tot_book

191

Рис. 101.

2.5.2. Графический метод

Если тело имеет сложную форму, то рассчитать поле температуры, даже стационарное, методом ЭТА затруднительно. Удобней обратиться к графическому методу, который требует лишь простейших расчетов и, как сказано в одном руководстве, обладает “поразительной точностью”.

Графический метод реализует векторную форму закона Фурье, согласно которому в окрестностях любой точки тела изотермическая поверхность перпендикулярна вектору теплового потока. Если изотермические поверхности проведены “достаточно густо”, то вместо векторов можно провести кривую q = const (линию теплового тока), пересекающую все изотермические поверхности по нормалям (рис. 102).

192

Рис. 102.

Графически это означает, что в каждой точке сечения линия тока перпендикулярна изотерме, а вектор теплового потока направлен к линии тока по касательной. Если построить пересекающиеся семейства линий T = const и q = const, которые будут в каждой точке пересечения взаимно перпендикулярны, то удастся определить тепловой поток и поле температуры в сечении тела.

Решение задачи разделяют на три этапа.

1.Вычерчивают, соблюдая масштаб, сечение расчетной

области.

2.Наносят линии T = const и q = const, добиваясь, чтобы диагонали косоугольных четырехугольников делили одна другую пополам и были взаимно перпендикулярны. Изотермы, кроме того, должны быть перпендикулярны адиабатным границам (поскольку на них q = 0), а также осям симметрии области, если они есть.

3.Уточняют расположение линий сетки, пока не будут выполнены положения второго этапа, а затем определяют тепловой поток, пользуясь законом Фурье.

193

Рассмотрим в качестве примера составную область (см. рис. 102), включающую Н-образную “вставку” (похожее сечение может иметь теплоизолированная стенка кузова, усиленная армирующим ребром). На границах области заданы температуры Tw1 иTw2 , т. е. поддерживаются граничные условия I рода. Требуется определить тепловой поток, идущий через “вставку”, — ее обычно называют тепловым мостиком (если автомобиль оставили на улице, а ночью были заморозки, все такие мостики утром станут ясно видны: на них по-другому, чем на прочих местах, оседает иней).

Считаем задачу стационарной, а все границы “вставки”, кроме выделенных жирной линией, — адиабатными; теплопроводность материала вставки постоянна и равна λ. Исходя из соображений симметрии, вычертим в удобном масштабе 1/2 сечения вставки, а затем проделаем операции, указанные в этапах 1 и 2. Тепловой поток мы разделили на составляющие Q1, Q2, Q3 и Q4, причем их сумма равна общему тепловому потоку:

(в формуле (1.103) полагаем, что в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, размер ∆z = 1). Поскольку в каждой ячейке ∆x = ∆y, перепад температур между соседними изотермами будет одинаковым. Если теперь между изотермами на чертеже М промежутков (у нас М= 13), то

определяет, с каким интервалом следует проводить линии обоих семейств (чем больше линий, тем точнее решение). Вначале задают величину ∆y (например, так, чтобы изотермы шли с шагом в 5 или

194

10 К), а потом определяют число “каналов” (Q = const по соотношению ∆x = ∆y; при этом линии тока разделят сечение на N частей (у нас N = 4), поэтому

QΣ = NQi .

Формула (2.104) примет вид

400 К, Тw2 = 300 К, то изотермы пойдут с шагом 100/13 = 7,7 К.

Отношение N/М = S называют формфактором теплопровод-

где ∆T — наибольший перепад температуры на исследуемой области.

Мы провели расчет на единицу длины “вставки” (∆z = 1); в общем случае величина S, как следует из формулы (2.105), должна

иметь размерность длины

распространенных в практике, а затем сразу переходят к оценке QΣ по формуле (2.105). Величину S можно определить и графическим методом, а иногда — даже аналитически.

Показано, в частности, что для пластины размерами h×b×δ S =

hb/δ, а для полого цилиндра D × d × h — S = ln(2dπhD) (см. рис. 74).

Hа рис.103 представлены значения формфактора S для цилиндра с эксцентричным каналом (рис. 103,а), бруса с каноническим каналом (рис. 103,б), канала круглого сечения (рис. 103,в) и цилиндрической полости конечной глубины в полуограниченном теле (рис. 103,г).

195

Рис. 103.

Заметим, что формфактор S связан с термическим сопротивлением тела R* зависимостью R = λ1S , поэтому формулы

и таблицы в обоих случаях взаимозаменяемы: достаточно, например, сопоставить формулы, приведенные на рис. 101 и 103,б.

Модификации графического метода существуют и для других видов граничных условий, но они менее удобны. Еще одно ограничение связано с тем, что метод применим лишь для стационарных задач: при решении задач нестационарных пришлось бы для каждого выбранного момента проводить свой расчет, корректируя температурное поле на границе по результатам предшествующих выкладок.

2.5.3. Метод конечных разностей

Основная идея метода состоит в том, что непрерывный процесс теплопередачи заменяют дискретным; при этом изотермы из плавных линий превращаются в ломаные. Математически метод конечных разностей означает замену дифференциального уравнения теплопроводности алгебраическим уравнением, где роль приращений ∂T , ∂τ, ∂x выполняют конечные разности ∆T, ∆τ, ∆x.

196

Рис. 104.

Впервые такой подход реализовал немецкий теплотехник Э. Шмидт в 1924 г.; следуя его идеям, рассмотрим задачу нестационарной теплопроводности пластины при граничных условиях I рода с произвольным начальным распределением температуры.

Разобьем пластину (рис. 104) на слои произвольно малой толщины ∆х и присвоим им индексы n–1, n, n+1,... Интервалам времени ∆τ присвоим обозначения k–1, k, k+1,... Температуру n-го слоя в момент времени k будем обозначать Тn,k.

Заменим дифференциальное уравнение Фурье

∂T = a ∂2T ∂τ ∂x2

конечно-разностным приближением

Переход к алгебраическому уравнению (2.106) означает, что температура в сечении пластины меняется по ломаной линии — она соединяет точки 1, 2, 3, ..., лежащие в среднем сечении каждого слоя толщиной ∆х.

Соединим эти точки для некоторого момента τ = k∆τ и получим ломаную 1–2–3.

В пределах любого n-го слоя перелом линии означает, что aналог

197

С учетом подстановок (2.107) и (2.108) перепишем уравнение

(2.106):

Поскольку ∆х и ∆τ мы задали произвольно, их соотношение может

т. е. температура в n-м слое в момент (k+1)∆τ равна полусумме температур в двух соседних слоях в момент k∆τ. На рис. 104

решение (2.110) представлено графически: точка 2 получается, если соединить отрезком прямой точки 1 и 3.

Поскольку величина ∆a∆x2τ равна числу Фурье для слоя толщиной ∆х, условие 2∆ax∆2τ =1 можно записать короче: Fо = 0,5.

199

V = ∆x ∆x 1 = (∆x)2.

Теплота, переданная слою по связи 2–1, на основании постулата 1,

Q21 = ∆λx (T2 −T1)∆x∆τ,

а переданная по связи 3–1–

Q31 = ∆λx (T3 −T1)∆x∆τ;

здесь T1, T2, T3 — температуры узлов, рассчитанные в один и тот же момент.

За время ∆τ температура узла 1 изменится, поскольку к нему подведена теплота Q21,+Q31; это изменение, в силу постулата 3, определится из соотношения

времени ∆τ (в соответствии с постулатом 2 температура узла меняется скачком).

Соотношение (2.111) — уравнение теплового баланса (отсюда и название метода); из него следует, что

Как видим, уравнение (2.113) имеет тот же смысл, что и уравнение (2.110). В то же время условие Fо = 0,5 для уравнения

200

(2.112) не является обязательным; можно задавать любые значения Fо < 0,5. Например, при Fо = 1/3 равенство (2.112) принимает вид

T1′= 13 (T2 +T3 +T1 ),

а при Fо = 1/4 —

T1′= 14 (T2 +T3 + 2T1).

В правую часть этих формул входит величина T1: для расчета каждой последующей температуры в узле 1 надо знать предыдущее ее значение. Чем меньше Fо, тем точнее решение, но одновременно с точностью, увеличивается трудоемкость (или применительно к компьютерному варианту — время счета).

Для двумерных задач теплопроводности составляется

а при Fо = 1/4

T1′= 14 (T1 +T2 +T3 +T4 ).

Рис. 106.

Трехмерные задачи решают, рассматривая пространственные тепловые связи.

И метод Шмидта, и метод Ваничева реализуют явные конечно-разностные схемы: каждую последующую (во времени)