95
§22. Вопросы и темы для самопроверки
1.Булевы функции одной и двух переменных.
2.Формулы. Упрощения в записях.
3.Основные соотношения для булевых функций.
4.Связи между различными булевыми функциями.
5.Можно ли любую булеву функцию выразить только через функции двух типов?
6.Штрих Шеффера и стрелка Пирса.
7.Нормальные формы. Единственна ли д.н.ф. для заданной формулы?
8.Представление булевой функции в аналитическом виде.
9.Совершенные нормальные формы.
10.Всегда ли существуют совершенные нормальные формы?
11.Нахождение совершенных дизъюнктивных и конъюнктивных форм.
12.Полином Жегалкина.
13.Сокращенные, тупиковые и минимальные формы. Единственна ли минимальная д.н.ф.?
14.Метод импликантных матриц для нахождения минимальных д.н.ф.
15.Метод Мак-Класски.
16.Построение по данной булевой функции контактных схем и схем из функциональных элементов.
17.Классы функций, сохраняющих ноль, единицу; определение, примеры, свойства.
18.Классы самодвойственных, монотонных и линейных функций; определения, примеры, свойства.
19.Понятие полной системы, критерий функциональной полноты системы функций. Может ли базис содержать пять функций?
20.Функциональная декомпозиция.
Есть только один путь постижения, отвечал Алхимик, - Действовать.
Пауло Коэльо
§23. Упражнения
1.Составьте таблицы истинности для:
а) ((x&( y)) y); |
б) ((( x) y)&x); |
в) ((x&( y)) z); |
г) (x (y&z)). |
Постройте графическое представление указанных булевых функций. 2. Являются ли следующие выражения формулами:
а) &x; |
б) (x&( y)); |
в) (( z) y); |
г) ((( z) y)≡ y); |
д) (x ( x)); |
е) ( ( ( ( x))))? |
96
3.а) пусть значение формулы (x≡ y) есть 1. Что можно сказать о значениях формул (x≡( y)) и (( x)≡ y)?
б) пусть значение формулы (x≡ y) есть 0. Что можно сказать о значениях (x≡( y)) и (( x)≡ y)?
4.Найти значения x, y, z, если:
а) ( (x& y))=0;
в) (( (x (x≡ y))) z)=0; д) ((x& y)≡ (y z))=1; ж) (( (x&y))≡ z)=1,
(z ( x))=0; и) (x≡ z)=0,
(x z)=0;
л) (x ( y))=0, ((x& y)≡ z)=1;
б) ( (x ( y)))=1; г) (x (x& y))=0; е) x≡ y&z x=0;
з) (((x&y) z) x)=1, (x ( z))=0;
к) (((x& y) z)≡ x)=1, (x ( y))=0;
м) (x z)=0, (x y)=1.
5.Составьте таблицы истинности для следующих формул:
а) (x (y x));
б) ((x (y z)) ((x y) (x z))); в) ((( y) ( x)) ((( y) x) y));
г) ((x y) z); д) (x (y z));
е) ((x y)≡(( y) ( x))); ж) ((x≡ y) (( z)&y));
з) ((x y)≡(( x) ( y))).
Укажите, какие из этих формул являются тавтологиями.
6.Доказать, что если А – тавтология, то тавтологиями являются (А В) и (В А), где В – произвольная формула.
7.Для данных формул составить таблицы истинности. Определить, для которых из них значения всей формулы можно записать без промежуточных выкладок (используйте результаты задачи 6):
а) ((x y) z); |
б) (z (x≡ x)); |
в) (x ( x)); |
г) ((x x) x); |
д) (x (x≡ x)); |
е) (((x&y) ( z)) (x x)); |
ж) (((z& t) (x&y)) (y ( y))); |
з) ((x (y ( x)))&(z (x ( z)))); |
и) ((y≡ y)&(z z)&(x ( x))); |
к) (((x&y)&(x& x)) ( (x&y))). |
8. Составить таблицу истинности для булевой функции, зависящей от трех переменных, если известно, что функция равна 1 тогда и только тогда, когда:
а) все переменные принимают одинаковые значения; б) равны 1 значения большинства переменных этой функции;
в) равно 1 значение одного и только одного из ее переменных; г) каждая переменная принимает значение, отличное от значения
соседней переменной.
97
9. 1). Записать в сокращенном виде, т. е. по возможности опустив скобки следующие формулы:
а) ((( x) (y ( z)))≡((y&x) ( y))); б) (((x ( y)) z) (( x)&y));
в) ((x y) (z ( z)));
г) (((( x)≡ y)&(y ( z)))≡x);
д) ((((x ( y)) ( z)) z)&(x y)); е) (А (В (С D))).
2). В приводимых далее сокращенных записях формул восстановить опущенные скобки:
а) x≡ y z&x x; б) y y z≡ z& t; в) x≡ y≡ y y&x; г) x y x& y z;
д) x≡ y z x& y x;
е) x& y& z x x x≡ y.
10. Найти простейшие (содержащие минимально возможное число вхождений переменных) равносильные формулы для заданных формул:
а) x&(x y) x&y; |
б) x x& y; |
в) x x&y; |
г) x&( x y); |
д) x&(x y); |
е) x x x& x& y& z; |
ж) x& x& y y x& y y x& x& z; |
з) (x (y& z)) ( x&( y z)); |
и) (x& y) z& t ( x y); |
к) x&y (z z); |
л) x z& y z z; |
м) x x≡ x x x. |
11.Законы де Моргана для п переменных можно записать в виде:
n |
n |
( xi |
); |
( & xi ) равносильно |
|
||
i=1 |
i=1 |
|
|
n |
n |
|
|
( xi ) равносильно |
& ( xi ) . |
||
i=1 |
i=1 |
|
|
Для п=2 эти равносильности доказаны (например, с помощью таблицы истинности). Доказать их для любого п индукцией по числу переменных.
12.Доказать, что x y& z& t равносильно (x y)&(x z)&(x t).
|
n |
n |
13. |
Доказать, что x ( & yi ) равносильно &(x yi). |
|
|
= |
i =1 |
|
i 1 |
|
|
n |
n |
14. |
Доказать, что x&( yi ) равносильно (x& yi). |
|
|
= |
i =1 |
|
i 1 |
|
15.Запишите x (y z) без связки . Запишите ответ так, чтобы связка не стояла перед скобками.
16.Запишите (y z) x без связки . Запишите результат в форме, не содержащей перед скобками.
17.Запишите каждую из следующих формул без связки , а окончательный результат без связки , стоящей перед скобками:
98
а) (x y) z;
б) (x y) ( y x); в) (x y) (x&y x).
18.Выразите x (y≡ z) без , ≡ и отрицаний, стоящих перед
скобками.
19.Для формулы x y z найдите равносильную ей формулу, содержащую только связку .
20.Для формулы x y z найдите шесть равносильных ей формул, содержащих только связки , .
21.Для формулы (x≡ y) z найти равносильную, содержащую:
а) только связки , ; б) только связки ,&; в) только связки , .
22.Для формулы x y z найдите равносильную, содержащую: а) только связки , ; б) только связки ,&.
23.Найдите простейшие равносильные формулы для заданных
формул:
а) x x&y& z& t; |
б) x& y x x; |
в) ( x y≡ z)& y y; |
г) (x y≡ z) y y; |
д) x x& y& y&(t x x); |
е) x x& y& y& y y& z& x x; |
ж) x≡ x≡ x; |
з) x≡ x≡ x≡ x; |
и) x x x x; |
к) x (x x) x; |
л) x (x (x x)). |
|
24.Для формулы x y&z найдите равносильную, содержащую: а) только связки , &; б) только связки , ; в) только связки , .
25.Упростите, насколько это возможно:
а) (x y z)&(x y z); |
б) (z t y)& z&(x t z); |
в) x (y& t& z); |
г) (t z y)&(t t); |
д) x&(y x)& z; |
е) x (x x) (z z) t; |
ж) z&( x z t)& y&(y z); |
з) z& z t x y; |
и) z& (z& y); |
к) x&y& y&(t x y); |
л) x& y& z y& z& x x y y; м) y y z& y≡ x& x.
26.Докажите, что связки недостаточно для выражения любой булевой функции.
27.Докажите, что каждая из пар связок ( , ), (&, ≡) не является достаточной для выражения любой булевой функции.
28.Покажите, что для выражения любой булевой функции недостаточно:
а) связки &; |
б) связки ; |
в) связки ≡; |
г) связок , ≡; |
д) связок &, . |
|
99
29. Для заданных формул найдите равносильные им д.н.ф. и выясните по д.н.ф., являются ли они выполнимыми или нет:
а) (x y)&z; |
б) (x y) ( x&z); |
в) x≡(y& x); |
г) (x≡ y) z; |
д) x y z; |
е) (x y)&y x; |
ж) x y z y; |
з) x&y x z. |
30.Следующие формулы приведите к к.н.ф. и выясните, являются ли
они тавтологиями:
а) x ((x y) y);
б) ((x y)&(z t))&((x&z) (y& t)); в) (x y) ((x&z) (x& t));
г) (x (y&z))&((x y)&(x z)); д) ((x y) (x z)) (x (x z)).
31.Для заданных формул:
1)найдите к.н.ф.;
2)выясните, является ли тавтологией или нет;
3)найдите с.к.н.ф.:
а) x≡y z; |
б) (x y)&z; |
в) (x≡ x≡ x≡ y)&z; |
г) (x x x y) z; |
д) x≡ x≡ y z; |
е) (x y) z x. |
32.Определите, являются ли заданные формулы выполнимыми:
а) x y;
в) (x≡y)& (z t); д) x x x;
ж) x&( y z& x); и) x x&y& z≡ x;
б) (x z)&(x y); г) y≡ (x x);
е) x y≡( x y); з) x&y x y y; к) y&z z ( z x).
33.Определите, являются ли заданные формулы выполнимыми:
а) x (y≡ z t); |
б) x&y≡ z; |
в) (x y≡ x& y) z z; |
г) (x y)≡ x& y; |
д) (x (z t)≡ ((x&z) t)); |
е) x&(x y)≡ x; |
ж) x y z; |
з) x≡y x. |
34. Для заданных формул: |
|
найдите д.н.ф.; |
|
выясните выполнимость; найдите с.д.н.ф.; найдите к.н.ф.;
выясните, является ли тавтологией или нет; найдите с.к.н.ф.
а) x≡y z; |
б) (x y)&z; |
в) (x≡ x≡ x≡ y)&z; |
г) (x x x y) z; |
д) x≡ x≡ y z; |
е) (x y) z x. |
35. Найдите с.д.н.ф. и с.к.н.ф. двумя методами для следующих формул:
|
100 |
а) x y≡ z; |
б) x y; |
в) (x y)&( z t); |
г) x≡ y& x; |
д) (x y) ( x&z); |
е) (x y)&y x. |
36. Покажите, что: |
б) x y равносильно (x x) (y y); |
а) x равносильно x x; |
|
в) x равносильно x↓ x; |
г) x&y равносильно (x↓ x)↓(y↓ y). |
37. Для каждой из следующих формул найдите равносильные |
|
формулы, содержащие 1) только связку , 2) только связку ↓: |
|
а) x y; |
б) x&y& x&x; |
в) x x& y x y&x; |
г) x&y x y&y y; |
д) (x y) x; |
е) (x&y)↓( x). |
38.Сколько существует различных способов возможного заполнения последнего столбца таблицы истинности для булевой функции от п аргументов? Сколько существует различных булевых функций от п аргументов которые обладают следующим свойством: f(0,0,…,0)=f(1,1,…,1)?
39.Считая, что последний столбец таблицы истинности функции f(x,y,z) есть двоичное представление числа 185, найдите формулу, порождающую эту функцию.
40.Булева функция f(x,y,z), зависящая от трех переменных, принимает значение 1 тогда и только тогда, когда все ее аргументы приняли одинаковые значения. Найдите формулу, порождающую эту функцию.
41.Если с.д.н.ф. для некоторой булевой функции от четырех переменных содержит дизъюнкцию пяти элементарных произведений, то конъюнкцию скольких элементарных сумм содержит с.к.н.ф. этой же функции?
42.Последний столбец таблицы истинности булевой функции имеет вид 10100100. Постройте полином Жегалкина для этой функции.
43.Булева функция, зависящая от пяти переменных, принимает значение 1 тогда и только тогда, когда каждая переменная принимает значение, отличное от значения соседней переменной. Найти формулу, порождающую эту функцию.
44.Булева функция от четырех переменных принимают значение 0 тогда и только тогда, когда какие-нибудь две соседние переменные, и только они, принимают значение 1. Найдите формулу для этой функции.
45.Формула дана в одной из своих совершенных нормальных форм.
Получите для нее вторую совершенную нормальную форму:
а) x&y&z x& y& z x& y&z x& y& z x&y&z;
б) (x y z)&(x y z)&( x y z)&( x y z)&( x y z); в) x&y x& y; г) (x y)&( x y)&(x y).
46.Для каждой булевой функции от двух переменных найдите двойственные ей функции.
47.Каким характерным свойством обладает таблица истинности самодвойственной булевой функции?
101
48.Найдите все самодвойственные булевы функции от трех переменных.
49.Среди всех булевых функций от одной и двух переменных найдите все функции, сохраняющие 1, и все функции, сохраняющие 0.
50.Докажите, что среди булевых функций от п переменных число функций, сохраняющих 0, равно числу функций, сохраняющих 1.
51.Выяснить полноту следующих систем функций: а) {0, }, где 0 - одноаргументная функция такая, что 0(x)=0 для любого значения x; б)
{1, ,+}, где 1 - одноаргументная функция, такая, что 1(x)=1 для любого значения x; в) {1,&,+}; г) {0, , ≡}.
52. Из множества функций {x, z, x&y, x& y&z, x& z, y& z} выделить простые импликанты для f(x,y,z)=(00101111).
53.Методом импликантных матриц найдите сокращенные, тупиковые, минимальные д.н.ф. для следующих функций:
f1(x,y,z)=(1111000); f2(x,y,z)=(01111110); f3(x,y,z)=(01011111).
54.Используя метод Мак-Класки, найдите тупиковые, минимальные д.н.ф. для следующих функций:
f1(x,y,z,t)=(1111100001001100); f2(x,y,z,t)=(0010001001111110).
55.Найдите сокращенные, тупиковые, минимальные д.н.ф. для следующих функций:
a) x≡y, б) x+y, |
в) (x y) ≡ x, |
г) (x≡y) (z y), |
д) (01110111), |
е) (1111000011110011). |
|
56.Найдите минимальные д.н.ф. для функций:
a)f(x,y,z)=x&y& z x&y&z x& y&z x& y& z,
б) f(x,y,z,t)=x&y& z& t x&y&z& t x&y&z& t x&y& z&t x& y&z&t.
57. Выясните принадлежность классам P0, P1, S, M, L следующих функций:
x≡ y, x+y, x y, f(x,y,z)=(00110111).
58. Выясните полноту следующих систем функций:
а) {x y, x≡ y, 0}; |
б) {x y, x y&z}; |
в) { , ≡, +}; |
г) {(01101001), (10001101), (00011100)}; |
д) {x& y, x≡ y&z}; |
е) {0, 1, +}; |
ж) {(0010), (1101)}. |
|
59. Выявите всевозможные базисы из следующей системы функций: { , 0, 1, ≡ , +, &, }.
60. Выявите всевозможные базисы из следующей системы функций: { , ↓, , 0, 1, , (01101110)}.
61.Выясните, полны ли следующие системы функций:
а) { }; |
д) {≡}; |
и) {&, }; |
н) {&, , } , |
с) {0, 1, +}; |
б) {&}; |
е) { ,&}; |
к) {&, ≡}; |
о) {≡, +}; |
т) {0, 1, &}. |
в) { }; |
ж) { , }; |
л) { , ≡}; |
п) {1, +}; |
|
г) { }; |
з) { ,≡}; |
м) { , ≡}; |
р) {0, ≡}; |
|
62.Выясните, полны ли следующие системы функций:
|
102 |
а) { x, x&y y&z x&z}; |
г){0, 1, x+y+z}; |
б) { x, (y x)}; |
д) {x y, x y, x≡ y}; |
в) {0, x&y, x+ y}; |
е) {0,1, x&y y&z x&z}. |
63.Запишите формулу, соответствующую схеме рис. 3.9.
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y |
|
s |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.9 |
|
||
64. Постройте контактные схемы для формул: |
|
|||||
а) (x y)&z x; |
|
б) x&y x z; |
||||
в) (x y) z; |
|
г) (x y)≡ z; |
|
|||
д) (x x x)&y; |
|
е) x x x x. |
||||
65.Комитет состоит из пяти членов. Решения выносятся большинством голосов; однако если председатель против, решение не может быть принято. Постройте схему, чтобы при голосовании «за» - нажатием кнопки – свет загорался только когда решение принято.
66.Требуется, чтобы в большом зале можно было включать и выключать свет при помощи любого из четырех переключателей, расположенных на четырех стенках. Постройте схему. (Это осуществимо путем конструирования схемы, в которой свет включается, когда замкнуто четное число выключателей, и выключается, когда замкнуто нечетное число переключателей. Почему?)
67.В большом, совершенно темном зале стоит круглый стол, вокруг которого стоит 8 стульев. Около каждого стула имеется переключатель. В комнату сходят 4 мальчика и 4 девочки и садятся за стол. Каждая девочка замыкает свой переключатель, а каждый мальчик размыкает свой. Начертите схему, которая замыкается тогда и только тогда, когда мальчики и девочки сядут через одного.
68.С помощью функциональных элементов составьте схему с тремя входами и одним выходом так, чтобы на выходе появился сигнал тогда и только тогда, когда, по крайней мере, на двух входах поступают сигналы.
69.С помощью функциональных элементов составьте схему с двумя входами и двумя выходами так, чтобы на одном выходе появлялся сигнал тогда и только тогда, когда хотя бы на одном из входов поступает сигнал, а на другом выходе – когда только на одном из входов поступает сигнал.