48

По определению функции у=f(x1, х2, …, хn) образ каждого набора значений (x1, х2, …, хn) единственен. Поэтому в соотношении (2.2) полагается, что f является одноэлементным множеством. Если f является многоэлементным множеством, то f можно рассматривать как многозначное отображение.

Из изложенного следует, что матроид можно рассматривать как конечное множество Е, на котором задано конечное множество нульместных многозначных операций (подмножеств множества Е), удовлетворяющие аксиомам М1-М3. Таким образом, матроид является некоторым расширением понятия алгебры.

Существуют и другие определения матроидов, эквивалентные приведенному определению. Если ранее матроид вводился как конечное множество Е и семейство некоторых его подмножеств, называемых независимыми множествами, то в следующем определении элементы семейства подмножеств называются циклами.

Матроидом называется конечное множество Е и семейство С={C1,C2,C3,…,Cm} непустых подмножеств множества Е, называемых циклами, которые удовлетворяют следующим аксиомам:

М1*: ни одно собственное подмножество цикла не есть цикл; М2*: если х (С1∩С2), то (С1 С2)\{x} содержит цикл.

Отметим ещё раз, что последнее определение матроида эквивалентно определению, приведённому в начале этого параграфа.

§13. Вопросы и темы для самопроверки

1.Операции и предикаты.

2.Алгебраические системы. Модель. Алгебра. Тип алгебры.

3.Подалгебра. Пересечение подалгебр. Образует ли подалгебру объединение подалгебр?

4.Гомоморфизм (однотипных) алгебр. Примеры.

5.Изоморфизм (однотипных) алгебр. Примеры.

6.Является ли изоморфизм гомоморфизмом?

7.Группоид, полугруппа, моноид. Единственна ли единица моноида?

8.Группа. Определение, примеры. Единственность обратного элемента.

9.Разрешимость уравнений в группе.

10.Образующие элементы группы. Циклическая группа.

11.Кольцо. Определение, примеры. Делители нуля, области целостности.

12.Кольцо с единицей. Доказательство, что 0≠1 и что 0 не имеет мультипликативного обратного. Примеры колец с единицей.

13.Поле. Определение. Примеры.

14.Решётки. Ограниченные решётки.

15.Решётки с дополнением.

49

16.Частичный порядок в решётке. Примеры решёток.

17.Булевы алгебры.

18.Матроид, примеры матроидов.

Чтобы дойти до цели, надо, прежде всего, идти.

О. Бальзак

§ 14. Упражнения

Операции могут обладать следующими свойствами:

1)неограниченной применимостью: для x,y A результат xоy определен и xоy A;

2)коммутативностью: для x,y A: xоy=yоx и xоy A;

3)ассоциативностью: для x,y,z A: (xоy)оz=xо(yоz) и xо(yоz) A.

1.На множестве чисел {1,2,3,…,10} рассматривается сложение. Для каких пар элементов этого множества определен результат сложения?

2.Выяснить, какие из указанных свойств операции выполняются для следующих случаев задания множеств и операций на них:

1)множество всех натуральных чисел с операцией сложения;

2)множество всех натуральных чисел с операцией вычитания;

3)множество всех рациональных чисел с операцией деления;

4)множество всех непрерывных функций с операцией сложения функций;

5)множество всех непрерывных функций с операцией деления функций;

6)множество квадратных матриц действительных чисел с операцией умножения матриц.

3.Пусть N = {1,2,3,…}. Будет ли операция возведения в степень ху (х,у N) коммутативной и ассоциативной?

4.Пусть дано множество 2А всех подмножеств множества А с операциями объединения, пересечения и дополнения. Определить тип полученной алгебры.

5.Пусть задано множество квадратных матриц порядка n, в каждом столбце и каждой строке которых имеется не более чем один элемент, равный 1, а остальные нули. Образует ли это множество полугруппу по операции умножения матриц? Образует ли это множество моноид по операции умножения матриц?

6.Перечислить с точностью до изоморфизма все полугруппы, состоящие из двух элементов.

7.Пусть Z – множество всех целых чисел, Z* - множество всех четных

чисел. Изоморфны ли следующие алгебры:

а) А= Z;+ и В= Z*;+ ;

вещественное число. На M введена операция умножения матриц, т.е. имеем алгебру А= М;× . Пусть В – алгебра всех вещественных чисел с операцией сложения, т.е. В = (-∞,∞);+ . Доказать, что А и В изоморфны.

10. Пусть М - множество всех матриц порядка n, n>1, составленных из комплексных чисел и на М введена операция умножения матриц, т.е. имеем алгебру А= М; × . Положим, что В есть алгебра всех комплексных чисел с операцией умножения. Заданы отображения из А в В:

ϕ1(А)=detA;

ϕ2(А)=a11, a11 - первый элемент первой строки матрицы А;

ϕ3(А)=1.

Выяснить какие из этих отображений являются гомоморфизмами.

11. Пусть Р – множество всех не нулевых полиномов с комплекснозначными коэффициентами и на Р введено обычное умножение полиномов, т.е. имеем алгебру А= Р;× , где каждый элемент F из Р представим в виде:

F=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (a0≠0).

Положим, что К= C; × , здесь С- множество всех комплексных чисел. Заданы отображения из А в К:

1)ϕ1(F)=a0;

2)ϕ2(F)=ā0, где ā0 – комплексное число, сопряженное с a0;

3)ϕ3(F)=a0+а1+…+ аn;

4)ϕ4(F)=a0+аn;

5)ϕ5(F)= аn ;

6)ϕ6(F)=cn, где с (-∞,∞) и с≠0.

Выяснить, какие из этих отображений являются гомоморфизмами.

12.Дано множество {0,1,2,…,n-1} c операцией сложения по модулю n. Показать, что это группа.

13.Дано множество {0,1,2,…,n-1} с операцией умножения по модулю n. Выяснить, будет ли это группой.

14.Дано множество М всех квадратных матриц n-го порядка, составленных из комплексных чисел и на М введена операция умножения матриц. Выяснить, являются ли группами подмножества, состоящие из следующих матриц (с операцией умножения этих матриц):

1)вещественные матрицы из М;

2)неособенные матрицы из М;

53

2). Получим ли алгебру Буля, если под операциями , &, понимать соответственно теоретико-множественные операции дополнения, пересечения, объединения заданных интервалов?

30.Пусть M - совокупность всех подмножеств А множества целых положительных чисел (R+) таких, что либо А, либо дополнение множества А конечно. Выяснить, будет ли булевой алгеброй множество M, на котором введены обычные операции дополнения, пересечения и объединения множеств. Какие элементы из M играют роль выделенных элементов 0 и 1?

31.Пусть множество M состоит из трех элементов, обозначенных через 0,

1 и 2, т. е. M ={0,1,2}. Образует ли это множество, с выделенными элементами 0, 2 и введенными далее операциями, алгебру Буля?

числами а и b. На Р введём операции умножения и сложения матриц. Выяснить, получим ли поле.

числами а и b. На Р введём операции умножения и сложения матриц. Выяснить, получим ли поле.