113

3) возвратить (прибавить) сумму весов элементов, имеющих не менее двух свойств и т.д.

Обобщением предыдущей теоремы является следующая.

Теорема 4.4. Сумма весов элементов n – множества S, удовлетворяющих r - выборке из m - множества свойств p1, p2,..., pm находится по формуле

v ( r ) = v( r ) − C1+ v( r + 1 ) + C 2+ v( r + 2 ) − ... + ( −1 )m−r v( m ) .

m r 1 r 2

Без доказательства.

§ 7. Задача о беспорядках и встречах

Пусть задано конечное (упорядоченное) множество чисел {1,2,3,...,n}. Из них могут быть образованы различные перестановки. Число всех перестановок рано n! Среди этих перестановок имеются такие, что ни один элемент не сохранил своего первоначального места: ai ≠ i, i=1,2,...,n. Такие перестановки называют беспорядками. Сколько существует беспорядков?

Введем свойства p1, p2, ..., pn такие, что свойство pi означает, что элемент ai остался на своём месте: ai = i, i=1,2,...,n.

Пусть N(k) – число перестановок, для которых k элементов находятся на своих местах. Ясно, что число N(k) равно (n–k)! Число беспорядков, т. е. число N(0), находится с помощью метода включения и исключения. Тогда имеем:

Это число является целым числом, ближайшим к (n! e-1). Например, если n =

7, то N(0)=1854.

Если нас интересует число перестановок, для которых ai=i точно в r местах (0 < r < n), то возникает задача, известная под названием «задачи о встречах». В этом случае получим следующее: r чисел из 1,2,...,n можно

выбрать Cnr способами и, выбрав их, умножим на число беспорядков из оставшихся n - r символов. В результате получим:

114

§ 8. Системы различных представителей

Пусть даны пять множеств

S1={1, 2, 3},

S2={1, 2, 4},

S3={1, 2, 5}, S4={3, 4, 5, 6}, S5={3, 4, 5, 6}.

Требуется выбрать пять различных элементов x1, x2,...,x5 таких, что хi Si, т.е. требуется выбрать представителей заданных множеств, причём выбранные представители должны быть разными элементами. Например, для приведённого примера в качестве представителей можно выбрать следующие элементы: 1, 2, 5, 3, 4. Но если взять множества

T1={1, 2},

T2={1, 2},

T3={1, 2}, T4={3, 4, 5, 6}, T5={3, 4, 5, 6},

то такой выбор оказывается невозможным, а так как нельзя выбрать три различных элемента из множеств T1, T2, T3. Возникает вопрос: при каких условиях подмножества Si множества S обладают различными представителями xi, т.е. xi Si и xi ≠ xj, если i ≠ j. Заметим, что не требуется, чтобы множества Si и Sj были различными при i ≠ j.

Как легко убедиться, необходимое условие для существования различных представителей состоит в том, чтобы в совокупности всех элементов произвольных k множеств Si содержалось не менее k различных элементов. Оказывается, это условие является и достаточным.

Теорема 4.5. (теорема Холла). Подмножества S1, S2,..., Sm конечного множества S имеют систему различных представителей тогда и только тогда, когда для каждого k, 1≤ k≤ m, объединение любой k - выборки из этих множеств содержит не менее k элементов. Иными словами, система различных представителей для S1, S2,..., Sm существует тогда и только тогда, когда Si1 Si2 . . . Sik состоит не менее чем из k элементов при k = 1,2,...,m,

а i1, i2,..., ik –любая k-выборка из - 1, 2, ..., m.

Необходимость условий теоремы уже доказана.

Заметим, что если каждое Si содержит единственный элемент xi, то доказательство достаточности очевидно и причем выбор системы различных представителей единственен. Для случая, когда Si содержит более одного элемента, достаточность условий примем без доказательства. Можно доказать более общую теорему.

115

Теорема 4.6. Пусть семейство множеств S1, S2,..., Sm удовлетворяет необходимым условиям существования системы различных представителей

ипусть каждое Si(1≤ i ≤ m) состоит не менее чем из t элементов. Тогда:

1)если t ≤ m, то имеется не менее чем t! систем различных представителей;

2)если t > m, то имеется не менее чем t! /(t–m)! систем различных представителей.

Алгоритм выбора системы различных представителей (с.р.п.).

Условия теоремы Холла практически очень сложно проверить. Более того теорема дает условия существования решения, но не указывает правила нахождения с.р.п. Поэтому приведём алгоритм построения с.р.п., который одновременно будет проверять существование с.р.п.

Пусть задано n множеств S1, S2,..., Sn, n≥1. Требуется найти для них с.р.п. или показать, что этой системы не существует. Пронумеруем множества S1, S2,...,Sn и зафиксируем порядок, в котором они занумерованы. Произвольным образом выберем элемент первого множества а1 S1 в качестве его представителя. Поочередно будем выбирать представителей других множеств: а2 S2, а3 S3 ,..., заботясь о том, чтобы каждый из них был отличен от любого ранее выбранного. Если такие операции окажутся доведенными до аn Sn включительно, то получим искомую с.р.п.

Может случиться, что в ходе постепенного подбора дойдем до некоторого множества St ( t < n ), все элементы которого b1, b2,..., bk(t) уже были выбраны представителями других множеств. Это еще не означает, что с.р.п. не существует. Закрепим порядок нумерации элементов St. Будем брать поочередно все те множества Sj, j < t, представителями которых являются b1,

(элементы из St). В каждом Sj будем удалять все элементы, которые уже являются представителями множеств до тех пор, пока либо

1)встретится элемент bi1 Sj, который не является ещё представителем, либо

2)не существует элемент, который не является представителем.

Во случае 2) с.р.п. не существует.

Если же имеет случай 1), т.е. на некотором этапе найдётся bi1 Sj, не являющийся до сих пор представителем. Положим, что представителем для Sj является новый элемент bi1. Далее начинаем назначать представителей для и так далее. В результате либо имеется возможность дойти до Sn и получить с.р.п., либо встретить случай 2) и установить, что с.р.п. не

существует.

116

§9. Вопросы и темы для самоконтроля

1.Правило суммы для конечных множеств. Для какого случая это правило задаётся как аксиома? В каком случае доказывается?

2.Обобщенное правило суммы.

3.Правило произведения для конечных множеств. Доказуемо это правило или оно взято в качестве исходной аксиомы?

4.Обобщенное правило произведения.

5.Выборки.

6.Число r перестановок из n множеств (без повторений и с повторением).

7.Число r сочетаний из n множеств (без повторений и с повторением).

8.Свойства чисел C(n,r).

9.Биномиальная теорема.

10.Число всевозможных разбиений конечного множества на подмножества с заданными числами элементов.

11.Полиномиальная теорема.

12.Метод включения и исключения.

13.Задача о беспорядках и встречах.

14.Система различных представителей.

15.Алгоритм выбора системы различных представителей.

Один сказал: «Нам этой жизни мало». Другой сказал: «Недостижима цель». А женщина привычно и устало, Не слушая, качала колыбель.

И стёртые верёвки так скрипели, Так умолкали, - каждый раз нежней. Как будто ангелы ей с неба пели И о любви беседовали с ней.

Г. Адамович

§10. Упражнения по комбинаторике

1.Сколькими различными способами можно расставить оценки (2, 3, 4,

5)четверым студентам так, чтобы никакие два студента не получили одну и ту же оценку?

2.Сколькими различными способами можно расставить оценки 4 и 5 десяти студентам?

3.Алфавит А состоит из n букв. Сколько существует слов в алфавите А, длины которых равны 5? Сколько существует слов в алфавите А, длины которых не превосходят 5?

4.Вратарь футбольной команды десять раз выбрасывает мяч в игру. Тренер рекомендовал ему подавать мяч каждый раз другому игроку своей команды. Сколько возможных вариантов существует у вратаря?

117

5.Из колоды в 52 карты выбрали 3 карты. Определить, в скольких случаях среди них окажутся 1) туз; 2) все карты одной масти; 3) пиковая дама, семерка и туз крестей.

6.Пусть известно, что следующее число учеников изучают языки:

36 - английский,

23 - французский,

13 – немецкий,

6 – английский и французский,

11 – английский и немецкий,

4– французский и немецкий, 1 – все три языка.

Впредположении, что каждый учащийся изучает хотя бы один из указанных языков, найдите общее число учащихся.

7.Найти количество целых положительных чисел, не превосходящих 300 и не делящихся ни на одно из следующих простых чисел: а) 2, 3, 5; б) 2, 3, 5, 7.

8.Указать наибольшее среди чисел Сnk, k = 0, 1, 2, …, n.

9.Найти n, если известно, что в разложении (1 + x)n коэффициенты при х5 и х12 равны.

10.Во взводе 4 сержанта и 40 солдат. Сколько существует способов выделить одного сержанта и двух солдат для патрулирования?

11.Пароль, открывающий доступ к компьютеру, состоит из пяти символов. Первые два из них – строчные буквы латинского алфавита (26 букв), а оставшиеся могут быть как цифрами, так и строчными буквами латинского алфавита. Сколько вариантов пароля существует?

12.Перевёртыш – это многозначное число, которое не поменяет своего значения, если все его цифры записать в обратном порядке. Сколько существует четырёхзначных перевёртышей? А сколько - шестизначных?

13.Автомобильные номера данного региона состоят из трех букв алфавита А={A,B,C,D,E,H,K,M,O,P,T,X,Y} и трех цифр. Сколько автомобилей может быть занумеровано различным образом? Сколько среди них автомобилей, числовые номера которых состоят из одинаковых цифр?

14.Под словом понимаем последовательность заданных букв, вне зависимости имеет или нет этот набор букв смысловое содержание. Сколько различных слов можно получить из слова «математика»? Сколько среди них слов, начинающихся с буквы «к»?

15.Сколько трехбуквенных слов можно составить из букв слова "логика"?

16.Сколькими способами можно выбрать 3-х призеров из 10 участников соревнования?

17.Пусть имеем n переменных А1, А2, …, Аn, каждая из которых принимает одно из двух значений: 0 или 1. Сколько существует возможных различных значений вектора (А1, А2, …, Аn)?

18.Сколькими способами можно посадить за круглый стол 10 мужчин и 10 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

118

19.Найти число возможных разбиений множества из 10 элементов на 3 множества с 2, 3 и 5 элементами.

20.Сколькими способами можно разместить 10 различных шаров по трем урнам, которые могут содержать 2, 4 и 4 шаров каждая?

Тот же вопрос, но урны могут содержать 3, 5 и 2 шаров каждая.

21.Доказать, что

m i m-i m

∑ Сr Cs = Cr + s . i =o

r s r+s

Указание: используйте соотношение (1+ х) (1+ x) = (1+ x) .

22.Сколько различных слов можно образовать, переставляя буквы в слове "мама"?

23.Чему равен коэффициент при слагаемом x2y3z2 в выражении:

(x+y+z)7?

24.Чему равен коэффициент при слагаемом x5y2z в выражении:

(x+y+z)8?

25.Докажите, что

P(n+1, i, j, k) = P(n, i–1, j, k) + P(n, i, j–1, k) + P(n, i, j, k–1).

27.Пусть имеем множество А из 10 элементов. Пусть множество

подмножеств А по k элементов содержит nk элементов. Доказать, что n5 ≥ nk для любого k: 1 ≤ k ≤ 9.

28.Найдите число различных расположений следующих пяти символов:

а) A, B, C, D, E; б) A, A, B, C, D; в) A, A, B, B, C; г) A, A, B, B, B.

29.Сколько всего сигналов можно составить, меняя порядок семи флагов разного цвета?

30.Сколькими способами можно составить комиссию в составе трех человек, выбирая их из 10 студенческих групп (каждая группа состоит из 15 человек), если:

а) в комиссию могут входить любые три студента; б) в комиссию не могут входить два и более студентов из одной группы?

31.Сколько сигналов можно составить, меняя порядок семи флагов: 2 красных, 1 синий, 3 зеленых и 1 белый?

32.Город имеет вид прямоугольника, разделенный улицами на квадраты. Таких квадратов в направлении с севера на юг имеется точно n, а в направлении с востока на запад - m. Сколько имеется кратчайших дорог из юго-западного угла города до северо-восточного угла?