Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

.pdf

Скачиваний:

104

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4224 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики	231

Задача 3. 3см, 6см, 4см . Указание. Выразите полную поверхность

S ( x) ящика через стороны основания x и 2x и объем 72см3					и найди-
те минимум функции S ( x) = 4x2 +			216	.
те минимум функции S ( x) = 4x2 +				.
			x
Задача 4.	1.
Задача 5.	Указание.	Докажите, что S 2 = h3 (2R − h) , где h			- высота
треугольника, а R -		радиус описанного круга. Далее можно искать

максимум функции S (h) , но вычисления проще, если воспользоваться

тем, что площадь максимальна, когда ее квадрат максимален и искать максимум квадрата площади. Другой способ. Можно обозначить угол при вершине равнобедренного треугольника за 2α , а радиус описанного круга – за R . Тогда боковая сторона треугольника b = 2R cosα и

площадь S (α ) =	1	b2 sin α =		1	(2R cos α )2 sin α = 2R2 cos2 α

2			2
ищем производную S ′ (α )			и получаем max S (α ) = S (600 )
					(00 ;1800 )

sin α , далее

d .

Задача 6.	Сторона, лежащая на диаметре, в 2 раза больше другой сто-
роны.
Задача 7.	min g ( x) = g (2) = −1; max g ( x) = g (3) = 3 .
	[1;3]	[1;3]
Задача 8.	min f ( x) = f (−1) = f (1) = −16; max f ( x) = f (0) = 9 .
	[−1;1]	[−1;1]
Тема XXII.		Показательная функция, ее
		свойства и график. Показатель-
		ные уравнения и неравенства.

o 1 Функция вида y = a x или y = expa ( x) , где a > 0, a ≠ 1 , называ-

ется показательной или экспоненциальной функцией.

232 В.А.Битнер

Свойства:

10.

D (a x ) = R ;

20.

E (a x ) = (0; +∞) = R ;

30.

f (0) = a0 = 1 ;

40.

(свойство монотонности). e0 < a < 1 , то показательная функция

монотонно убывает;

e a > 1 , то показательная функция моно-

тонно возрастает;

50.

при x, y R, a > 0, a ≠ 1 a x a y = a x + y ; a x : a y = a x − y ; (a x ) y

= a xy ;

60.

показательная функция непрерывна в каждой точке своей

области определения;

70.

e a > 1 ,

то при x > 0

a x > 1, а при

x < 0 0 < a x < 1; e0 < a < 1 ,

то x > 0

0 < a < 1 , а при x < 0 a x > 1.

s 1

e a > 0 и a ≠ 1, то (a x1 = a x2 ) ( x = x

) .

s 2

e a > 0 и a ≠ 1, то ( x = x ) (a x1 = a x2

) .

График показательной функции.

p 1

y = 2x ;

p 2

y =

Краткий курс школьной математики	233

Показательные уравнения и неравенства.

t 1	e a > 0 и a ≠ 1 , то уравнение					ϕ ( x)	ψ ( x)	и ϕ (x ) = ψ ( x) равно-
t 1	e a > 0 и a ≠ 1 , то уравнение					a	= a	и ϕ (x ) = ψ ( x) равно-
	сильны.
Это следует из s1 из свойства монотонности.
t 2	ϕ ( x)		ψ ( x)	ϕ (x ) >ψ			( x) ;
	ϕ ( x)		ψ ( x)
	e a > 1 , то a	> a
	ϕ ( x)		ψ ( x)		ϕ	(x ) <ψ ( x) .
	e 0<a < 1, то a		> a		ϕ	(x ) <ψ ( x) .

Это следует из свойства монотонности показательной функции.

Решить уравнения и неравенства.

p 1

x2 − x −2

= 81

− x −2

− x

− 6 = 0,

3 x

− x − 2 = 4 x

x1 = −2, x2

= 3

;

p 2

3( x −1)

2(2− x )

3( x −1)

4 − 2 x

x−1

2− x

= 2

9 x − 9

= 8 − 4 x 13x = 17, x =

p 3

2 3x +1 − 4 3x − 2

= 150 2 3x − 2 (27 − 2)

= 150 3x −2

= 3, x = 3 ;

p 4

10 2x

− 4x

= 16 22 x − 10 2x

+ 16 = 0 , по теореме Виета

(2x ) = 2, (2x )

= 8 , откуда x

= 4, x = 3 ;

p 5

2x >

2x > 2−1 x > −1 ,

так как

a = 2 > 1 -

возрастающая

функция, ответ: (−1; +∞) ;

p 6

4x − 2x

≤ 2 22 x

− 2x − 2 ≤ 0 −1 ≤ 2x ≤ 2 ,

но

2x ≥ −1 .

При

x R , имеем 2x ≤ 2 x ≤ 1 , так как a = 2 > 1 - функция воз-

растает;

p 7

0, 04x

> 0, 2 0, 22 x > 0, 2 2x < 1 ,

так как

a = 0, 2 < 1 - функ-

ция убывает, отсюда x <

. Ответ:

−∞;

234					В.А.Битнер

p 8	( x − 2)	x2 −6 x +8	> 1 .
	( x − 2)		> 1 .
	Решение:
	Из свойства 70 показательной функции имеем:
	0 < x − 2 < 1			2	< x < 3
	1)	2 − 6x + 8 < 0			2 < x < 3 ;
	x	2 − 6x + 8 < 0		2	< x < 4
	x − 2 > 1			x > 3
	2)	2 − 6x + 8 > 0			x > 4 ;
	x	2 − 6x + 8 > 0		x	< 2, x > 4

Ответ: (2; 3) (4; +∞) .

Упражнения для самостоятельного решения.

Построить графики функций:

p 1

y = 2x −1 ;

p 2

y = 2x − 1 ;

p 3

y = 2

;

p 4

y = (0, 3) x ;

p 5

y =

p 6

y = 10x .

;

Найти области определения функций:

y = (2 x − 3)x−3 ;

y = (x2

− 3x − 4)

x2 −1

)

;

y = (3x − x

Решить уравнения:

p10

8x = 16 ;

p11

7( x +1)( x −2) = 1 ;

p12

2 + x −4,5 = 4

p13

7 x+2 + 4 7 x−1 = 347 ;

2 ;

p14

52 − 53− x = 20 ;

p15

4 x − 2 +16 = 10 2 x − 2 .

Решить неравенства:

p 16

;

p 17

3 x

p 18 (0, 5)x < 4 ;

≤ 1;

p 19 (0, 6)x ≥ 0, 36 ; p 20 ( x +1)x2 − x −2 ≤ 1 .

Краткий курс школьной математики	235

Ответы:

p 1

p 2

p 7	(1, 5; +∞) ;			p 8	(−∞;1) (4; +∞) ;
p 12				p 15	{3;11} ;
p 12		± 29		p 15	{3;11} ;
	−1	± 29
			;
			;
		2
		2

p 20	[0; 2) .

p 3
p 9	(0; 3) ;
p17	[0; +∞) ;

Тема XXIII Логарифмическая функция, ее свойства и график. Логарифм числа и его свойства. Логариф- мические и показательно – ло- гарифмические уравнения и не- равенства. Различные графики, связанные с показательной и логарифмической функциями.

Логарифмическая функция, ее свойства и график.

o 1 Функция вида y = log x , где a > 0, a ≠ 1 , называется логариф-

мической функцией.

236					В.А.Битнер

Функции y = a x		и y = loga x -	взаимно – обратные. По определению
взаимно – обратных функций			f и g обладают следующим свойством:
f ( g ( x)) = x .
Свойства:
10.	D (log x)	= E (a x ) = R =	(0; +∞) ;
	a	+
20.	E (log x)	= D (a x ) = R = (−∞; +∞) ;
	a
30.	f (1) = log	1 = 0 ;
		a
40.	(свойство	монотонности).		e 0 < a < 1 , то	логарифмическая
	функция монотонно убывает; e a > 1, то возрастает;
s 1	e loga x1 = loga x2 , то x1 = x2 , где a1 , x1 , x2 R+ , a ≠ 1 .
s 1
s 2	e a, x1 , x2 R+ , a ≠ 1 и x1 ≠ x2			, то loga x1 = loga	x2 .
s 2	e a, x1 , x2 R+ , a ≠ 1 и x1 ≠ x2			, то loga x1 = loga	x2 .
50.	логарифмическая функция непрерывна на всей области
	определения.
60.	(свойства	знаков).	e 0 < a < 1 и 0 < x < 1, то y = loga x > 0,
	e x > 1, то y < 0; e a > 1 и 0 < x < 1, то y < 0; e x > 1, то y > 0 .

График.

p 1 y = log2 x ;

p 2	y = log 1	x ;
	2

Краткий курс школьной математики	237

Логарифм числа и его свойства.

o 2 Логарифмом числа "b " по основанию " a " называется показатель степени, в которую надо возвести a , чтобы получить b .

Имеем: a x = b x = log b aloga b = b - основное логарифмическое

тождество.

Пишут: log b , где a > 0, a ≠ 1, b > 0 .

ea = 10 , то пишут: lg b - десятичный логарифм;

ea = e ≈ 2, 72 , то пишут: ln b - натуральный логарифм.

Свойства логарифма:

10.

loga ( xy ) = loga

+ loga

- логарифм произведения;

20.

loga

= loga

− loga

- логарифм частного;

30.

loga

xn = n loga x , где n N - логарифм степени;

e n = 2k , то loga x2 k = 2k loga

. Это свойство можно

распространить на случай p R , то есть loga x p = p loga x ;

40.

loga

loga x - логарифм корня;

50.

loga

b =

logc b

- правило

перехода от одного основания

logc a

логарифма к другому;

60.

log n b =

log b ;

70. log

80. log

90. log

an bn = loga b ;

an bm = m loga b ;

n am = m .

238 В.А.Битнер

p 1	log2 8 = 3 ;											p 2	log3	1	= −2	;
													log3	9	= −2	;
														9
p 3			3		=	1	;					p 4	lg 0,1 = −1 ;
p 3	log	5	3	5		1						p 4	lg 0,1 = −1 ;
	log			5
			3
			3
p 5			16 = log						4	=	4	p 6	Что больше log				3	5 или log	7	4 ?
	log8							3 2				;					3		7
	log8							3 2				;
			2								3		Имеем:
											3		Имеем:

log3 5 > log3 3 = 1, log7 4 < log7 7 = 1 log3 5 > log7 4 .

Логарифмические и показательно – логарифмические уравнения и неравенства.

Простейшими логарифмическими называются уравнения вида:


1)	loga	x = loga b x = b - по следствию из свойства монотонности.
					1

2)	log x b = n xn = b x = b n					- по определениям логарифма.
3)	loga	x = n x = a	n	-	по	определению логарифма

Простейшими логарифмическими называются неравенства вида

log x > n , тогда по свойству монотонности логарифмической функции

x > an , e a > 1 и 0 < x < an , e 0 < a < 1 .

Решение упражнений.

5x2 = 7 x	2 = log	5	7, x	= ±		log		5	7
		5	1,2					5
							x		x	2
				12	− 2			−			> 0
log3 (12 − 2x − x2 ) > 2					− 2x − x					2	,
				12	− 2x − x					2	> 9 − "сильнее"

отсюда x2 + 2x − 3 < 0 . Ответ: (−3;1) .

−3 < x < 1

log0,3 (x + 5 − x +1) > 0 . Найти все целые x .

Решение:

Краткий курс школьной математики	239

1.Так как D () = [0; +∞) и по свойству знаков логарифмиче-

ской функции имеем

				x ≥ −5

x	+ 5	≥ 0
x	+ 5	≥ 0
					x + 5 − x +1 > 0 .
0	<		x + 5 − x +1 < 1
					x + 5	− x +1 < 1
					x + 5	− x +1 < 1

2. Решим второе неравенство системы, имеем x + 5 > x −1

a) x ≥ −5		−5 ≤ x < 1
x − 1 < 0
x ≥ −5			x ≥ 1	x
	≥ 0		x ≥ 1	x	≥ 1
b) x − 1	≥ 0				≥ 1
	2		x2 − 3x − 4 < 0	−1 < x < 4 1 ≤ x < 4
x + 5	> x	− 2 x + 1

из a) и b) получаем −5 ≤ x < 4

(1).

Решим

третье

неравенство

системы,

имеем

x + 5 < x

x ≥ 0

x ≥

2 2

1 −

1 +

x + 5 < x

− x − 5

> 0

x <

, x >

1 +

x >

(2).

−5 < x < 4

1 +

Из (1) и

(2) имеем

1 +

< x < 4

- в этом

промежутке есть

единственное

целое число 3 .

Ответ: { 3} .

lg (x2 + 2x + 3) = lg 6 x2 + 2 x + 3 = 6, x2 + 2x + 3 = 0 при x R

x2 + 2x − 3 = 6, x1 = −3, x2 = 1

Ответ: { −3;1} .

log0,7 x > 5 0 < x < 0, 75 , так как a = 0, 7 < 1.

240	В.А.Битнер

p 8

p 9

p 10

Ответ: (0; 0, 75 ) .
lg2 x + 2 lg x > 3 lg2	lg x < −3
lg2 x + 2 lg x > 3 lg2	x + 2 lg x − 3 > 0
	lg x > 1

0 < x < 0, 001

x > 10, так как a = 10 > 1

Ответ: (0; 0, 001) (10; +∞) .

x +1 > 0 lg (x + 1) + lg x < lg 2 x > 0

lg (x ( x +1)) < lg 2, a = 10 > 1-функция возрастает

x > 0

0 < x < 1 .

2 + x < 2

x2 + x

− 2

< 0

−2

< x < 1

Ответ: (0;1) .

log4 x + log x2 2 = 1

Решение:

x > 0, x ≠ 1.

По модулю перехода

log2 x

= 1

log2 x

= 1, log 2

x − 2 log

x + 1 =

log2 4

log2 x

2 log2 x

= 0, log2 x = 1, x = 2

log5 x + log7 x = log5 35 .

Решение:

log5 x +

log5 x

= log5 7 + 1 log5 x (log5 7 +1) = log5 7 (log5 7 + 1) ,

log5 7

log5 x = 1, x = 5 .

Ответ: {5} .

xlg x −1 = 100 - уравнения такого вида называются показательно – логарифмическими.

Решение:

Заметим, что x > 0, x ≠ 1, прологарифмируем обе положительные части уравнения по основанию 10, получим:

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 4224 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб4Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
01.03.202595.23 Кб0bilety_os_1.doc
#
01.05.202521.22 Кб0BILET_mezhdistsiplinarnogo_ekzamena.docx
#
19.09.2019507.9 Кб12Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб104Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб5breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб11Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб10Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc