44

1°x=a-1°b x=a-1°b.

§ 10. Решетки

Решетки иногда называют структурами. В решетках, как и в кольцах, имеются две операции, которые можно обозначать через + и ×, но так как одним из важнейших примеров решеток являются множества всех подмножеств с операциями объединения и пересечения, то для операций в решетках применяют обозначения и ∩.

Решетка – это множество М с двумя бинарными операциями и ∩, такими, что для a, b, c M выполнены следующие условия (аксиомы решетки):

Ограниченные решетки. Если в решетке 0 М, что для а: 0∩а=0,

то 0 называется нулем или нижней гранью решетки. Если в решетке 1 М, что для а: 1 а=1, то 1 называется единицей или верхней гранью решетки. Решетка с верхней и нижней гранями называется ограниченной.

Теорема 2.12. Если нижняя (верхняя) грань существует, то она единственна.

Доказательство. Пусть 0 и 0* - нули решетки. Тогда 0∩ 0*=0* и 0*∩ 0=0. Следовательно, 0=0*. Аналогично для 1.

Теорема 2.13. a∩b=b a b=a.

Доказательство. Пусть a∩b=b. Тогда a b=a (a∩b)= =(a a)∩(a b)=a∩(a b)=a.

( ): Пусть a b=a. Тогда: a∩b=(a b)∩b=b. Следствие 2.1. 0∩a=a 0 a=a, 1 a=1 1∩a=a.

Решетка с дополнением. В ограниченной решетке элемент а' называется дополнением элемента а, если а∩а' =0 и а а' =1.

46

2. Пусть V[a,b] множество всех вещественнозначных функций, определенных на отрезке [a,b]. Определим операции

ϕ(x)∩f(x)=min{f(x),ϕ(x)}; ϕ(x) f(x)=max{f(x),ϕ(x)}.

Эти операции удовлетворяют аксиомам решетки, следовательно, V[a,b]; , ∩ является решеткой. Здесь нет ни нижней, ни верхней грани, поэтому нет и дополнения элемента. Отношения частичного порядка f(x) ϕ(x) (f(x)∩ϕ(x)=f(x)) означает, что f(x) ≤ g(x) для всех x [a,b].

§ 11. Булевы алгебры

Дистрибутивная ограниченная решетка, в которой для каждого элемента существует дополнение, называется булевой алгеброй.

Свойства булевой алгебры:

1)a a=a, a∩a=a;

2)a b=b a, a∩b=b∩a;

3)a (b c)=(a b) c, a∩(b∩c)=(a∩b)∩c;

4)(a∩b) a=a, (a b)∩a=a; свойства 1) – 4) следуют из определения решетки;

5)a (b∩c)=(a b)∩(a c), a∩(b c)=(a∩b) (a∩c) - следуют из свойства дистрибутивности решетки;

6)a 1=1, a∩0=0 - следуют из свойств ограниченности решетки;

7)a 0=a, a∩1=a - по следствию из теоремы ограниченности;

8)a''=a - по теореме о свойствах дополнения;

9)(a∩b)'=a' b', (a b)'=a'∩b' - по теореме о свойствах дополнения;

10)a a'=1, a∩a'=0 - так как дополнение существует;

Пример булевой алгебры:

М ≠ , 2M, , ∩, – , здесь 1=2M, 0= , А В А В.

47

§ 12. Матроиды

Матроидом М= Е;Х называется конечное множество Е, Е = n, и семейство его подмножеств Х, Х 2Е, такое, что выполняются следующие

три аксиомы:

М1: Х;

М2: если А Х и В А, то В Х;

М3: если А,В Х и В = А +1, то е, е В\А, такой, что А {e} Х. Элементы множества Х называются независимыми, а остальные

элементы из 2Е – зависимыми множествами. Рассмотрим примеры матроидов.

1.Пусть Е – произвольное конечное множество, а Х = 2Е. Тогда М= Е;Х будет матроидом, ибо, как легко убедиться, выполняются

все аксиомы (условия) матроида. Такой матроид называется

свободным матроидом. Положим, что Е={a,b}, тогда Х = { , {a},

{b}, {a,b}}. Следовательно, М = {a,b}; { , {a}, {b}, {a,b}}

является свободным матроидом.

2.Пусть Е – множество линейно независимых векторов и Х = 2Е. Тогда, как легко видеть, М= Е;Х будет матроидом.

3.Пусть имеем граф G = (V,X). Положим Е = Х, а Y состоит из ациклических подграфов графа G. Пусть SG обозначает множество

всех ациклических подграфов графа G. Можно проверить, что для М = Х;SG все условия (аксиомы М1-М3) выполняются.

Следовательно, М = Х;SG является матроидом. Выясним, каким образом матроиды связаны с алгебрами.

Пусть задана функция аргументы и значения которой принадлежат множеству А.

График одноаргументной функции у=f(x) (х А, у А) является

подмножеством декартового произведения А А, т. е.: f А А.

Для двухаргументной функции у=f(x1,х2) (x1 А,х2 А, у А) получим, что отношение (функция) f является подмножеством декартового

произведения А А А, т. е.:

f А А А.

Очевидно, что для n аргументной функции у=f(x1,х2,…, хn) (x1 А,

х2 А,…, хn А, у А) имеем:

f А А … А.

(n+1) раз

Для функции константы f (число аргументов равно нулю), очевидно имеем: