
Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki
.pdf
Краткий курс школьной математики |
391 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис.4а |
рис.4б |
рис.5а |
рис.5б |
Решение задач.
Задание 1. Правильная четырехугольная пирамида вписана в шар радиуса R , боковые ребра пирамиды составляет с плоскостью основания угол ϕ . Найти объем пирамиды.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Центр O шара, описанного |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
около |
пирамиды |
SABCD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ABCD - квадрат, K - центр |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
основания) лежит на пересечении |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
высоты SK пирамиды и середин- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ного перпендикуляра |
LO к боко- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вому ребру. То есть |
LO SC и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SL = LC . |
SCK - угол бокового |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ребра SC |
с плоскостью основа- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния, так как KC = Пр( ABC ) (SC ) . |
||
2) |
V |
= |
1 |
|
S |
|
|
|
SK . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
пир. |
3 |
|
|
|
осн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
Из SOL : SO = R, SOL = SCK = ϕ , тогда SL = R sin ϕ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
Из SKC : SC = 2SL = 2R sin ϕ, KC = SC cosϕ = 2R sin ϕ cosϕ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= R sin 2ϕ, SK = SC sin ϕ = 2R sin 2 ϕ . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
KC - радиус описанной около квадрата ABCD окружности, следо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
вательно, |
AB = KC 2 = R 2 sin 2ϕ . |
|
|

392 В.А.Битнер
6) V |
= |
1 |
AB2 SK = |
1 |
2R2 sin 2 |
2ϕ 2R sin 2 ϕ = |
4 |
R3 sin 2 ϕ sin 2 2ϕ |
|
|
|
||||||
пир. |
3 |
3 |
|
3 |
|
|||
|
|
|
(куб.ед.).
Ответ: 4 R3 sin 2 ϕ sin 2 2ϕ куб.ед. 3
u1 Легко доказать, что центр шара, описанного около пирамиды, около основания которой можно описать окружность, лежит на пересечении высоты пирамиды и серединных перпендикуляров к боковым ребрам пирамиды. Это следует из того, что любая точка, взятая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов отрезка.
Задание 2. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды составляет с высотой пирамиды угол β . Найти площадь поверхности описанного около пирамиды шара, если сторона основания пирамиды a .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) По определению правильной пирамиды, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABC - правильный; SK - высота пирами- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ды, где K - центр основания. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Центр O описанного около пирамиды |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шара лежит на пересечении высоты пирами- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ды и серединного перпендикуляра к боково- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
му ребру |
SC , то есть O = SK ∩ LO , где |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LO SC, SL = LC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
KC |
- |
радиус |
описанной |
около ABC |
||||||||||||||||||||||
|
|
окружности, следовательно, KC = |
AB |
|
|
= |
|
|
a |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
|
Из SKC : SC = |
|
KC |
|
= |
|
|
|
a |
|
, SL = |
SC |
= |
|
|
|
|
a |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 sin β |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
3 sin β |
|
|||||||||||||||||||||
5) |
|
Из SOL : SO = |
|
|
|
SL |
|
= |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
a |
- радиус опи- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 sin β cos β |
|
|
3 sin 2β |
|
санного шара.


394 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В.А.Битнер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 ctg |
2 ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
4r |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
||||||||||||||||
|
|
|
= S ABC |
= |
|
|
|
= |
|
2 |
|
= |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
Sосн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3r |
|
|
3 ctg |
|
|
|
, тогда |
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ϕ |
|
2 ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6r |
|
|
|
3 ctg |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
S |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
(кв.ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
полн.пир. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
ϕ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7) |
V |
|
= |
|
3r |
|
3 ctg |
|
|
|
|
|
|
r ctg |
|
tgϕ = r |
3 ctg |
|
|
|
|
|
tgϕ (куб.ед.). |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
пир. |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ϕ |
|
|
|
|
2 ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
6r |
|
3 ctg |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
кв.ед., |
r 3 |
|
|
ctg3 |
tg ϕ куб.ед. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2 Центр шара, вписанного в пирамиду, в основание которой можно вписать окружность, лежит на пересечении высоты пирамиды и биссекторных плоскостей двугранных углов при основании, то есть на пересечении высоты пирамиды и биссектрис линейных углов двугранных углов при основании. Это следует из того, что любая точка, взятая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон угла.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 4. Основание |
пирамиды – |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ромб со стороной a и острым углом |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α , каждый из двугранных углов при |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
основании равен β . Найти объем ша- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ра, вписанного в пирамиду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
1) Центр O шара вписанного в пира- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
миду SABCD лежит на пересечении |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
высоты SK и биссекторной плоскости |
||
двугранного угла |
|
BC . То есть O = SK ∩ LO , где SK - |
высота пи- |
|||||||||||||||||||||||||||||
рамиды, K = AC ∩ BD - центр окружности, описанной около ромба |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ABCD . SLK |
- |
|
|
линейный двугранного угла |
BC |
(провели |
||||||||||||||||||||||||||
KL BC , тогда SL BC по t о 3 ). |
|
|

Краткий курс школьной математики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
395 |
||||||||||||
2) |
Проведем |
|
BN AD ( BN || KL, BN = 2KL) , |
|
тогда |
из |
ABN |
||||||||||||||||||
|
BN = a sin α , откуда KL = BN = a sin α . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
a sin α tg β |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
Из OKL : OK = KL tg |
= |
|
|
|
|
2 |
|
- радиус вписанного в пира- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
миду шара. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
|
= |
4 |
|
3 |
= |
4 |
π |
1 |
|
3 |
sin |
3 |
α tg |
3 β |
= |
1 |
3 |
sin |
3 |
α tg |
3 |
β |
|
|
V |
|
π OK |
|
|
a |
|
|
|
π a |
|
|
(куб.ед.). |
|||||||||||||
|
ш. |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: |
1 |
|
|
|
α tg |
β |
3 |
куб.ед. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
π a sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 5. Шар вписан в прямую |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
призму, основание которой – прямо- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угольный треугольник с катетом a и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
противолежащим углом α . Найдите |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
объем шара. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) K и K1 |
- центры окружностей, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вписанных в основания прямой приз- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мы, где K и K1 - точки пересечения |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
биссектрис нижнего и верхнего осно- |
|||||||||||
|
ваний. KK1 - высота призмы, |
диаметр вписанного шара. Проведем |
|||||||||||||||||||||||
|
OM (BCC1 ) , |
то есть OM LL1 , |
где |
LL1 || CC1 . OM = LK = OK - |
|||||||||||||||||||||
|
радиусы вписанного шара. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2) |
LK - радиус вписанной в прямоугольный ABC окружности, тогда |
||||||||||||||||||||||||
|
LK = BC + AC − AB , где BC = a, AC = a ctg α , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + a ctg α |
− |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
AB = |
|
a |
, LK = |
|
|
|
|
|
|
sin α = a (sin α + cosα −1) = |
|
|||||||||||||
|
|
|
sin α |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 sin α |
|
|
|

396 В.А.Битнер
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a sin |
α |
|
cos |
α |
− sin |
α |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α α |
− 2 sin |
2 α |
|
= |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 sin α |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin α |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
+ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 cos |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
α |
|
π |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α π |
|
|
π a |
|
|
2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
3) |
Vш. |
= |
|
π LK |
= |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
2 cos |
3 α |
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
3 cos |
3 a |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(куб.ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
π a |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
α |
+ |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
куб.ед. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 cos3 a
2
Задание 6. Высота правильного тетраэдра равна H . Найти радиус описанного шара.
Решение.
1) По определению правильного тетраэдра, все его грани – равные правильные треугольники.
2) n KC = x - радиус описанной около
ABC окружности, тогда AB = x3 = SC .
3)Из SKC по t Пифагора
KC 2 + SK 2 = SC 2 x2 + H 2 = 3x2 , 2 x2 |
= H 2 , x = |
H |
|
= KC , тогда |
||||||
|
|
|
||||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SC = H |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) O = SK ∩ LO - центр описанного |
около тетраэдра шара, где |
LO SC, SL = LC . SO - искомый радиус описанного шара.


398 В.А.Битнер
Примечание: задачу можно было решить другим способом – через тан-
генсы углов SLK и OLK с применением формулы tg α . 2
Задачи для самостоятельного решения.
Задание 8. Дан шар радиуса R . Найдите радиус основания вписанного цилиндра, высота которого равна радиусу шара.
Задание 9. В конус с углом ϕ между образующей и плоскостью основания вписан шар. Найдите отношение объема конуса к объему шара.
Задание 10. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно a , двугранный угол при основании равен α . Найдите Sполн.пир. .
Задание 11. Шар вписан в правильную треугольную призму. Найдите объем призмы, если радиус шара равен R .
Задание 12. Правильная четырехугольная пирамида вписана в сферу. Найдите объем пирамиды, если радиус сферы равен 12 см., а радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен 6 см.
Задание 13. Площадь поверхности шара, вписанного в конус, равна площади основания конуса. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.
Задание 14. Сфера вписана в усеченный конус, радиусы оснований которого равны R и r . Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности усеченного конуса.
Задание 15. Радиус шара, описанного около правильного тетраэдра, равен R . Найти объем тетраэдра.
Задание 16. Радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр, равен r . Найти Sполн. тетраэдра.

Краткий курс школьной математики |
|
|
|
|
|
|
|
399 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ϕ |
|||
|
|
R 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||
Задание 8. |
|
|
|
|
ед. |
|
|
|
Задание 9. |
|
|
|
ctg |
|
|
|
tg ϕ . |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
sin 2α ctg |
3 |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задание 10. |
2a |
|
|
кв.ед. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 11. |
6R3 |
|
|
|
|
|
куб.ед. Задание 12. |
|
≈ 537 см3 или ≈ 38, 6 см3 . |
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Указание: рассмотреть 2 случая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задание 13. |
2 arctg |
1 |
≈ 530 08′ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4Rr |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задание 14. |
|
|
. Задание 15. |
8R |
куб.ед. |
|||||||||||||||||||
|
( R + r )2 |
|
27 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задание 16. 24r |
2 3 |
|
|
кв.ед. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема VIII. Решение задач вступительных экзаменов и вступительных тестов по математике различ- ных вузов России.
Задачи вариантов вступительных экзаменов по математике ТУСУР, ТГУ, ТПИ, ОГУ, магнитогорских и некоторых москов- ских вузов.
Задание 1. В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 100, а основание 60, вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах.

400 |
В.А.Битнер |
|
|
Решение.
1) Центр O вписанной в ABC окружности лежит на пересечении биссектрис, то есть
O = AO ∩ BD ( BD AC, AD = CD) .
2) По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки CL = CD = 30 , где K , L - точки касания.
3) BKL ABC (по 1 признаку подобия),
BL = 100 − 30 = 70 , |
BL |
= |
KL |
KL = |
BL AC |
= |
70 60 |
= 42 (ед.) |
|
|
|
|
|||||
|
BC AC |
|
BC |
100 |
|
Ответ: 42 ед.
Задание 2. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой длины оснований равны 7 и 25, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
|
B |
|
7 |
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Проведем BK AD |
и CL AD , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
LD = AK = |
25 − 7 |
= 9 , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
2 |
|
||
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
K |
|
|
L |
|
AL = 7 + 9 = 16 . |
|
||||||||
2) |
Из метрических |
|
|
соотношений |
в прямоугольном |
треугольнике |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CL = |
|
AL LD = |
16 9 = 12 . |
|
|
|
||||||||
3) |
Sтрап. |
= |
AD + BC |
CL = |
25 + 7 |
12 6 |
= 192 (кв.ед.). |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Ответ: 192 кв.ед.
Задание 3. В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3 :1 (считая от вершины). Найти отношение боковой стороны к основанию.
Решение.