Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

.pdf

Скачиваний:

105

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4225 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики	241

lg xlg x −1			= lg100 . По	формуле логарифма		степени		имеем
(lg x − 1) lg x = 2 lg2				x − lg x − 2 = 0, (lg x)	= −1,	(lg x)	= 2 ,	отку-
					1		2
да x	1	= 10−1 = 0,1; x = 102 = 100 .
	1		2
Ответ: { 0,1;100} .
p 11 log2 (2x			+1) log2 (2x +1 + 2) = 2 .

Решение:

Перепишем уравнение в виде: log2 (2x + 1) log2 (2 (2x +1)) − 2 = 0 .

Применим формулу логарифма произведения, получим log (2x +1)(1 + log2 (2x +1)) − 2 = 0

log 2 (2x +1) + log

(2x

+1) − 2 = 0 - квадратное уравнение

относительно log2 (2x + 1) , по t Виета

(log x

(2x +1)) = −2, (log2 (2x +1)) = 1 , откуда

2x +1 = 2−2 =

, 2x

= −

- не удовлетворяет E (a x ) и

2x +1 = 2 2x = 1, x = 0 .

Ответ: {0} .

p 12

log 1

5x − 2

≥ 0 . Решение:

3 − x

По свойству знаков логарифмической функции имеем:

5x − 2		> 0	5x − 2		< 0			(5x − 2) ( x − 3) < 0
3 −	x		x	− 3

								(6x − 5) ( x − 3) > 0
5x − 2		≤ 1	5x − 2		− 3	+ x	< 0		x ≠ 3
3 − x				3 − x

0, 4	3
	5
	6
	3

242	В.А.Битнер

p 13

p 14

Ответ: 0, 4;				5	.
Ответ: 0, 4;					.
				6
2	2		2		1
2 −log2 x −log	2	x	−				> 0 - неравенства такого вида называются по-
x			−			x	> 0 - неравенства такого вида называются по-
						x
казательно – логарифмическими.
Решение:

1. Заметим, что x > 0, x ≠ 1, и перепишем неравенство в виде:

x2 −log22 x − 2 log2 x > x−1 .

2.Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 2 > 1 - функция возрастает, получим

log

2 −log

2 x −2 log2 x

> log

−1

2 x

(2 − log

x − 2 log

x) log

x > − log

x ,

log2 x (log2 2 x + 2 log2 x − 3) < 0

log2 x (log2 x −1)(log2 x + 3) < 0

Решим это неравенство методом интервалов. log2 x < −3, 0 < log2 x < 1, отсюда имеем

log2 x < log2						1	, log2 1 < log	2 x < log	2 2, a = 2 > 1 - логарифмиче-
					8

ская функция монотонно возрастает, отсюда
0 < x <			1	,1 < x < 2 .

	8
Ответ:	0;	1			(1; 2) .

	8

9xlg x + 91x− lg x = 60 .

Решение:

1. Заметим, что x > 0, x ≠ 1, и введем замену xlg x = z , тогда

Краткий курс школьной математики	243

9z + 91 − 60 = 0,

		z
имеем 9z	2 − 60z + 91 = 0,								D	= 81, z		=	30 ± 9	,
имеем 9z	2 − 60z + 91 = 0,									= 81, z		=		,
							4			1,2		9
							4					9
z	=	39	=	13	; z		=	21		=	7
z	=		=		; z	2	=			=
1	9		3			2	9			3
	9		3				9			3

2.Имеем:

a)xlg x = 13 , прологарифмируем обе части этого уравнения

по основанию 10, получим

lg2

x = lg

, lg x = ±

, x

= 10

3 ;

1,2

lg x

± lg

= lg

, lg x = ±

x3,4 = 10

Ответ: 10

3 ;10

3 .

p 15 Решить систему уравнений

3−lg(x − y)

= 250

26 − y .

x + y +

x + y =

x − y

Решение:

1. Из D (lg) и D () , и E () и с учетом знаменателя имеем

x − y > 0	x > y

x + y ≥ 0	x ≥ − y	(1)

26 − y > 0	y < 26

2. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством в


первом уравнении системы, тогда имеем		103		= 250 , от-
первом уравнении системы, тогда имеем	10		lg( x − y )	= 250 , от-
	10

куда x − y = 4 , подставим это значение во второе уравнение

			+	1			=	26	−	y	,
системы, тогда получим из него		4				x + y


		2			4

	x + y = 22 − y , откуда y ≤ 22				(2)

244					В.А.Битнер

3. Получили систему уравнений
	− y)	2
x + y = (22	− y)
−
x − y = 4


2 y = 484 − 44 y + y			2 − 4
y2 − 46 y + 480 = 0,				D	= 232 − 480 = 529 − 480 = 49,
y2 − 46 y + 480 = 0,					= 232 − 480 = 529 − 480 = 49,
			4
y1 = 23 − 7 = 16, y2			= 23 + 7 = 30 - не удовлетворяет условиям

(1) и (2), тогда x = y + 4 = 16 + 4 = 20 .

Ответ: {(20;16)} .

Упражнения для самостоятельного решения.

Решить логарифмические и показательно – логарифмические уравнения и неравенства.

lg (x2 − x + 8) ≥ 1 ;

2log3 x2 5log3 x = 400 ;

3x − 4

log3 5 − x > 0 ;

log2 ( x −1) − log2 (x2 − x −16) = 0 ; log6 (x2 − 4) ≤ log6 (2x + 4) ;

log4 ( x +12) log x 2 = 1;

4 + log	2	(4x −2		+1) < log			2	1 + log	2	2x ;
	2						2		2
log3 x + log				x + log 1		x = 6 ;
log3 x + log			3	x + log 1		x = 6 ;

					3

p 9	xlg x −1	= 100 ;
	0,1	= 100 ;
p 10	lg 2 + lg (4x −2 + 9) < 1 + lg (2x − 2 + 1) ;
p 11	lg ( x − 4) − lg (24 − x) > 2 − lg 5 ;
p 12			2	− 2x
	log0,5 log8		x	− 2x	< 0 ;
	log0,5 log8				< 0 ;
			x − 3

Краткий курс школьной математики

245

p 13

lg2 2 x + lg2 3x = lg2 2 + lg 3 ;

p 14

x1+lg x < 0,1−2 ;

p 15

log x

2 + log2 x = 2, 5 .

Ответы:

p 1

(−∞; −1] [2; +∞) ;

p 2

{ 9} ;

p 3

; 5 ;

p 4

{5} ;

p 5

(2; 4] ;

p 6

{ 4} ;

p 7

(0; 4) ;

p 8

{ 27} ;

p 9

{0,1;1000} ;

p 10

(2; 4) ;

p 11

;

; 24

p 12

(3; 4) (6; +∞) .

Указание.

Из свойства знаков логарифмической функции и D (log) име-

2 − 2x

> 1

log8

x − 3

ем: a = 0, 5 <

2 − 2 x

> 0

x − 3

p 13

p 14

(0, 01;10) ;

p 15

{

2; 4} .

;1 ;

Различные интересные графики, связанные с показатель- ной и логарифмической функциями.

Построить графики функций:
p 1	y = 2	x	2
			- этот график легко построить по точкам, с учетом, что

функция четная,

x2 ≥ 0 y ≥ 20 = 1 . См. рис. 1

246

В.А.Битнер

				рис.1
p 2	1					= 1
p 2	y = 2 x . Сначала построим график функции y						- вспомога-
	y = 2 x . Сначала построим график функции y						- вспомога-
					1	x
						x
	тельный и с учетом его легко построить искомый график. Кро-
	ме того x ≠ 0, y ≠ 1. См. рис. 2 и 3.
			рис.2		рис.3
p 3		x	2
		x

	y = 2	x	. Преобразуем функцию с учетом, что			x2	= x . Имеем
	x		2, e x>0
	y = 2 x		=	1
				, e x < 0
				2
	См. рис. 4

Краткий курс школьной математики

247

рис. 4

p 4

y = 2sin x . Сначала построим график функции

y1 = sin x

и заме-

тим, что sin

x ≤

(

)

−1

См. рис. 5

и 6.

; 2

; 2 .

рис.5

	рис. 6
p 5	y = 2ctg 2 . См. рис. 7 и рис. 8.

248	В.А.Битнер

рис. 7

			рис. 8
p 6	y = xlog x 2 . Воспользуемся основным логарифмическим тожде-
	ством	и	определением	логарифма,	тогда	имеем
	y = 2, x > 0, x ≠ 1 . См. рис. 9.

рис. 9

Краткий курс школьной математики

249

p 7

y = log2 (1 − x) . Заметим, что 1 − x > 0, x < 1 .

f (0) = 0, f (−1) = 1

и т.д. См. рис. 10.

	рис. 10
p 8	y = log2 sin x . Так как	D (log) = R , то			sin x > 0 ,	то есть
	2π n < x < π + 2π n, n Z .	Сначала строим			график	функции

	y1 = sin x . Далее заметим, что		sin x	< 1, имеем 0 < sin x ≤ 1, то-

гда по свойству знаков логарифмической функции с учетом, что a > 1 имеем y < 0 . См. рис. 11 и рис. 12.

250								В.А.Битнер

p 9		ln		x
p 9				x
y =					.		Воспользуемся определением модуля, имеем


		ln x
			ln x			, eln x > 0
						, eln x > 0
y = ln x							= 1, e x > 1	. См. рис. 13.
	−			ln x			, eln x < 0 −1, e0 < x < 1
	−						, eln x < 0 −1, e0 < x < 1
				ln x

		1
		0	1
		рис. 13
p 10	y = log2	x − 2 . Одз x ≠ 2, f (1) = f (3) = 0, f (0)		= 1 . См. рис. 14.
		рис. 14
Упражнения для самостоятельного решения.

p 1	1			p 2 y = 2cos x ;	p 3 y = 2tg x ;
		x2
y = 2			;

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4225 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.2019173.57 Кб4Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
01.03.202595.23 Кб0bilety_os_1.doc
#
01.07.2025188.81 Кб0Bilety_po_literature.docx
#
01.05.202521.22 Кб0BILET_mezhdistsiplinarnogo_ekzamena.docx
#
19.09.2019507.9 Кб12Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб105Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб5breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб11Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб10Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc