§ 3. Упрощения в записях формул

Введем некоторые соглашения о более экономном употреблении скобок в записях формул. Эти соглашения облегчат нам чтение сложных выражений.

Во-первых, будем опускать в формуле внешнюю пару скобок. (В случае одной переменной этой внешней пары скобок нет по определению.)

Во-вторых, если формула содержит вхождения только одной бинарной связки &, , или ≡, то для каждого вхождения этой связки опускаются внешние скобки у той из двух формул (соединяемых этим вхождением) которая стоит слева.

Пример. x y z x пишется вместо (((x y) z) x), а y y x (z x) пишется вместо (((y y) x) (z x)).

В-третьих, договоримся считать связки упорядоченными следующим образом: , &, , , ≡ и будем опускать во всякой формуле все те пары скобок, без которых возможно восстановление этой формы на основе следующего правила.

Каждое вхождение знака относится к наименьшей формуле, следующей за ним; после расстановки всех скобок, относящихся ко всем вхождениям знака , каждое вхождение знака & связывает наименьшие формулы, окружающие это вхождение; затем (т.е. после расстановки всех скобок, относящихся ко всем вхождениям знаков и &) каждое вхождение знака связывает наименьшие формулы, окружающие это вхождение, и аналогично для и ≡. При применении этого правила к одной и той же связке продвигаемся слева направо.

Пример. В упрощенной записи формулы x≡ x&y z t скобки восстанавливаются следующими шагами:

x≡( x)&y z ( t), x≡(( x)&y) z ( t), x≡(( x)&y) (z ( t)), x≡((( x)&y) (z ( t))),

(x≡((( x)&y) (z ( t)))).

Однако не всякая формула может быть записана без скобок. Например, нельзя опустить оставшиеся скобки в следующих случаях: x&(y z), x (y z), (x y).

Для операций +, и ↓ не указаны порядки их выполнения, поэтому последовательность их выполнения устанавливается с помощью скобок.

59

§ 4. Равносильность формул

Формулы А и В называются равносильными, если при каждой совокупности значений всех переменных, входящих в А и В, эти формулы принимают одинаковые значения.

Например, формула x y равносильна формуле x y, в чем легко убедиться с помощью таблиц истинности:

В этих таблицах результирующие столбцы совпадают, т.е. при одинаковых значениях переменных x и y значения формул x y и x y равны, следовательно, эти формулы равносильны. Далее, формула x x&y равносильна x. Действительно, имеем следующую таблицу:

Также, очевидно, x x равносильно y y.

При определении равносильности двух формул не обязательно предполагать, что они содержат одни и те же переменные.

Высказывание «А равносильно В» будем обозначать следующим образом: А ~ B.

Пусть А, В, C - произвольные формулы. Отношение равносильности формул, как легко видеть, обладает следующими свойствами:

-рефлексивностью: А ~ А;

-симметричностью: если А ~ В, то В ~ А;

-транзитивностью: если А ~ В и В ~ C, то А ~ C.

Следовательно, отношение равносильности является отношением эквивалентности на множестве формул и разбивает множество формул на непересекающиеся классы. В каждый из классов попадают равносильные между собой формулы.

Формула, тождественно равная единице, называется тавтологией.

60

Примером тавтологии является формула x x, в чем легко убедиться, составив таблицу истинности. Другие примеры тавтологий: x x, (x≡y)≡ (y≡x).

Формула, тождественно равная нулю, называется противоречием. Примеры противоречий: x& x, (x x), x≡ x.

Очевидно, что формула А является тавтологией тогда и только тогда, когда А есть противоречие.

Тавтологию будем обозначать через Т, а противоречие - через П. Легко доказать следующую теорему.

Теорема 3.1. Если А есть тавтология, содержащая переменные x1, x2,..., xn, и В получается из А подстановкой в А произвольных формул А1, А2,... Аn вместо переменных x1, x2,..., xn соответственно, то В есть тавтология, т.е. подстановка в тавтологию приводит к тавтологии.

Формула называется выполнимой, если она принимает значения 1 хотя бы для одной совокупности значений переменных, в нее входящих.

Например, x&y является выполнимой формулой, так как принимает значения 1, когда x=1 и y=1, а формула x& x не будет выполнимой, так как всегда равна нулю.

Очевидно, что формула А выполнима тогда и только тогда, когда А не является противоречием.

Докажем следующую теорему.

Теорема 3.2. Формулы А и В равносильны тогда и только тогда, когда А≡В является тавтологией.

Доказательство. Необходимость. Пусть А и В равносильны, следовательно, они при каждой совокупности значений всех переменных, входящих в них, принимают одинаковые значения, тогда по определению операции ≡ формула А≡В всегда принимает значение 1, т.е. является тавтологией.

Достаточность. Пусть А≡В тавтология, т.е. принимает всегда значение 1. Это означает, что А и В имеют всегда одинаковые значения, т.е. они равносильны. Теорема доказана.

§ 5. Важнейшие пары равносильных формул

Пусть x, y и z – булевы переменные, Т - тавтология и П - противоречие. Используя таблицу истинности, легко показать:

1) ( x) равносильно x.

61

Если под x понимать обозначение некоторого высказывания, то получаем, что двойное отрицание высказывания x означает то же, что и высказывание x.

Полученное соотношение между ( x) и x называют законом двойного отрицания.

Аналогичным образом можно показать, что имеют место следующие свойства, часто называемые законами.

12)x x ~ Т - закон исключенного третьего;

13)x& x ~ П - закон противоречия;

14)x&Т ~ А;

16)x&П ~ П;

17)x П ~ x;

18)x x&y ~ x;

) - законы поглощения;

19)x&(x y ~ x;

20)x y ~ y x - закон контропозиции.

Как уже замечено, соотношения 1) - 20) доказываются с помощью таблиц истинности.

Можно показать, что соотношения 1) - 20) будут иметь место и тогда, когда вместо переменных x, y и z будут подставлены произвольные формулы А, В и С соответственно.

Соотношения 1) - 20) позволяют находить для заданных формул равносильные упрощенные формулы или равносильные формулы, имеющие более удобный с некоторых позиций вид.

Из этих же соотношений видно, что над формулами можно производить преобразования: раскрытие скобок, заключение в скобки, вынесение за скобки общего множителя.

Из соотношений 2) - 6) видно, что операция & напоминает умножение (обладает некоторыми свойствами умножения), а - сложение, поэтому часто конъюнкцию называют (логическим) произведением, а дизъюнкцию - (логической) суммой.