Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

.pdf
Скачиваний:
101
Добавлен:
12.03.2015
Размер:
6.54 Mб
Скачать

Краткий курс школьной математики

241

 

 

lg xlg x −1

= lg100 . По

формуле логарифма

степени

имеем

(lg x − 1) lg x = 2 lg2

x − lg x − 2 = 0, (lg x)

= −1,

(lg x)

= 2 ,

отку-

 

 

 

 

 

1

 

2

 

да x

1

= 10−1 = 0,1; x = 102 = 100 .

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Ответ: { 0,1;100} .

 

 

 

 

 

p 11 log2 (2x

+1) log2 (2x +1 + 2) = 2 .

 

 

 

 

Решение:

Перепишем уравнение в виде: log2 (2x + 1) log2 (2 (2x +1)) − 2 = 0 .

Применим формулу логарифма произведения, получим log (2x +1)(1 + log2 (2x +1)) − 2 = 0

 

log 2 (2x +1) + log

2

(2x

+1) − 2 = 0 - квадратное уравнение

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

относительно log2 (2x + 1) , по t Виета

 

(log x

(2x +1)) = −2, (log2 (2x +1)) = 1 , откуда

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

2x +1 = 2−2 =

1

, 2x

= −

3

- не удовлетворяет E (a x ) и

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

2x +1 = 2 2x = 1, x = 0 .

 

 

Ответ: {0} .

 

 

 

 

 

 

p 12

log 1

5x − 2

≥ 0 . Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

3 − x

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По свойству знаков логарифмической функции имеем:

 

5x − 2

> 0

 

5x − 2

< 0

 

(5x − 2) ( x − 3) < 0

 

3 −

x

 

x

− 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6x − 5) ( x − 3) > 0

 

5x − 2

≤ 1

 

5x − 2

− 3

+ x

< 0

 

x ≠ 3

 

3 − x

 

 

3 − x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, 4

3

 

5

 

6

 

3

242

В.А.Битнер

 

 

p 13

p 14

Ответ: 0, 4;

5

.

 

 

 

 

 

 

 

6

 

2

2

 

2

 

1

 

 

2 −log2 x −log

x

 

 

 

> 0 - неравенства такого вида называются по-

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

казательно – логарифмическими.

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Заметим, что x > 0, x ≠ 1, и перепишем неравенство в виде:

x2 −log22 x − 2 log2 x > x−1 .

2.Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 2 > 1 - функция возрастает, получим

log

2 −log

2

2 x −2 log2 x

> log

 

−1

,

 

 

2 x

 

 

 

2 x

 

 

 

(2 − log

2

x − 2 log

2

x) log

2

x > − log

2

x ,

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

log2 x (log2 2 x + 2 log2 x − 3) < 0

log2 x (log2 x −1)(log2 x + 3) < 0

Решим это неравенство методом интервалов. log2 x < −3, 0 < log2 x < 1, отсюда имеем

log2 x < log2

 

1

, log2 1 < log

2 x < log

2 2, a = 2 > 1 - логарифмиче-

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ская функция монотонно возрастает, отсюда

0 < x <

1

,1 < x < 2 .

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

Ответ:

0;

1

 

(1; 2) .

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

9xlg x + 91x− lg x = 60 .

Решение:

1. Заметим, что x > 0, x ≠ 1, и введем замену xlg x = z , тогда

Краткий курс школьной математики

243

 

 

9z + 91 − 60 = 0,

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеем 9z

2 − 60z + 91 = 0,

D

 

= 81, z

=

30 ± 9

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

1,2

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

=

39

=

13

; z

 

=

21

=

7

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

9

3

 

9

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Имеем:

a)xlg x = 13 , прологарифмируем обе части этого уравнения

3

по основанию 10, получим

 

lg2

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

±

 

lg

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = lg

 

 

, lg x = ±

lg

 

, x

= 10

 

 

3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lg x

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

7

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

± lg

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

=

 

 

lg

= lg

 

 

, lg x = ±

 

lg

 

 

,

x3,4 = 10

3

x

3

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

±

 

lg

 

 

 

±

 

lg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 10

3 ;10

 

 

3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 15 Решить систему уравнений

 

 

3−lg(x y)

= 250

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

26 − y .

x + y +

x + y =

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

1. Из D (lg) и D () , и E () и с учетом знаменателя имеем

x y > 0

x > y

 

 

 

 

x + y ≥ 0

x ≥ − y

(1)

 

 

 

26 − y > 0

y < 26

 

2. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством в

первом уравнении системы, тогда имеем

 

103

= 250 , от-

10

lg( x y )

 

 

 

куда x y = 4 , подставим это значение во второе уравнение

 

 

 

 

+

1

 

 

=

26

y

,

системы, тогда получим из него

4

x + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y = 22 − y , откуда y ≤ 22

 

 

 

(2)

244

 

 

 

 

 

В.А.Битнер

 

 

 

 

 

3. Получили систему уравнений

 

y)

2

 

 

 

x + y = (22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y = 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y = 484 − 44 y + y

2 − 4

y2 − 46 y + 480 = 0,

D

= 232 − 480 = 529 − 480 = 49,

 

 

 

 

 

4

 

y1 = 23 − 7 = 16, y2

= 23 + 7 = 30 - не удовлетворяет условиям

(1) и (2), тогда x = y + 4 = 16 + 4 = 20 .

Ответ: {(20;16)} .

Упражнения для самостоятельного решения.

Решить логарифмические и показательно – логарифмические уравнения и неравенства.

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7

p8

lg (x2 x + 8) ≥ 1 ;

2log3 x2 5log3 x = 400 ;

3x − 4

log3 5 − x > 0 ;

log2 ( x −1) − log2 (x2 x −16) = 0 ; log6 (x2 − 4) ≤ log6 (2x + 4) ;

log4 ( x +12) log x 2 = 1;

4 + log

2

(4x −2

+1) < log

2

1 + log

2

2x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log3 x + log

 

x + log 1

x = 6 ;

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

p 9

xlg x −1

= 100 ;

 

 

0,1

 

p 10

lg 2 + lg (4x −2 + 9) < 1 + lg (2x − 2 + 1) ;

p 11

lg ( x − 4) − lg (24 − x) > 2 − lg 5 ;

p 12

 

 

2

− 2x

 

 

log0,5 log8

x

< 0 ;

 

 

 

 

 

 

x − 3

Краткий курс школьной математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

245

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 13

lg2 2 x + lg2 3x = lg2 2 + lg 3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 14

x1+lg x < 0,1−2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 15

log x

2 + log2 x = 2, 5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

(−∞; −1] [2; +∞) ;

p 2

{ 9} ;

 

 

 

p 3

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; 5 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

p 4

{5} ;

 

p 5

(2; 4] ;

 

 

p 6

{ 4} ;

p 7

(0; 4) ;

p 8

{ 27} ;

 

 

p 9

{0,1;1000} ;

p 10

(2; 4) ;

p 11

 

1

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

; 24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

p 12

(3; 4) (6; +∞) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Указание.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из свойства знаков логарифмической функции и D (log) име-

 

 

 

 

 

 

 

x

2 − 2x

> 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ем: a = 0, 5 <

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2 − 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

> 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 13

 

 

 

 

p 14

(0, 01;10) ;

 

p 15

{

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2; 4} .

 

 

 

;1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Различные интересные графики, связанные с показатель- ной и логарифмической функциями.

Построить графики функций:

p 1

y = 2

x

2

 

- этот график легко построить по точкам, с учетом, что

 

 

функция четная,

x2 ≥ 0 y ≥ 20 = 1 . См. рис. 1

246

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В.А.Битнер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис.1

 

 

 

p 2

1

 

 

 

 

= 1

 

y = 2 x . Сначала построим график функции y

- вспомога-

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельный и с учетом его легко построить искомый график. Кро-

 

ме того x 0, y 1. См. рис. 2 и 3.

 

 

 

 

 

 

рис.2

рис.3

 

 

p 3

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2

x

. Преобразуем функцию с учетом, что

x2

= x . Имеем

 

x

 

2, e x>0

 

 

 

 

y = 2 x

 

=

1

 

 

 

 

 

 

 

, e x < 0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

См. рис. 4

 

 

 

 

Краткий курс школьной математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

247

 

 

рис. 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 4

y = 2sin x . Сначала построим график функции

y1 = sin x

и заме-

 

тим, что sin

x

1

E

(

y

)

=

 

−1

1

 

=

 

1

 

См. рис. 5

и 6.

 

 

 

 

 

2

 

; 2

 

 

 

 

; 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

рис.5

 

рис. 6

p 5

y = 2ctg 2 . См. рис. 7 и рис. 8.

248

В.А.Битнер

 

 

рис. 7

 

 

 

рис. 8

 

 

 

p 6

y = xlog x 2 . Воспользуемся основным логарифмическим тожде-

 

ством

и

определением

логарифма,

тогда

имеем

 

y = 2, x > 0, x 1 . См. рис. 9.

 

 

 

рис. 9

Краткий курс школьной математики

249

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 7

 

y = log2 (1 − x) . Заметим, что 1 − x > 0, x < 1 .

f (0) = 0, f (−1) = 1

 

и т.д. См. рис. 10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис. 10

 

 

 

 

 

p 8

y = log2 sin x . Так как

D (log) = R , то

sin x > 0 ,

то есть

 

2π n < x < π + 2π n, n Z .

Сначала строим

график

функции

 

 

 

 

y1 = sin x . Далее заметим, что

sin x

< 1, имеем 0 < sin x ≤ 1, то-

гда по свойству знаков логарифмической функции с учетом, что a > 1 имеем y < 0 . См. рис. 11 и рис. 12.

250

 

 

 

 

 

 

 

 

В.А.Битнер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 9

 

ln

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

 

 

.

Воспользуемся определением модуля, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

ln x

, eln x > 0

 

 

 

 

 

y = ln x

= 1, e x > 1

. См. рис. 13.

 

ln x

, eln x < 0 −1, e0 < x < 1

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

0

1

 

 

 

рис. 13

 

 

p 10

y = log2

x − 2 . Одз x ≠ 2, f (1) = f (3) = 0, f (0)

= 1 . См. рис. 14.

 

 

рис. 14

 

 

Упражнения для самостоятельного решения.

 

p 1

1

 

p 2 y = 2cos x ;

p 3 y = 2tg x ;

 

x2

 

y = 2

 

;

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]