62

§ 6. Зависимости между булевыми функциями

Операции (связки) , &, , =>, ≡ ,+, и ↓ не являются независимыми друг от друга в том смысле, что одни из них можно выражать через другие так, что при этом получаются равносильные формулы.

Легко видеть, что

Связка ≡ может быть выражена через связки и & на основании соотношения

x≡ y ~ (x y) & (y x).

Для доказательства этой равносильности достаточно составить таблицы истинности и убедиться, что результирующие столбцы этих таблиц совпадают.

Для импликации имеем:

последнее согласно закону де Моргана равносильно ( x y), следовательно,

соотношениям (3.2), (3.3), (3.1) и (3.7). При этом останутся только связки , &, . Если связка стоит перед некоторой скобкой, то на основании законов де Моргана можно внести под скобки, при этом связка & меняется на , а на &, а связки, отличные от , &, , не появятся. Внеся под скобки, перед которыми они стоят, добьемся, чтобы относилась только к переменным. Теорема доказана.

63

Теорема 3.4. Для каждой формулы А существует равносильная ей формула, содержащая либо только связки , &, либо только , , либо только

, .

Доказательство. Покажем, что можно оставить только связки и &. По предыдущей теореме можно оставить только связки , &, . Связку . исключим по (3.5). В результате останутся только и &. Остальные утверждения теоремы доказываются аналогичным образом.

Рассмотрим формулы, содержащие только связки , &, . Как уже установлено, всякая формула может быть приведена преобразованиями равносильности к формуле, содержащей только , &, .

Будем говорить, что связка & двойственна связке и наоборот. Формулы А и А* называются двойственными, если одна получается из

другой заменой каждой связки & и на двойственную. Например, если А =(x y)&z, то А* =(x & y) z.

Отношение двойственности взаимно: если А двойственно А*, то А* двойственно А. Следующую теорему считают законом двойственности.

Теорема 3.5. Если формулы А и В равносильны, то и двойственные им формулы А* и В* также равносильны.

Доказательство. Пусть А и В равносильны, а x1,x2,...,xn – переменные, входящие в А или В. Будем считать, что x1,x2,...,xn входят и в А, и в В. Если бы это было не так, например, В не содержала бы xk(1≤ k≤ n), входящего в А, то В

Если формулы А и В равносильны, то, очевидно, равносильны и их отрицания, поэтому из (3.8) получим, что

А(x1,x2,...,xn) ~ В(x1,x2,...,xn).

Вформулах последнего соотношения добьемся, чтобы относилась только к

переменным. При этом согласно законам де Моргана связки & и поменяются на двойственные. Следовательно, получим

что они принимают одинаковые значения при любых совокупностях значений переменных x1,x2,...,xn. Поэтому, если вместо переменных x1,x2,...,xn подставить x1, x2,..., xn, то формулы останутся равносильными. Учитывая, что х равносильно х, из (3.9) получим

64

А*(x1,x2,...,xn) ~ B*(x1,x2,...,xn),

что и требовалось доказать.

§ 7. Свойства операций штрих Шеффера, стрелка Пирса и сложения по модулю два

Теорема 3.6. Для каждой формулы существует равносильная ей формула, содержащая только связку , либо только связку ↓.

Доказательство. Докажем, что можно оставить только связку . По теореме 3.5 для каждой формулы существует равносильная ей формула, содержащая только и . Далее легко убедиться, например, с помощью таблиц истинности или, используя (3.10), что x ~ x x, x y ~ (x x) (y y).

Таким образом, и можно исключить и оставить только связку . Теперь покажем, что можно оставить только ↓. Согласно теореме 3.5

можно оставить только связки и &. С помощью таблиц истинности или по (3.11) легко показать, что x ~ x↓ x; x&y ~ (x↓ x)↓(y↓ y), следовательно, остается только связка ↓ . Теорема доказана.

Теперь покажем, что нет другой бинарной связки, кроме , ↓, обладающей тем свойством, что через нее можно выразить все остальные.

Теорема 3.7. Единственными бинарными связками, каждой из которых достаточно для выражения всех формул, являются связки ↓ и .

Доказательство. Предположим, что ° является достаточной в указанном смысле связкой. Если бы 1°1 было 1, то любая формула, построенная с помощью только лишь °, принимала бы значения 1, когда все входящие в нее переменные принимают значение 1. Следовательно, формула x& x не могла быть выраженной только через °. Итак, 1°1 = 0.

Далее выясним, чему равняется 0° 0. Если бы 0° 0 = 0, то любая формула, построенная с помощью только лишь °, принимала бы значение 0, когда значения переменных равны 0. Следовательно, формула x не могла бы быть выражена только через °. Поэтому 0° 0 = 0. Таким образом, имеем таблицу:

равносильно y либо x. В обоих случаях функция ° выражена через . Однако связка не является достаточной для выражения любой формулы, ибо с помощью можно получать формулы только вида x, ( x) и т.п., а например формулу, тождественно равную 1, получить нельзя. Теорема доказана.

Для операции сложения по модулю два имеем: x+y= (x≡y).

Эта операция, очевидно, коммутативна: x+y=y+x. Легко убедиться, что конъюнкция дистрибутивна относительно сложения по модулю два, т.е. x&(y+z) ~ (x&y)+(x&z), (y+z)&x~(y&x)+(z&x). Также просто показать, что x+ x ~ 0, x + x + x ~ x. Более обще: если суммировать одинаковые слагаемые чётное число раз, то получим нуль, если же число одинаковых слагаемых, например x, нечётно, то эта сумма равносильна x.

§ 8. Элементарные суммы и произведения. Конституенты нуля и единицы

Известно, что в математическом анализе среди всевозможных функций выделяют элементарные (основные) функции: степенные, показательные, тригонометрические и т.п. Среди булевых функций тоже выделяют некоторые как элементарные (основные), а далее из них можно получать более сложные.

Элементарной суммой (элементарным произведением) называют дизъюнкцию (конъюнкцию) булевых переменных либо их отрицаний. Одну переменную тоже будем рассматривать как элементарную сумму или как элементарное произведение. Элементарную сумму часто называют дизъюнктом, а слагаемые этой суммы называются литералами (литерами).

Примеры элементарных сумм: x, x y, x y x z. Примеры элементарных произведений: x, x&y, x&z&x&y.

Очевидно, что элементарная сумма является тавтологией (тождественно равной единице) тогда и только тогда, когда в ней содержится хотя бы одна пара слагаемых, из которых одно есть некоторая переменная, а другое - отрицание этой переменной.

Аналогично имеем, что элементарное произведение является противоречием тогда и только тогда, когда в нем содержится хотя бы одна пара множителей, из которых один множитель является отрицанием другого.

Среди элементарных сумм, которые можно составить из данных переменных x1,x2,...,xn и их отрицаний, выделяют элементарные суммы, в

66

которых каждая из булевых переменных x1,x2,...,xn входит один и только один раз либо без знака отрицания, либо со знаком отрицания. Такие элементарные суммы называют конституентой нуля. Таким образом, конституента нуля для булевых переменных x1,x2,...,xn представляет собой формулу вида:

где x'i (1≤ i≤ n) есть либо xi, либо xi.

Примеры конституент нуля для переменных x1,x2,...,xn:

x1 x2 ... xn, x1 x2 ... xn ,…, x1 x2 ... xn.

Как известно, дизъюнкция обращается в нуль тогда и только тогда, когда равен нулю каждый дизъюнктивный член. Следовательно, формула (3.12) будет равна нулю тогда и только тогда, когда равны нулю все переменные xi, которые входят без знака отрицания, и равны единице все те xi, которые входят в (3.12) со знаком отрицания. Таким образом, доказана теорема.

Теорема 3.8. Конституента нуля булевых переменных x1,x2,...,xn принимает значение 0 только на одном наборе значений этих переменных, именно, на том наборе, где xi = 0, если xi входит без отрицания, и xi = 1, если xi входит со знаком отрицания. На остальных наборах значений переменных x1,x2,...,xn конституента нуля принимает значение 1.

Пример. Пусть задана конституента нуля:

x1 x2 ... xn.

Очевидно, что эта конституента нуля принимает значение 0 на наборе (1,0,0,...,0) и значение 1 на остальных наборах.

Среди всевозможных элементарных произведений, которые можно составить из данных булевых переменных x1, x2,..., xn и их отрицаний, выделяют элементарные произведения, в которых каждая из переменных x1, x2,..., xn входит один и только один раз либо без знака отрицания, либо со знаком отрицания, т.е. элементарные произведения вида

где x'i (1<i<n) есть либо xi , либо xi .Элементарные произведения вида (3.13)

называются конституентой единицы.

Легко убедиться, что имеет место теорема.

Теорема 3.9. Конституента единицы булевых переменных x1,x2,...,xn принимает значение 1 только на одном наборе значений этих переменных, именно на том наборе, где xi = 1, если xi входит в (3.13) без отрицания, и xi = 0, если xi входит в (3.13) со знаком отрицания. На остальных наборах значений переменных x1,x2,...,xn конституента единицы принимает значение 0.