2) имеем, что а25=1, а а’62=0, следовательно, тоже не выполнено условие 2) теоремы 5.8 и отображение 2) не будет изоморфизмом рассматриваемых графов. При отображении 3), как и для отображения 1) имеем, что а51=1, а а’12=0, следовательно, отображение 3) не будет изоморфизмом рассматриваемых графов. Осталось проверить отображение

Применяем непосредственно теорему 5.8. Следовательно, нужно сравнить все элементы матриц смежностей А и А′ графов G и G′, чтобы выяснить выполнение условий: aij=а′ψ(i) ψ(j). В матрице А =(aij) имеется 9 элементов, отличных от нуля и равных единице, в матрице А′ = (аij′) – тоже

Проверяем только элементы матриц, которые равны единице. Последовательно имеем:

Продолжая аналогичным образом, получим, что данное отображение является изоморфизмом рассматриваемых графов. Таким образом, убеждаемся, что среди всевозможных 720 отображений только одно является изоморфизмом, но этого достаточно, чтобы убедиться в изоморфности графов G и G′.

§ 9. Матрица инциденций

Пусть G - граф с множеством вершин V={v1,v2,…,vn} и множеством ребер X={x1,x2,…,xm}. Графу G ставим в соответствие матрицу инциденций А= (aij) размером n×m, (i,j) –й элемент которой равен:

141

помощью перестановки строк и столбцов матрицы инциденций. Теперь можно утверждать следующее.

Два графа изоморфны тогда и только тогда, если они имеют одни и те же матрицы инциденций с точностью до перестановок строк и столбцов.

Теорема 5.9. Ранг матрицы инциденций p-компонентного графа с n вершинами равен n-p при условии, что арифметические операции производятся по модулю 2.

Доказательство. Добьемся, чтобы матрица инциденций стала блочной. Пусть n1 – число вершин, принадлежащих компоненте связности G1 и ей соответствует блок А1 матрицы инциденций А. Покажем, что ранг А1 равен n1-1.

Для ранга имеем: r ≤ n1 -1, так как сумма (по модулю 2) всех столбцов А1 равна нулю, следовательно, если n1 -1 первых столбцов А1 прибавить к последней, то получим столбец, состоящий из нулей. Так как ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях (сложение столбцов), ранг новой матрицы, имеющей столбец только из нулей, не может превосходить n1 -1. Сумма любых n1 -1 или меньшего числа столбцов А1 должна иметь некоторый ненулевой элемент. Если все элементы равны нулю, тогда исходные строки образуют подматрицу, соответствующую компоненте связности графа, так как ни одна из вершин, соответствующих этим столбцам, не связана ребром ни с одной из вершин, не принадлежащих рассматриваемому подмножеству. Это противоречит тому, что G1 – максимальный связный подграф, и доказывает, что ранг G1 равен n1 -1, так как каждое множество n1 -1 столбцов независимо.

Аналогично для каждого i ранг Аi равен ni -1, тогда ранг блочной

p

матрицы, как известно, равен ∑ (ni -1)= n-p. Что и требовалось доказать.

i =1

Матрица инциденций орграфа с n вершинами и m дугами это n×m

матрица, (i,j)–й элемент которой равен:

Пусть дан орграф, изображённый на рис. 5.19. Тогда его матрица инциденций А имеет вид:

Рис. 5.19

Для орграфа можно доказать, что ранг А тоже равен n-p.

Кроме матриц смежности, достижимости и инциденций вводят ряд других матриц, характеризующих графы: матрица весов, циклов, матрица разрезов и другие. Каждая из них удобна для изучения некоторых свойств графа.

Когда рисуешь дерево, нужно чувствовать, как оно растёт.

Су Ши

Лес безмолвен. На просеках пусто. Нынче холод у ветра в чести. Нет, не может он теплые чувства, Словно зелень листвы, унести.

М. Джалиль

§ 10. Деревья

Связный граф без циклов называется (свободным) деревом. Граф без циклов называется ациклическим, или лесом. Таким образом, компонентами связности леса являются деревья.

На рис. 5.20, а) и б) приведены два графа; первый из них является деревом, а второй – лесом.

Рис. 5.20

143

На рис. 5.20, в) приведены всевозможные (непомеченные) деревья с четырьмя вершинами и на рис. 5.20, г) с пятью вершинами.

Теорема 5.10. В дереве любые две вершины соединены единственной простой цепью.

Доказательство. Существование цепи следует из связности графа. Если бы было две цепи, соединяющих заданные вершины, то получили бы цикл, а в дереве нет циклов.

Теорема 5.11. Число ребер у дерева с n вершинами равно n-1.

Доказательство проведем индукцией. Для графа с двумя вершинами – очевидно. Предположим, наше утверждение верно для графов, имеющих меньше чем k вершин. Докажем для графа с k вершинами. Удаление любого ребра из дерева G делают G несвязным. Так как мы разрываем связь только между двумя вершинами, то получаемый граф будет иметь в точности две компоненты. Положим, что получили компоненты G1 и G2. Пусть в G1 имеется k1 вершин, а в G2 - k2 вершин; при этом k1 + k2 = k. По предположению индукции в каждой компоненте число ребер mi ровно на единицу меньше числа вершин, т.е. m1= k1 -1, m2= k2 -1.

Таким образом, общее число ребер в G будет m1+ m2+1= k1 -1 + k2 - 1+1= k -1. Следовательно, утверждение верно и для графа с k вершинами и, по методу математической индукции, теорема доказана.

Теорема 5.12. Число различных помеченных деревьев, которые можно построить на n вершинах, равно nn-2.

Без доказательства. Очевидно, что это число деревьев при больших значениях n велико, например если n=10, то число различных деревьев равно

N=108 = 100 000 000.

Теорема 5.13. В любом нетривиальном дереве имеются, по крайней мере, две висячие вершины.

Доказательство. Рассмотрим дерево G(V,Х). Дерево – связный граф, следовательно, для любой vi, vi V, её локальная степень больше или равна единице: deg(vi) ≥ 1.

Далее от противного. Пусть для любой vi, vi V, имеет место: deg(vi) >

144

n

1.Тогда: 2m = ∑ deg(vi) ≥ 2n. Но m=n-1, т.е. 2n-2 ≥ 2n, что не может быть.

i =1

Таким образом, локальные степени всех вершин не могут быть больше единицы.

Допустим, что существует только одна вершина с локальной степенью 1, а остальные вершины имеют локальную степень больше единицы. Тогда

n

вновь имеем: 2m = ∑ deg(vi) ≥ 2(n-1)+1=2n-1. Но m= n-1, т.е. 2n-2 ≥ 2n-1, что

i =1

не может быть.

Итак, не менее чем две вершины являются висячими.

Корневым деревом называется дерево с выделенной вершиной, называемой корнем.

При решении некоторых задач необходимо осуществлять обход вершин графа G(V,X) для поиска вершины, удовлетворяющей заданным свойствам. Пусть Т - некоторый остовный подграф графа G(V,X), не имеющий цикла, т.е. Т – дерево и положим, что v - корень этого дерева. Расположим вершины графа по этажам (уровням, ярусам) так, чтобы корень находился в верхнем нулевом этаже, смежные с ним вершины занимали следующий нижний первый этаж, смежные с вершинами k-го этажа занимали k+1-й этаж (который ниже, чем k-й этаж) и т.д. После установления вершин по этажам начинаем процедуру обхода вершин.

Обход графа по глубине. При таком обходе после очередной рассмотренной вершины k-го этажа выбирается смежная с ней вершина следующего k+1-го этажа. Если очередная рассмотренная вершина висячая и её достижение не даёт желаемого решения задачи, то возвращаются до ближайшей вершины, откуда можно пройти до новой непросмотренной вершины и т. д.

Обход графа по ширине. При этом просмотр вершин дерева ведётся по этажам (начиная с корня дерева). Переход от вершин k-го этажа к вершинам следующего k+1-го этажа производится только после просмотра всех вершин k-го этажа.

При компьютерной реализации обходов дерева (по глубине или ширине) целесообразно использовать задание графа с помощью списков смежностей вершин.

Отметим, что в приведённом описании номера этажей растут сверху вниз. В некоторых случаях нижний этаж считается нулевым и при движении вверх номера этажей возрастают.