
Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki
.pdf
Краткий курс школьной математики |
241 |
|
|
lg xlg x −1 |
= lg100 . По |
формуле логарифма |
степени |
имеем |
||||
(lg x − 1) lg x = 2 lg2 |
x − lg x − 2 = 0, (lg x) |
= −1, |
(lg x) |
= 2 , |
отку- |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
да x |
1 |
= 10−1 = 0,1; x = 102 = 100 . |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: { 0,1;100} . |
|
|
|
|
|
|||
p 11 log2 (2x |
+1) log2 (2x +1 + 2) = 2 . |
|
|
|
|
Решение:
Перепишем уравнение в виде: log2 (2x + 1) log2 (2 (2x +1)) − 2 = 0 .
Применим формулу логарифма произведения, получим log (2x +1)(1 + log2 (2x +1)) − 2 = 0
|
log 2 (2x +1) + log |
2 |
(2x |
+1) − 2 = 0 - квадратное уравнение |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно log2 (2x + 1) , по t Виета |
||||||||||||
|
(log x |
(2x +1)) = −2, (log2 (2x +1)) = 1 , откуда |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
2x +1 = 2−2 = |
1 |
, 2x |
= − |
3 |
- не удовлетворяет E (a x ) и |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
2x +1 = 2 2x = 1, x = 0 . |
|
|||||||||||
|
Ответ: {0} . |
|
|
|
|
|
|
||||||
p 12 |
log 1 |
5x − 2 |
≥ 0 . Решение: |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 − x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По свойству знаков логарифмической функции имеем:
|
5x − 2 |
> 0 |
|
5x − 2 |
< 0 |
|
(5x − 2) ( x − 3) < 0 |
||||
|
3 − |
x |
|
x |
− 3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(6x − 5) ( x − 3) > 0 |
|||
|
5x − 2 |
≤ 1 |
|
5x − 2 |
− 3 |
+ x |
< 0 |
|
x ≠ 3 |
||
|
3 − x |
|
|
3 − x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 4 |
3 |
|
5 |
|
6 |
|
3 |


Краткий курс школьной математики |
243 |
|
|
9z + 91 − 60 = 0,
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем 9z |
2 − 60z + 91 = 0, |
D |
|
= 81, z |
= |
30 ± 9 |
, |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1,2 |
9 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z |
= |
39 |
= |
13 |
; z |
|
= |
21 |
= |
7 |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
9 |
3 |
|
9 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Имеем:
a)xlg x = 13 , прологарифмируем обе части этого уравнения
3
по основанию 10, получим
|
lg2 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
± |
|
lg |
13 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x = lg |
|
|
, lg x = ± |
lg |
|
, x |
= 10 |
|
|
3 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
lg x |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
± lg |
7 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
b) |
= |
|
|
lg |
= lg |
|
|
, lg x = ± |
|
lg |
|
|
, |
x3,4 = 10 |
3 |
||||||||||||||||||||
x |
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
13 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
± |
|
lg |
|
|
|
± |
|
lg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: 10 |
3 ;10 |
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 15 Решить систему уравнений
|
|
3−lg(x − y) |
= 250 |
|
|
|
|
|
||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
26 − y . |
||||
x + y + |
x + y = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x − y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
1. Из D (lg) и D () , и E (
) и с учетом знаменателя имеем
x − y > 0 |
x > y |
|
|
|
|
x + y ≥ 0 |
x ≥ − y |
(1) |
|
|
|
26 − y > 0 |
y < 26 |
|
2. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством в
первом уравнении системы, тогда имеем |
|
103 |
= 250 , от- |
|
10 |
lg( x − y ) |
|||
|
|
|
куда x − y = 4 , подставим это значение во второе уравнение
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
= |
26 |
− |
y |
, |
|
системы, тогда получим из него |
4 |
x + y |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x + y = 22 − y , откуда y ≤ 22 |
|
|
|
(2) |


Краткий курс школьной математики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
245 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
p 13 |
lg2 2 x + lg2 3x = lg2 2 + lg 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p 14 |
x1+lg x < 0,1−2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p 15 |
log x |
2 + log2 x = 2, 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p 1 |
(−∞; −1] [2; +∞) ; |
p 2 |
{ 9} ; |
|
|
|
p 3 |
9 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
p 4 |
{5} ; |
|
p 5 |
(2; 4] ; |
|
|
p 6 |
{ 4} ; |
||||||||||||
p 7 |
(0; 4) ; |
p 8 |
{ 27} ; |
|
|
p 9 |
{0,1;1000} ; |
|||||||||||||
p 10 |
(2; 4) ; |
p 11 |
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
; 24 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
||
p 12 |
(3; 4) (6; +∞) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Указание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Из свойства знаков логарифмической функции и D (log) име- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 − 2x |
> 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
log8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ем: a = 0, 5 < |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
2 − 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p 13 |
|
|
|
|
p 14 |
(0, 01;10) ; |
|
p 15 |
{ |
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
2; 4} . |
|||||||||||||||
|
|
|
;1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Различные интересные графики, связанные с показатель- ной и логарифмической функциями.
Построить графики функций: |
|||
p 1 |
y = 2 |
x |
2 |
|
- этот график легко построить по точкам, с учетом, что |
||
|
|
функция четная,
x2 ≥ 0 y ≥ 20 = 1 . См. рис. 1

246 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В.А.Битнер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис.1 |
|
|
|
|
p 2 |
1 |
|
|
|
|
= 1 |
|
|
y = 2 x . Сначала построим график функции y |
- вспомога- |
|||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
тельный и с учетом его легко построить искомый график. Кро- |
|||||||
|
ме того x ≠ 0, y ≠ 1. См. рис. 2 и 3. |
|
|
|
||||
|
|
|
рис.2 |
рис.3 |
|
|
||
p 3 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y = 2 |
x |
. Преобразуем функцию с учетом, что |
x2 |
= x . Имеем |
|||
|
x |
|
2, e x>0 |
|
|
|
||
|
y = 2 x |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, e x < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
См. рис. 4 |
|
|
|
|

Краткий курс школьной математики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
247 |
|||||
|
|
рис. 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p 4 |
y = 2sin x . Сначала построим график функции |
y1 = sin x |
и заме- |
|||||||||||||||
|
тим, что sin |
x ≤ |
1 |
E |
( |
y |
) |
= |
|
−1 |
1 |
|
= |
|
1 |
|
См. рис. 5 |
и 6. |
|
|
|
|
|
2 |
|
; 2 |
|
|
|
|
; 2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
рис.5 |
|
рис. 6 |
p 5 |
y = 2ctg 2 . См. рис. 7 и рис. 8. |


Краткий курс школьной математики |
249 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 7 |
|
y = log2 (1 − x) . Заметим, что 1 − x > 0, x < 1 . |
f (0) = 0, f (−1) = 1 |
||||||||||||
|
и т.д. См. рис. 10. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 10 |
|
|
|
|
|
p 8 |
y = log2 sin x . Так как |
D (log) = R , то |
sin x > 0 , |
то есть |
||
|
2π n < x < π + 2π n, n Z . |
Сначала строим |
график |
функции |
||
|
|
|
||||
|
y1 = sin x . Далее заметим, что |
sin x |
< 1, имеем 0 < sin x ≤ 1, то- |
гда по свойству знаков логарифмической функции с учетом, что a > 1 имеем y < 0 . См. рис. 11 и рис. 12.

250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В.А.Битнер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 9 |
|
ln |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = |
|
|
|
. |
Воспользуемся определением модуля, имеем |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ln x |
|
|
|||||
|
|
ln x |
, eln x > 0 |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
y = ln x |
= 1, e x > 1 |
. См. рис. 13. |
|||||||
|
− |
ln x |
, eln x < 0 −1, e0 < x < 1 |
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
ln x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
рис. 13 |
|
|
p 10 |
y = log2 |
x − 2 . Одз x ≠ 2, f (1) = f (3) = 0, f (0) |
= 1 . См. рис. 14. |
|
|
|
рис. 14 |
|
|
Упражнения для самостоятельного решения. |
|
p 1 |
1 |
|
p 2 y = 2cos x ; |
p 3 y = 2tg x ; |
|
|
x2 |
|
|||
y = 2 |
|
; |
|