124
х1 |
|
|
х2 |
v1 |
|
|
|
|
|
v2 |
x1 |
|
v1 |
v2 |
|
v3 |
x2 |
|
|
х3 |
v3 |
v4 |
x3 |
v4 |
|
|
|
v5 |
x4 |
|
|
v5 |
|
v6 |
x5 |
v6 |
x4 |
|
v7 |
v7 |
x6 |
|
|
v8 |
|
v8 |
|
|
|
|
v9 |
v9 |
|
x5 |
x6 |
а) |
б) |
|
Рис. 5.7 |
Каждому гиперграфу Н(V,X) можно поставить в соответствие двудольный граф G, см. рис. 5. 7, б).
§ 2. Изоморфизм графов
Два графа G1=(V1,X1) и G2=(V2,X2) называются изоморфными, если между их множествами вершин существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее смежность. Иными словами, G1=(V1,X1) и G2=(V2,X2) изоморфны тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие между их вершинами V1 и V2, обладающее тем свойством, что две вершины соединены ребром в одном графе тогда и только тогда, когда соответствующие им вершины соединены ребром в другом графе.
На рис. 5.8 приведен пример изоморфных графов, т. к. существует взаимно однозначное соответствие vi ↔ ui сохраняющее смежность вершин.
v1 |
v2 |
v3 |
u1 |
u5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
u6 |
v4 |
v5 |
v6 |
u4 |
u3 |
|
||||
|
|
Рис. 5.8
Отношение изоморфизма, очевидно, обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, это отношение является
125
отношением эквивалентности и порождает разбиение множества всех графов на классы изоморфных графов.
Тритт осознавал свою кубичность. … Он
вообще не задумывался о форме своего тела. А если бы вдруг и задумался, то решил бы, что она прекрасна.
А. Азимов
§ 3. Число ребер графа
Пусть G – (неориентированный) граф. Число ребер инцидентных вершине v, будем обозначать через deg(v) и называть локальной степенью, или просто степенью вершины v в графе.
Для того чтобы найти число ребер, можно сосчитать число ребер в каждой вершине отдельно и сложить все эти числа. При этом каждое ребро будет сосчитано дважды, поэтому полученное число надо разделить пополам.
1 |
n |
|
Итак, число ребер графа равно: m = |
|
∑ deg( vi ). |
|
||
2 i=1
В результате доказана первая теорема теории графов (установленная Л. Эйлером).
Теорема 5.1. Число ребер графа равно половине суммы локальных степеней его вершин.
Из этой теоремы следует, что сумма степеней всех его вершин является числом четным (равным числу 2m).
На графе разделяют два типа вершин: нечетные вершины v, степени deg(v) которых нечетные, и четные вершины v*, имеющие четные степени deg(v*).
Теорема 5.2. Число нечетных вершин любого графа четно.
n
Доказательство. Иначе, ∑ deg( vi ) было бы нечетным числом, что не
i=1
так.
В (n,m) графе для любой вершины v, очевидно, выполняется соотношение 0≤ deg(v)≤ n-1. Для мультиграфа, очевидно, имеем: 0≤ deg(v)≤ m. Минимальная степень вершин графа G обозначается δ(G), максимальная -
(G). Если δ(G)= (G)=r, то все вершины имеют одинаковую степень, такой граф G называется регулярным или однородным степени r. В этом случае говорят о степени графа и пишут deg(G)=r. Очевидно, для регулярных
графов m= 1 nr, n-число вершин. Регулярный граф степени 0 совсем не имеет
2
ребер. Регулярные графы степени 3 называют кубическими. Так как
126
сумма локальных степеней графа четна, то в кубическом графе должно быть четное число вершин. На рис 5.8 и 5.9, а) приведены примеры кубических графов.
Вершина v называется изолированной вершиной, если deg(v)=0 и
концевой (висящей) вершиной, если deg(v)=1, см. рис. 5.9, б).
|
v- изолированная |
v – висящая |
|
вершина |
|
|
вершина |
|
а) |
б) |
|
Рис. 5.9
Полный граф с n вершинами, очевидно, является регулярным степени n-1. В полном графе каждая пара его вершин соединена ребром,
следовательно, число ребер полного графа ровно числу Сn2 .
Дуга x называется инцидентной вершине v, если она заходит в эту вершину или исходит из нее.
Для ориентированного графа G вводятся для каждой вершины два числа deg -(v) и deg+(v), равные соответственно числу выходящих и входящих дуг для вершины v. Эти числа называются полустепенями исхода и захода
вершины v. Тогда число дуг орграфа равно: m= ∑ |
deg -(vi) = ∑ deg+(vi). |
vi V |
vi V |
Ориентированный граф называется однородным степени r, если все локальные полустепени имеют одно и то же значение: v, v V: deg -(v)= deg+(v) =r.
…Как много есть извилистых путей, А всё, что нужно в этом грустном мире, - Искусство быть немножечко добрей.
Э. Уилкокс*
§ 4. Цепи, циклы, пути и контуры
Пусть G - неориентированный граф. Цепью в графе G называется конечная или бесконечная чередующаяся последовательность вершин и ребер v0, х1, v1, х2, v2,…, vn-1, хn, vn,…, в которой каждое ребро хi есть (vi-1, vi ). Отметим, что одно и то же ребро может встречаться в цепи несколько раз.
* ) Американская поэтесса.
127
Так как в последовательности нет ребер, предшествующих х1, то v0 называется начальной вершиной цепи, а если нет ребер, следующих за хn, то vn называется конечной вершиной.. Любая вершина vk, принадлежащая двум соседним ребрам хk-1 и хk, называется внутренней или промежуточной вершиной. Так как ребра и вершины в цепи могут повторяться, то внутренняя вершина может также оказаться начальной или конечной. Любой участок цепи есть цепь.
Нуль-цепь – цепь, не содержащая никаких ребер. Нетривиальная цепь – это цепь, содержащая хотя бы одно ребро.
Если цепь имеет начальную вершину v0 и конечную вершину vk, то записываем:
Z=Z(v0,vk ).
Вершины v0 и vk называются концами цепи.
Простая цепь – это цепь, все вершины которой, кроме, быть может, первой и последней, попарно различны и все ребра попарно различны.*
Вершина u (неориентированного) графа G называется достижимой из вершины v, если существует цепь Z(v,u), соединяющая эти вершины. Легко видеть, что отношение достижимости в графе G обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношением эквивалентности.
Если vk=v0, т.е. начало и конец цепи совпадают, то цепь называется
циклической или замкнутой.
Замкнутая цепь называется простым циклом, если все его n вершин различны и n ≥ 3.
Для орграфа вместо цепи и цикла вводят понятия пути и контура. Путь в орграфе – это конечная или бесконечная чередующаяся
последовательность вершин и дуг v0, х1, v1, х2, v2,…, vn-1, хn, vn,…, в которой каждая дуга хi есть vi-1, vi . Таким образом, путь в орграфе это последовательность вершин v0, v1, v2, …, vk,.., такая, что для любого i (i ≥ 0) из vi идёт дуга в vi+1, если vi+1 существует. Каждый путь ориентирован от начальной вершины к последующей.
Простой путь в орграфе – это путь, все вершины которого, кроме, быть может, первой и последней, попарно различны.
Замкнутый путь это путь, первая и последняя вершины которого совпадают.
Контур – нетривиальный замкнутый путь, у которого все вершины различны за исключением первой и последней.
Если в орграфе G существует путь из вершины v в вершину u, то считается, что u достижима из v. Отношение достижимости в орграфе G обладает свойствами рефлексивности и транзитивности.
* ) В ряде работ вводится понятие маршрута, которое совпадает с введенным понятием цепи, но при этом цепь вводится как маршрут без повторяющихся ребер