следовательно, расстояние между 1-й и 4-й вершинами графа G2 равно трём (минимальной степени матрицы А2 при котором (1,4)-й её элемент отличен от

По матрице А2 можно определить, что из вершины v1 до вершины v3 имеется две цепи длины 2: v1 - v2 - v3 и v1 - v4 - v3. По матрице А3 можно определить, что из вершины v1 до вершины v2 имеется четыре цепи длины 3: v1 – v4 - v3 –

v2, v1 – v2 - v3 – v2, v1 – v2 – v1 – v2 и v1 – v4 – v1 – v2.

Матрица смежности остовного подграфа G* графа G, очевидно, равна: А(G*)=J - А(G), где J - матрица смежности полного графа, состоящая полностью из единиц, за исключением элементов диагонали.

Логика стала математической, математика логической. Вследствие

этого сегодня совершенно невозможно провести границу между ними. В сущности, это одно и то же.

Б. Рассел

§ 7. Матрицы смежности и достижимости

Матрицу смежности графа (орграфа) с n вершинами вводят и как логическую n× n матрицу L = (lij), такую, что:

для графа:

136

Следовательно, матрица достижимости равна:

недостижима, а из вершины v4 достижима только вершина v3.

Пусть G = (V,X) – орграф с n вершинами v1, v2,…,vn и его матрица смежности есть некоторая матрица L. При больших значениях числа n вычисление степеней матрицы L лучше осуществлять на ЭВМ. Для этого существует алгоритм Уоршелла. Этот алгоритм генерирует последовательность матриц W0 = L, W1, W2,…,Wn, причём элемент матрицы Wk (k≥ 1), стоящий на пересечении i–й строки и j–го столбца wk(i,j), равен И в том и только в том случае, когда существует путь (произвольной длины) из вершины vi в вершину vj с внутренними вершинами из множества {v1, v2,…,vn}. Матрица Wn является искомой матрицей достижимости исходного графа: L* = Wn.

Алгоритм Уоршелла: begin

W:= L;

for k=1 to n do

for i=1 to n do

for j=1 to n do

w(i,j)= w(i,j) или (w(i,k) и w(k,j));

end

Мы часто ищем сложности вещей, Где истина лежит совсем простая.

С. Щипачев

§ 8. Критерий изоморфизма графов

Теорема 5.8 (критерий изоморфизма графов). Графы G=(V,X) и G′=(V′,X′) с матрицами смежностей (aij) и (aij′) соответственно изоморфны тогда и только тогда, когда: 1) число вершин в V и V′ совпадает (и равны,

137

например, n); 2) существует такое взаимно однозначное соответствие ψ множества {1,2,…,n} на себя, что aij=а′ψ(i) ψ(j).

Доказательство. Необходимость. Пусть ϕ - изоморфизм G и G′. Докажем, что выполняются условия 1) и 2). Если ϕ - изоморфизм, то это означает, что ϕ взаимно однозначное отображение V на V′, следовательно, условие 1) выполняется. Отображение ϕ сохраняет смежность, поэтому если vi было соединено ребром с vj, т.е. aij=1, то ϕ(vi)=v′k будет соединено ребром с ϕ(vj)= v′m, следовательно, а′km=1. Тогда если aij=0, то а′km=0. Таким образом, ϕ порождает взаимно однозначное отображение ψ множества {1,2,…,n} на себя (ψ(i)=k, ψ(j)=m), при котором aij=а′ψ(i) ψ(j), следовательно, условие 2) выполнено.

Достаточность. Пусть выполняются условия 1) и 2). Докажем, что графы G и G′ изоморфны. Определим отображение ϕ: ϕ(vi)=v′ψ(i). Это отображение ϕ взаимно однозначное и сохраняет смежность, следовательно, ϕ - изоморфизм G и G′, что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы с незначительными усложнениями переносится на случай мультиграфов и орграфов.

Количество взаимно однозначных отображений множества {1,2,…,n} на себя равно числу перестановок, т.е. равно n! и это число является большим при больших значениях n. Поэтому использовать непосредственно теорему 5.8 при практическом распознавании изоморфизма для графов с большим n нецелесообразно.

В большинстве случаев можно использовать следующий метод распознавания изоморфизма, который сводит перебор к минимуму. Этот метод основан на построении графа соответствия для данных графов G и G′. Рассмотрим построение графа соответствия для орграфов.

Очевидно, что если графы G и G′ изоморфны, то у соответствующих вершин одинаковы локальные степени. Для орграфов одинаковы полустепени исхода и захода соответствующих вершин. В связи с этим строим граф соответствия как граф, множество вершин которого есть V V′, и вершина из V соединена с вершиной из V′ тогда и только тогда, когда у этих вершин совпадают локальные степени (полустепени исхода и захода) в графах G и G′ соответственно. Вершины из V между собой не соединяем, вершины из V′ - тоже.

Из построенного графа соответствия определяем, какие варианты отображений вершин из V на V′ допустимы и какие нет. Эти

оставшиеся допустимые варианты придется перебрать и выяснить существование изоморфизма.

Поясним на примере. Пусть даны орграфы, изображенные на рис 5.15.

138

Рис. 5.15

В каждом графе по 6 вершин, следовательно, возможных взаимно однозначных отображений 6!=720. Перебрать все 720 отображений и выяснить среди них существование изоморфных отображений дело громоздкое.

Построим граф соответствия, см. рис. 5.16. У каждой вершины записываем полустепени исхода и захода в виде (k,l), здесь k - полустепень исхода, l - полустепень захода вершины.

Очевидно, что вершину v3 нужно отобразить на вершину u3 (v3→ u3), а v4→ u4. Вершина v1 может при изоморфных отображениях отображаться на u1

или u2, вершина v2 - на u5 или u6, вершина v5 - на u1 или u2, а v6 - на u5 или u6. Таким образом, из 720 возможных отображений осталось 4

отображения, при которых возможен изоморфизм. Эти отображения представлены справа от Рис. 5.15.

Выясним, есть ли среди них изоморфное отображение рассматриваемых графов. При отображении 1) имеем, что а51=1, а а’12=0, следовательно, не выполнено второе условие теоремы 5.8, поэтому отображение 1) не будет изоморфизмом рассматриваемых графов. При