8

Глава 1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ

Кнастоящему моменту теория множеств

является сложившейся частью математики и находит повсеместное применение.

Меняются и время, и мечты, Меняются, как время, представленья, Изменчивы под солнцем все явленья, И мир всечасно видишь новым ты.

Л. Камоэнс

§ 1. Задание множества

Интуитивное определение множества. Множество - это собрание определенных и различных между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества.

В этом определении собрание предметов рассматривается как один объект, как единое целое. Примеры множеств:

1)множество студентов в данной аудитории;

2)множество целых положительных чисел меньших 10;

3)множество решений уравнения х2-1=0;

9

4)множество чисел Фибоначчи: а1, а2, а3, …, где аk+2 = ak + ak+1, k ≥ 1, a1=a2=1;

5)множество самолетов и авиапассажиров.

Элементы множества могут быть разнородными, как в последнем примере.

Если объект (элемент) х принадлежит множеству М, то записываем х М, если же х не является элементом из М, то х М. Отношение

называется отношением принадлежности.

То, что множество М состоит из элементов a1, a2,…, an, записываем с помощью фигурных скобок: М={a1, a2, …, an}.

Введём понятие предиката и порождающей процедуры.

Предикат – это некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения, которое истинно тогда и только тогда, когда указанные переменные (указанная переменная) удовлетворяют заданному условию.

Порождающая процедура – это процедура, которая, будучи запущенной, порождает некоторые объекты по заданным правилам.

Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Задать множество можно различными способами:

перечислением элементов: M={a1, a2,…, an}; предикатом: M={x: P(x)};

порождающей процедурой: M={x: x=f}.

Например, пусть на множестве всех целых чисел предикат Р(х) означает х – четное число, тогда M={x: x – четное число} состоит из четных и только четных чисел. В тех случаях, когда при определении множества уточняется, что предикат Р введён на заранее заданном множестве S, записывается:

M={x S: P(x)} или M={x: x S и P(x)}.

Порождающей процедурой можно задать числа Фибоначчи: M={аk:

аk+2= аk + аk+1, а1=а2=1, k≥1}.

При записи множеств перед предикатом или порождающей процедурой, т. е. перед любым определяющим условием, поставлено двоеточие. В литературе, кроме двоеточия, может применяться вертикальная черта, т. е. вместо записи M={x: P(x)} может использоваться следующая форма записи: M={x P(x)}. Иногда множество M={x: P(x)} записывают в

виде: M={x}P(x).

Выявление принадлежности элемента данному множеству может оказаться сложной задачей. Например, будет ли принадлежать число 93878763456789567 множеству простых чисел?

Интуитивное определение множества, приведённое в начале этого параграфа, может приводить к противоречиям (парадоксам). Бертраном Расселом в 1902 г. был построен следующий парадокс.

Рассмотрим множество всех окон в данной комнате. Элементами этого множества являются окна, т.е. множество окон не является элементом этого множества. Есть множества, которые являются элементами самого себя,

10

например, множество всех множеств. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элементов:

Y={X: X X}.

Если Y существует, то мы должны иметь возможность ответить на следующий вопрос: является ли Y элементом самого себя? Если Y есть элемент Y, то по определению Y, множество Y не есть элемент Y. Если же Y не есть элемент Y, то Y должно быть элементом Y. Получаем неустранимое логическое противоречие, которое известно как парадокс Рассела.

Одним из способов избежать парадоксов типа парадокса Рассела является задание множества с помощью аксиом (аналогично как строится геометрия).

Рассмотрим аксиоматику Цермело-Френкеля теории множеств.

I. Аксиома объемности. Если множества А и В составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают: А=В.

Множество В называется подмножеством А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А. В этом случае записываем: В А

или В А. Если В А и В≠А, то В называют собственным подмножеством

множества А. Отношения и называют отношениями включения. Из А В

иВ А следует, что А=В.

II. Аксиома существования пустого множества. Существует такое

множество , что ни один элемент х ему не принадлежит.

Легко убедиться, что пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. для любого множества А: А.

II*. Аксиома пары. Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются a и b.

Аксиомы, помеченные звездочкой, здесь и в дальнейшем, зависимы от остальных, поэтому не имеют собственного номера.

III. Аксиома суммы (объединения). Для каждого семейства множеств R существует множество S, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат некоторому множеству А из R.

Объединение двух множеств А и В обозначается А В, объединение множеств А1, А2, …, Аn обозначается:

n

А1 А2 А3 … Аn или Ai .

i =1

IV. Аксиома степени. Для каждого множества А существует семейство множеств 2А, элементами которого являются все подмножества А и только они.

Рассмотрим примеры. Пусть

A= , тогда 2 ={ };

A={0, 1}, тогда 2A={ , {0}, {1}, {0, 1}};

A={a,b,c}, тогда 2A={ , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.

11

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным множеством. Число элементов конечного множества А обозначим через |А| или п(А). Можно показать, что если |A|=k, то |2A|=2k.

V. Аксиома бесконечности. Существует такое семейство множеств А, которому принадлежит и, если Х А, то в А найдется элемент Y, состоящий из всех элементов множества Х и самого множества Х.

VI. Аксиома выбора. Для каждого семейства А непустых непересекающихся множеств существует множество В, имеющее один и только один общий элемент с каждым из множеств Х, принадлежащих А.

VI*. Аксиома выделения для высказывательной функции Р. Для произвольного множества А существует множество В, состоящее из тех и только тех элементов из А, которые удовлетворяют Р, т.е. Р(х)=И. Иными словами, существует множество В такое, что:

В={х: х А и Р(х)=И}.

Приведённую запись, как уже было указано, представляют в следующем виде: В={ х А: Р(х)} или в виде: В={ х А Р(х)}.

VII. Аксиома замены для высказывательной функции Р. Если для каждого х существует единственный у, такой, что выполняется Р(х,у), то для каждого множества А существует множество В, состоящее из тех и только тех элементов у, которые при некотором х А выполняют Р(х,у).

Аксиоматические системы теории множеств, в которых аксиома замены вводится зависящей от произвольной высказывательной функции Р, носят название систем типа Цермело-Френкеля. В этой аксиоматике уже исключаются парадоксы типа парадокса Рассела. Подробное обсуждение систем аксиом теории множеств см., например, в [9].

Некоторые, часто используемые множества, имеют стандартные обозначения:

N = {1, 2, 3, …} – множество натуральных чисел (часто полагают, что N

включает и число 0, т.е.: N = {0, 1, 2, 3, …});

Z = {… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} - множество целых чисел;

Q = {m/n: m, n Z, n ≠ 0} - множество рациональных чисел; R = (- ∞ , ∞ ) - множество вещественных чисел.

§ 2. Операции над множествами

По аксиоматике мы уже ввели объединение множеств. Но приведем