Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

1)n CD = p, CB = q, CS = r, SA = SB = SC = SD = AB = a .

2)SAB - равносторонний (по условию)

(SA, AB) = 1800 − SAB = 1800 − 600 = 1200 .

3)Аналогично, (SA, BS ) = 1200 .

4)(SA, SC ) = ASC = 1800 − 2 SCA , где SCA = (CA, CS ) = ϕ .

рис.20

t 13 e две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны. – см. рис.22.

t 14 e две плоскости перпендикулярны прямой, то они параллельны. – см. рис.23.

(11)Расстояние от точки до плоскости. Угол между наклонной и плоскости.

t 15 Расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от этой точки до ее проекции на данную плоскость. – см. рис.24.

o 4 Углом между наклонной и плоскостью называют угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. – см. рис.24.

1)AO α , то есть O = Прα ( A) , то-

гда AO - расстояние от тч. A до плоскости α . Обозначают AO . e A α ,

то AA = 0 .

2) BO = Прα ( AB) , тогда ABO - угол

прямой AB с плоскостью α . Обозна-

чают: (( AB) ,α ) или (a,α ) .

рис.24

(12)Теорема о трех перпендикулярах.

t 16 e прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. – см.

рис.25.

t 17 e прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной. – см.

рис.25.

346 В.А.Битнер

Обозначается двугранный угол: α aβ или α ABβ , или AB , или

a .

Полуплоскости α и β называются гранями двугранного угла, а прямая a - его ребром. Двугранный угол может быть выпуклым и невыпуклым. Выпуклые двугранные углы могут быть прямыми, острыми, тупыми, развернутыми, смежными и вертикальными.

рис.27

Через произвольную точку O ребра a двугранного угла α aβ проведем плоскость γ , перпендикулярную a . Получим плоский угол MON : MON = γ ∩ α aβ . Величина MON не зависит от выбора точки O на ребре двугранного угла. То есть M1O1 N1 = MON , где

O1 a, O1M1 a, O1M1 α , O1 N1 a, O1 N1 β (O1M || OM , O1 N1 || ON ) -

см. рис.27.

o 7 Пересечение двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру, называют линейным углом двугранного угла.

o 8 Величиной двугранного угла называют величину его линейного угла.

Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0; 360) .

o 9 Углом между двумя пересекающимися плоскостями называют наименьший из двугранных углов, заданных плоскостями.

Обозначается (α ; β ) = ϕ , где 00 ≤ ϕ ≤ 900 .

(15)Понятие о многогранном угле. Трехгранный угол.

o 10 n дана простая замкнутая плоская ломаная линия ABC...EA и точка S , не принадлежащая ее плоскости. Объединение лучей, имеющих общее начало S и пересекающих данную ломаную, а также одной из образующихся при этом двух пространственных областей называется многогранным углом. – см. рис.28.

Точку S называют вершиной многогранного угла, лучи SA, SB, SC, ..., SE его ребрами, плоские углы ASB, BSC, ...BSE - его гранями. В зависимости от числа граней различают трехгранные, четырехгранные и т.д. углы. Многогранный угол, изображенный на рис.28, обозначают SAB...E . Трехгранный угол (рис.29) обладает замечательными свойствами: в каждом трехгранном угле:

есть ASB + BSC + ASC < 3600 .

2) Каждый плоский угол меньше суммы

(16)Признак перпендикулярности двух плоскостей.

o 11 Две плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямые двугранные углы.

t 18 e плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. – см. рис.30.

То есть eb β , b α , то β α .

рис.30

t 19 e две плоскости перпендикулярны, и к одной из них проведен перпендикуляр, имеющий общую точку с другой плоскостью, то он весь лежит в этой плоскости. – см. рис.30.

То есть eb α , β α , B b, B β , то b β .

t 20 e две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости.

Тема III. Многогранники.

(1)Призма.

o 1 Многогранник, две грани которого равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммы, называется призмой. – см. рис.1.

ответственно нижнее и верхнее основание,

Призмы бывают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д.

o 2 e боковое ребро призмы плоскости основания, то призма называется прямой (см. рис.2), остальные призмы – наклонные

(см. рис.1).

o 3 Прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, называется правильной (см. рис.2).

ной призмы. Это может быть и изображением правильной треугольной призмы ( e ABC - изображение правильного треугольника, при-

чем, AA ( ABC ) ).

1

рис.2

o 4 e в основании призмы лежит параллелограмм, то она называется параллелепипедом. Различают прямые и наклонные параллелепипеды (см. рис.3 и 4).

o 5 Прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

че: AC1 ;

MK1 - прямой параллелепипед, также может быть изображен и прямо-

угольный параллелепипед.

(2)Пирамида.

o 6 Многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называется пирамидой. – см. рис.5.

Пирамиды бывают треугольные (такая пирамида называется тетраэдром), четырехугольные, пятиугольные и т.д.

SABCDE - пятиугольная пирамида, S - ее вершина, ABCDE - основание; SAB, SBC,..., SAE - боковые грани; SA, SB,..., SE - боковые реб-

ра; SO ( ABC ) , SO - высота пира-

миды.

рис.5

o 7 Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания, называется правильной (см. рис.6 и 7).

o 8 Часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усеченной пирамидой.