§ 5. Связность графа. Компоненты связности

129

являются связанными между собой. Таким образом, исходный граф можно представить в виде объединения связных подграфов:

G= UG(Vi ) ,

i

где G(Vi) - непересекающиеся связные подграфы данного графа, которые называются компонентами связности или просто компонентой графа G.

Ясно, что компонента связности графа G – это его максимальный связный подграф. Таким образом, мы имеем.

Теорема 5.3. Каждый (неориентированный) граф представляется единственным образом как объединение своих компонент связности.

Эта теорема позволяет сводить большинство задач, касающихся графов, к случаю связных графов.

Пусть G = (V,X) – граф. Для определения числа r компонент можно использовать следующий алгоритм:

begin

V’:=V; r:= 0;

while V’≠ do begin

Выбрать u V’;

Найти все вершины, соединённые цепями с u;

Удалить вершину u из V’ и соответствующие рёбра из Х; r:= r+1;

end

end

Теорема 5.4. Если в графе G ровно две вершины v и u имеют нечетную локальную степень, то эти вершины связанные.

Доказательство. Представим G= UG(Vi ) , где G(Vi ) – компонента.

i

Пусть v G(Vk ). По доказанной ранее теореме каждый граф имеет четное число вершин нечетной степени. Так как это свойство должно выполняется и для G(Vk ), то u должно принадлежать G(Vk ), следовательно, v и u являются вершинами связного графа, поэтому они связаны.

На рис. 5.10 приведены графы с двумя и с шестью компонентами связности (компонентами).

Ориентированный граф называется связным, если для любых двух его вершин v и u вершина u достижима из вершины v или вершина v достижима из вершины u.

130

Компонентой связности (компонентой) ориентированного графа

называется его максимальный связный подграф.

Вам поклоняюсь, вас желаю, числа! Свободные, бесплотные, как тени,

Вы радугой связующей повисли К раздумьям с вершины вдохновенья!

В. Брюсов

§ 6. Матрица смежности

Пусть дан граф G с n вершинами v1,v2,…,vn. Матрицей смежности графа, мультиграфа или псевдографа G с данной нумерацией вершин v1, v2,…, vn называется матрица A=(aij) размером n× n, в которой элемент aij равен числу ребер в G, соединяющих vi c vj. На рис. 5.11 приведены графы, а справа - их матрицы смежности.

v4

∑= 3 4 4 2 v3

Рис. 5.11

131

При другой нумерации вершин получим другую матрицу, получающуюся из А перестановкой строк и столбцов. Но в результате всегда получится симметричная матрица из неотрицательных целых чисел, обладающая тем свойством, что сумма чисел в любой i-й строке или i-м столбце равна локальной степени соответствующей вершины vi, 1≤ i≤ n. Здесь каждая петля учитывается в степени вершины только один раз.

Обратно, по любой заданной симметричной матрице А из неотрицательных целых чисел легко построить граф (единственный с точностью до изоморфизма), матрицей смежности которого будет матрица А.

Таким образом, вместо графов можно исследовать матрицы смежности либо наоборот.

Для орграфа G матрица смежности есть n×n матрица А =(aij), где aij – число дуг, идущих из vi в vj.

На рис. 5.12 приведён пример орграфа, а справа от него построена матрица смежности этого орграфа.

Сумма элементов по i–й строке матрицы равна полустепени исхода i–й вершины орграфа, а сумма элементов по j–му столбцу – полустепени захода j–й вершины.

Легко видеть, что матрица смежности А орграфа уже не является симметричной матрицей. Но это - матрица целых неотрицательных чисел и для любой такой матрицы А можно построить граф (с точностью до изоморфизма), матрица смежности которого равна А.

В результате видим, что исследование графов равносильно исследованию матриц смежностей, составленных из целых неотрицательных чисел.

Выясним, каким операциям над графами соответствуют операции над матрицами смежностей.

1.Умножению матрицы смежности А на целое число α соответствует тому, что в графе каждое ребро заменяется α ребрами.

2.При сложение матриц смежностей А+В (одного и того же порядка

n×n) имеет место следующая теорема.

132

Теорема 5.5. Пусть матрице A соответствует граф G1 = (V,X1), а матрице B – граф G2 = (V,X2). Тогда матрице А+В соответствует граф, полученный объединением ребер (дуг) графов G1 и G2 на том же множестве вершин V.

Доказательство. Если A=(aij), В=(bij), то А+В=(aij+bij), следовательно, у графа, соответствующего матрице А+В, вершины vi и vj соединяет aij+bij ребер (дуг из vi в vj), что получается, если к ребрам (дугам) графа G1 добавить ребра (дуги) графа G2. Теорема доказана.

3. Умножение матриц смежностей.

Теорема 5.6. Пусть матрице A соответствует граф G1 = (V,X1), а матрице B – граф G2 = (V,X2). Тогда матрице А×В отвечает мультиграф, построенный следующим образом: вершины vi и vj соединяет столько ребер, сколько существует различных цепей из vi в vj, составленных из двух ребер, первое из которых принадлежит графу G1, а второе G2.

Доказательство. Пусть A=(aij), В=(bij) и им соответствуют графы G1 и G2 соответственно.

По определению матрицы смежности число различных цепей вида

[vi,vk,vj], где (vi,vk) G1, (vk,vj) G2 равно аikbkj. Общее число цепей из vi в vj, составленных из двух ребер (первая из G1, а вторая G2), получается суммированием по всем k:

n

∑ aik bkj , k =1

что и дает (ij)-элемент матрицы А×В.

Эту теорему можно обобщить и на случай произведения любого конечного числа матриц.

Теорема 5.7. Пусть матрице Ai соответствует граф Gi = (V,Xi), 1≤ i≤ N. Тогда матрице А=А1×А2×…×АN отвечает мультиграф, построенный следующим образом: вершины vi и vj соединены стольким числом ребер, сколько существует цепей из vi в vj, составленных из N ребер, первое из которых принадлежит G1 , второе - G2 и т.д., N-е – GN.

Следствие 5.1. Если Аr= 0, то в графе, соответствующем матрице А, нет цепи длины r.

Следствие 5.2. Если G – связный граф с матрицей смежности А, то расстояние между vi и vj для i ≠ j равно наименьшему из целых чисел r, для которых (i,j)-ый элемент матрицы Аr отличен от нуля.

Следствие 5.3. Пусть G - помеченный граф с матрицей смежности А. Тогда (i,j)-й элемент матрицы Ar равен числу цепей длины r из vi в vj.

133

Это следствие позволяет просто (алгоритмически) определить число цепей заданной длины, соединяющих вершины vi и vj.

Рассмотрим примеры. Пусть имеем граф G1, диаграмма которого представлена на рис. 5.13, а). Матрица смежности А1 этого графа равна:

следовательно, расстояние между 1-й и 3-й вершинами графа G1 равно 2 (минимальной степени матрицы А1, при котором (1,3)-й её элемент отличен от нуля). Более того, имеется ровно одна цепь длины 2, ибо (1,3)-й её элемент равен единице.

Рассмотрим граф G2, диаграмма которого представлена на рис. 5.13, б) и, используя матрицу смежности, выясним, чему равно расстояние между 1-й и 4-й вершинами графа G2. Матрица смежности А2 графа G2 равна: