Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

104

Рассмотрим теперь случай, когда А∩В ≠ . Докажем, что в этом случае получим:

Очевидно, имеем:

А=(А∩ В ) (А∩В) и (А∩ В )∩ (А∩В)= ;

В=( А ∩В) (А∩В) и ( А ∩В)∩ (А∩В)= . A B

Тогда, используя правило суммы, получим следующее:

n(A) = n(A ∩ B ) + n(A ∩ B);

n(B) = n( A ∩ B) + n(A ∩ B);

,

n(A) + n(B) = n(A ∩ B ) + n( A ∩ B) + n(A ∩ B) + n(A ∩ B)

1444442444443

n(A B)

следовательно, n(А В)=n(А)+n(В)-n(А∩В), что и требовалось доказать. Для трех множеств можно получить: n(А В С)=n(А)+n(В)+n(С)-n(А∩В)-n(А∩С)-n(В∩С)+n(А∩В∩С).

В общем случае по индукции можно получить следующую формулу (правило):

+n(А1∩А2∩А3)+…+ n(Аk-2∩Аk-1∩Аk) +…+(-1)k-1n(А1∩А2∩…∩Аk).

которое называется обобщенным правилом суммы.

§ 2. Правило произведения для конечных множеств

Рассмотрим пример. Из Казани в Самару можно добраться (летом) пароходом, поездом и самолетом, т.е. тремя способами. Из Самары до Тольятти можно доехать на автобусе или такси. Сколькими способами можно добраться из Казани до Тольятти, используя указанные возможности? Очевидно, что 3×2=6 способами.

Пусть даны произвольные конечные множества А и В. Выясним сколько элементов содержит их декартово произведение А×В. Напомним, что декартовым произведением непустых множеств А и В называется множество упорядоченных пар: А×В={ x,y : (x А)&(y В)}.

Для k множеств А1,А2,…,Аk их декартово произведение определяется как множество упорядоченных k элементов: А1×А2×…×Аk={ x1,x2,…,xk : (x1 А1)&(x2 А2)& …&( xk Аk)}.

105

Для каждого а А обозначим через R(a) множество всех упорядоченных пар а,b , составленных из элемента а и всевозможных b из В, т.е.

R(a)={ а,b : b В}.

Очевидно, что n(R(a))= n(В). При различных а1 и а2 (а1 ≠ а2) множества R(а1) и R(а2) не имеют общих элементов, т.е. R(а1)∩R(а2)= . Ясно, что

U R( a ) = A × B . Тогда по правилу суммы получим:

а А

n(А×В)= ∑ n(R(a)) .

а А

Число слагаемых, очевидно равно n(А), следовательно, n(А×В)=n(А) n(В)=nm,

где n=n(А) и m=n(В). Это соотношение и называется правилом произведения. Правило произведения можно сформулировать следующим образом:

если объект А может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект В в свою очередь может быть выбран m способами, то выбор «А и В» в указанном порядке может быть осуществлен nm способами.

Индукцией можно доказать следующее обобщенное правило произведения:

n(А1×А2×…×Ак)= n(А1) n(А2) … n(Ак).

§ 3. Выборки и упорядочения

Отметим, что в множестве порядок элементов не играет никакой роли,

т.е. если A={a,b}, B={b,a}, то А=В.

Пусть имеется множество А с n элементами, которое часто называется n-множеством А. Некоторая совокупность r элементов этого множества: (а1, а2,…, аr), где аi А, i=1,2,…,r, r ≤ n, называется r-выборкой, а число r - ее

объемом.

Неупорядоченные r-выборки из n-множества А называются r- сочетаниями, если все r элементов различны, и r-сочетаниями с повторениями - при наличии одинаковых элементов.

Упорядоченные r-выборки из n-множества А называются r-

перестановками, если все r элементов различны, и r-перестановками с повторениями, если среди r элементов имеются одинаковые (равные).

Задачи выделения r-перестановок и r-сочетаний не дают, как правило, единственного решения. Эта неоднозначность с решением порождает естественный вопрос: сколькими способами можно осуществить требуемое комбинаторное расположение.

Найдем число всех возможных r-перестановок (без повторений) из n- множества. Обозначим искомое число через P(n,r), иногда это число обозначают Pnr или Pn,r.

Задача определения P(n,r) сводится к последовательному применению правила произведения. Действительно, в n-множестве имеется n возможностей для выбора первого элемента r-перестановки. Как только

106

такой выбор сделан, остается n-1 возможностей для выбора второго элемента, затем n-2 возможностей для выбора третьего элемента и т.д., для выбора r-ого элемента будет n-r+1 возможностей. По правилу произведения получим:

P(n,r)= n(n-1)…(n-r+1).

Очевидно, что имеем:

P(n,n)=n!

Для полноты будем считать, что

P(n,0)=0!=1.

Подсчитаем теперь число P возможных r-перестановок с повторениями. В этом случае после выбора любого элемента r-перестановки остаются все те же n-возможностей для выбора следующего элемента. Следовательно, по правилу произведения, число r-перестановок с

повторениями из n-множества равно

P=nr.

Подсчитаем теперь число r-сочетаний (без повторений). Обозначим

r

r-сочетание (а1, а2,…, аr), аi А не зависит от порядка написания элементов, в то время как в r-перестановках в зависимости от порядка элементов получаем различные r-перестановки. Так как P(r,r)=r!, то

Определим число r-сочетаний с повторениями. Пусть элементы множества А занумерованы числами 1,2,…,n. Тогда вместо r-сочетаний с повторениями из множества А будем рассматривать соответствующие им (взаимно однозначно) r-сочетания с повторениями из множества А*={1,2,…,n}. Так как в сочетаниях порядок элементов несущественен, всякое r-сочетание из А* можно записать в виде

где k1≤ k2≤… ≤ kr (равенство имеет место, когда есть повторяющиеся элементы). r-сочетанию (4.4) с повторениями поставим в соответствие r- выборку:

в которой все элементы уже различны, потому что к элементам неубывающей последовательности прибавлены элементы возрастающей последовательности.

107

Это соответствие, как легко видеть, взаимно однозначное и при этом r- выборка (4.5) является r-сочетанием без повторений из множества {1, 2,…, n, n+1, n+2,…, n+r-1}. Таким образом, число r-сочетаний с повторениями из n-

множества равно числуСnr+r-1 .

Свойства чисел Сnr . По определению чисел Сnr получим, что (по

определению 0!=1):

Сnn=1; Сn0=1;

Последнее свойство называется правилом симметрии. Следующее соотношение называется правилом Паскаля:

Сnr = Сnr-1 + Сnr-−11 .

Докажем это правило. Из определения чисел Сnr имеем:

что и требовалось.

Используя формулу Стирлинга:

можно получить следующую оценку чисел Сnr :

§ 4. Биноминальная теорема

Теорема 4.1. (Биноминальная теорема). Для произвольных чисел а, b и целого положительного n имеет место соотношение:

Формула (4.6) называется биномом Ньютона или биноминальной формулой (теоремой).

Доказательство теоремы проведем методом математической индукции. Для n=1 имеем:

108

1

а+b=1• а+1• b= С10 а+ С11 b= ∑Cni a n−i bi .

i=0

Пусть равенство (4.6) истинно для n=k, k≥1. Докажем, что тогда (4.6) истинно и для k+1. Имеем:

(а+b)k+1=(а+b)k(а+b)=(а+b)ka+(а+b)kb=

i

Ck +1

k+1

=∑ Cki + 1ai bk +1−i .

i =0

Теорема доказана.

n

Из равенства (4.6) легко следует: если а=1, b=-1, то ∑( −1 )i Cni =0, если

i=0

n

а=1, b=1, то ∑Cni =2n.

i =0

Из последнего соотношения легко получить число всевозможных подмножеств конечного множества А. Действительно, пусть n(А)=n. Очевидно:

-число одноэлементных подмножеств множества А равно числу Сn1 ;

-число двухэлементных подмножеств множества А равно числу Сn2 ;

-…;

-число k элементных (1≤ k≤ n) подмножеств множества А равно числу

Сnk .

Учитывая, что есть еще пустое подмножество (содержащее 0 элементов), получим, что число всевозможных подмножеств множества А равно:

r

n(2А)= Сn0 + Сn1 + Сn2 +…+ Сnn = ∑Cri =2n.

i=0

Итак, n(2А)= 2n.