tot_book

181

вначале кривые ln ϑ1 = f (τ) и ln ϑ2 = f (τ) будут иметь различный характер, а начиная с некоторого τ станут параллельными прямыми.

Таким образом, можно выделить две стадии процесса — начальную и регулярную; в последней избыточная температура во всех точках тела меняется во времени экспоненциально: поскольку

Величина m > 0 не зависит от координат и времени; она характеризует интенсивность отвода или подвода теплоты, называется темпом охлаждения (или темпом нагрева) и входит в экспоненциальную функцию (2.94) в виде множителя при времени

τ.

Для двух произвольных моментов τ' и τ" > τ' по формуле

полулогарифмических координатах, то, начиная с некоторого момента, она превратится в наклонную прямую, а темп охлаждения тела будет угловым коэффициентом этой прямой: m = tgϕ.

Используя понятие темпа охлаждения m, Г.М. Кондратьев сформулировал две теоремы.

Первая теорема Кондратьева: темп охлаждения однородного тела при конечном значении коэффициента теплоотдачи α прямо пропорционален α и поверхности тела F и обратно пропорционален полной теплоемкости тела сρV:

Вторая теорема Кондратьева: при Вi→∞ (или, что то же,

при α→∞) темп охлаждения m∞ прямо пропорционален

где К — коэффициент, зависящий только от формы и размеров тела, его размерность — м2.

для цилиндра радиусом r0 и длиной l

Соотношения (2.96) и (2.97) можно объединить, если ввести обозначения:

M = m = mK — относительный темп охлаждения, m∞ a

B = αλ K VF — модифицированное число Био

(в этих обозначениях М = ψВ).

Мы уже убедились, что коэффициент ψ определяется числом Био; эксперимент показывает, что для тел произвольной формы

Формула (2.98) содержит оценку неравномерности регулярного поля температуры в любом теле, если для него известны величины λ, a, α, К, F и V.

Пользуясь теорией регулярного теплового режима, можно определить теплофизические свойства материала, образующего однородное тело. Если жидкость интенсивно перемешивать (α→∞), то по формуле (2.97) удается определить a. Если на границе тела поддерживать постоянное и конечное значение αа, то сначала можно определить µ1(Вi), а затем и величину λ. В обоих случаях кривые охлаждения представляют в полулогарифмических координатах.

Выше речь шла о нагреве и охлаждении тел в среде с Тf=const при Fо >> 0,3; такой процесс называют регулярным режимом первого рода. Если температура среды меняется во времени

линейно (Тf = Тf0 + ωτ) или гармонически (Тf = Тf0 + Тm соsπωτ), то говорят о регулярном режиме соответственно второго или третьего рода (здесь ω, Тf0, Тm — константы).

В 1967 г. А.В. Лыков показал, что все разновидности регулярного режима характеризует одна особенность: скорость

184

нагрева тела прямо пропорциональна разности температуры среды Тf и среднемассовой температуры тела T :

Важно помнить, что в формуле (2.99) темп m зависит не только от размеров, теплофизических свойств и граничных условий, но и от того, как меняется температура среды Тf.

Метод регулярного теплового режима использует простой математический аппарат и удобен как в эксперименте, так и при расчете процессов нестационарной теплопроводности.

2.5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Чаще всего расчеты теплопроводности начинают с оценки стационарного поля температуры (если оно существует) и с определения тепловых потоков.

Если тепловые процессы зависят от времени, переходят к расчету нестационарной теплопроводности, рассматривая стационарные решения как предельные. В обоих случаях используют упрощенные модели тел (пластину, цилиндр, шар, стержень). Важно помнить, что аналитических решений задачи Фурье чрезвычайно много, но большинство из них громоздки, требуют квалифицированного анализа, да и воспользоваться справочной литературой удается далеко не всегда.

Можно, конечно, провести детальное аналитическое решение краевой задачи или поставить специальный эксперимент — если для этого есть время, средства и квалификация! Но нельзя забывать, что расчетная модель может оказаться слишком грубой, а теплофизические свойства материалов редко известны с точностью, превышающей 10…20 %. Поэтому нельзя переоценивать и точность полученных результатов; их необходимо обязательно проверить в предельных случаях (на поверхности тела, при τ→∞, α→∞ и т. д.), сопоставить с результатами испытаний,

185

наблюдениями, словом, не следует терять здравого смысла. Кроме того, полезно вспомнить о приближенных (инженерных) методах расчета, дающих приемлемую для практики точность.

2.5.1. Электротепловая аналогия

При расчете стационарной теплопроводности пластин и оболочек мы ввели понятие термических сопротивлений — внутреннего Rλ, внешнего Rα и полного Rk. Термин “сопротивление” выбран не случайно, поскольку уравнение, описывающее поле температуры в сечении пластины, совпадает по структуре с законом Ома для участка цепи постоянного тока. На рис. 80 показана так называемая тепловая цепь сопротивлений — аналог электрической цепи.

Кроме перечисленных выше термических сопротивлений Rλ,

Rα, Rk, в расчет иногда вводят контактное термическое сопротивление Rtc; его смысл поясняет рис. 98. Если две пластины не находятся в идеальном тепловом контакте (из-за шероховатости, присутствия

Рис. 98.

загрязнений, смазки и т. п.), то на границе возникает скачок температуры ∆Ttc =Tw′2 −Tw′′2. Поскольку в стационарной задаче

186

Итак, контактное термическое сопротивление численно равно отношению разности температур на границе соприкосновения двух шероховатых тел к плотности теплового потока на этой границе.

Простота формулы (2.100) обманчива, поскольку величину ∆Ttc измерить и тем более рассчитать весьма сложно. Обычно значение Rtc задают по опытным данным, а в первом приближении принимают равным нулю.

Формальное сходство уравнений тепло- и электропроводности получило название электротепловой аналогии (ЭТА). Метод ЭТА позволяет рассматривать систему тел,

вкоторой идут процессы теплопроводности, как тепловую цепь, диалогичную цепи электрической. Обычно тепловые цепи начинаются и заканчиваются в точках, имеющих постоянную температуру — аналог постоянного потенциала в электрической цепи.

Метод ЭТА кажется весьма простым, но в нем есть существенная особенность, о которой следует помнить. Если результаты расчета электрических цепей весьма точно соответствуют эксперименту, то это связано в первую очередь с тем, что удельные электрические сопротивления проводников и изоляторов отличаются на много порядков. Теплопроводность различных материалов таким свойством не обладает; она меняется

впределах 0,01…400 Вт/(м·К), а для твердых материалов диапазон

изменений λ еще меньше. Во всех задачах, кроме явно одномерных (см. рис. 77–84 и т. п.), приходится вводить дополнительное допущение — гипотезу адиабатности или гипотезу изотермичности.

187

Рис. 99.

Если пластину мысленно “разбить” изотермами Т = const (рис. 99,a), то тепловую цепь составят три внутренних сопротивления, а при “разбиении” сечениями q = 0 (рис. 99,б) — четыре; результаты расчета суммарных сопротивлений при этом будут такими:

Расчеты дают близкие, но не идентичные результаты (в чем легко убедиться, задав реальные размеры и теплопроводности материалов). При построении тепловой цепи необходимо сразу же остановиться на одной из схем или при возможности рассмотреть обе. И помнить: для двумерных и трехмерных задач метод ЭТА имеет ограниченную, а иногда сомнительную точность, его следует считать лишь оценочным.

Мы подошли, по сути, к расчету составных тел: они включают области с различными теплофизическими свойствами, причем на границах областей соблюдаются условия IV рода. Это —

188

неподвижные соединения деталей, выполненные путем сварки, пайки, склейки; посадочные соединения с натягом, различные композиты (армированные пластики, железо-бетон и т. д.). Если составное тело рассматривать как единое целое, следует ввести теплопроводность λе, которую называют эквивалентной. Ее определяет соотношение

где δΣ — размер (габарит) системы, для которого рассчитывается величина λе.

Поскольку RλΣ зависит от размеров, расположения и свойств элементов составного тела, общего правила для определения значения λе не существует, в каждом случае надо строить “свою” формулу (2.101), определяя конкретный вид правой части.

Определим, например, значение λе для сечения армированного композитного покрытия (резинометаллической гусеницы). На рис. 100 обозначим, как и прежде, цифрами элементы, для каждого из которых будем определять внутреннее термическое сопротивление Rλi (для простоты все элементы выбраны прямоугольными, а система координат — декартовой, но общность рассуждений не нарушится и для более сложных случаев). Поскольку “рисунок” сечения повторяется, а его элементы обладают зеркальной симметрией, выберем представительный элемент (рис. 100,a) и разобьем его адиабатными и изотермическими сечениями (рис. 100,б,в).

189

Рис. 100.

Как видим, тепловые схемы заметно различаются, причем расчет по схеме рис. 100,в кажется более компактным. Для него, в частности,

Метод ЭТА позволяет в общем случае решать и нестационарные задачи: для этого либо переходят к аналогии с переменным током и вводят электрические емкости, либо рассчитывают “временные” омические сопротивления и подключают их в узлы "стационарной" цепи сопротивлений (метод Дж. Либманна); оба способа громоздки, их применяют сравнительно редко. Иногда вместо расчета собирают реальные цепи электрических сопротивлений или используют электропроводную бумагу, электролиты и пр. Такой подход активно развивался до появления компьютеров, сейчас он почти вытеснен из практики, хотя иногда позволяет быстро получить нужный результат.

190

Итак, метод ЭТА наиболее полезен при расчете одномерных задач и для составных тел; в последнем случае надо помнить о его приближенном характере.

Существует, кроме того, и более общее понятие о термическом сопротивлении. Если через тело произвольной формы проходит тепловой поток Q, а разность температур (наибольшая в направлении потока) равна ∆T, то величину

R = ∆QT , К/Вт,

называют термическим сопротивлением тела.

Для стержней и цилиндров неограниченной длины рассчитывают удельную величину термического сопротивления тела на единицу длины:

При соблюдении граничных условий III рода (теплопередача при разности температур жидкостей Tf 1 −Tf 2 = ∆Tα ).

RΣ = ∆QTα , К/Вт.

Поскольку ∆Tα =Tf 1 −Tf 2 > ∆T =Tw1 −Tw2 , во всех случаях

RΣ > R .

Величины R , RL , RΣ многочисленных и разнообразных по форме тел сведены в таблицы; фрагмент такой таблицы представлен на рис. 101.