
- •Следящая система (схема д 1111).
- •1. Введение.
- •Расчет сау в линейном приближении.
- •2.1 Вывод уравнений и определение передаточных функций функциональных элементов.
- •2.1.1 Генератор постоянного тока.
- •2.1.2 Определение параметров электромашинного усилителя
- •2.1.3 Определение параметров двигателя постоянного тока
- •2.1.4 Определение параметров делителя напряжения.
- •2.2 Структурная схема сау.
- •2.3 Передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы.
- •2.4 Определение коэффициента усиления по заданным условиям точности в установившемся режиме.
- •2.5 Исследование статических свойств замкнутой системы.
- •2.6 Исследование динамических свойств замкнутой системы с найденным коэффициентом усиления электронного усилителя.
- •2.6.1 Построение области устойчивости по коэффициенту усиления электронного усилителя.
- •2.7 Синтез непрерывного корректирующего устройства.
- •2.8 Приближенный синтез дискретного корректирующего устройства
2.4 Определение коэффициента усиления по заданным условиям точности в установившемся режиме.
Для определения коэффициента усиления электронного усилителя по заданным условиям точности в установившемся режиме необходимо использовать формулу о конечном значении оригинала.
,
где
– скоростная ошибка при
(
,
),
–статическая
ошибка при
(
,
).
С учетом выражений для передаточных функций получим
По заданному
условию точности
в установившемся режиме найдем:
при выполнении
условия
,
т.к. при
местная
обратная связь будет положительной, а
разомкнутая система станет неусточивой.
Выполнение условия
достигается за счет введения в обратную
связь делителя напряжения с коэффициентом
передачи
.
По заданному
условию точности
в установившемся режиме найдем:
.
Из двух найденных коэффициентов усиления выбираем максимальный:
.
2.5 Исследование статических свойств замкнутой системы.
1.5.1 Определим входной синал, при которм при отсутсвии нагрузки угловая скороть двигателя имеет номинально паспортное значение в соответствии с исходными данными:
Найдем
из
уравнения
(в системе отсутствует
нагрузка). В этом уравнении:
Где из предыдущих выкладок имеем:
Тогда:
Подставим численные значения передаточных функций элементов системы:
;
Ищем входное
воздействие
в виде
.
Тогда
Угловая скорость двигателя имеет постоянное номинальное паспортное значение в установившемся режиме, следовательно, можем использовать теорему о конечном значении оригинала:
Следовательно:
;
Тогда:
1.5.2 Сравним величины установившейся ошибки для регулируемой и нерегулируемой (без главной обратной связи) системы при действии нагрузки.
Операторное
выражение выходной величины системы
управления
может быть представлено в виде суммы
двух составляющих:
- составляющая,
соответствующая заданному значению
выходной величины.
- составляющая,
определяющая отклонение выходной
величины от ее заданного значения под
влиянием возмущающего воздействия
установившуюся
ошибку)
Здесь
,
.
Если система
является разомкнутой по главной обратной
связи, то
и составляющая, определяющая величину
установившейся ошибки системы при
действии нагрузки
,
равна:
Используем теорему о предельном значении функции. Если выполняются равенства
и
,
то, согласно этой теореме:
и
Причем очевидно,
что здесь
- установившаяся ошибка от действия
нагрузки замкнутой системы,
- разомкнутой системы. Тогда отношение
установившихся ошибок замкнутой и
разомкнутой систем равно:
,
так как
То есть
,
иными словами, установившаяся ошибка
от действия нагрузки замкнутой системы
много меньше установившейся ошибки
разомкнутой системы, которая содержит
интегрирующее звено и является
неустойчивой.
2.6 Исследование динамических свойств замкнутой системы с найденным коэффициентом усиления электронного усилителя.
2.6.1 Построение области устойчивости по коэффициенту усиления электронного усилителя.
Для построения области устойчивости по коэффициенту усиления воспользуемся двумя методами: методом Гурвица и методом D– разбиения.
а) Метод Гурвица.
Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:
Подставив численные данные, получим:
Используем критерий Гурвица для системы 3-го порядка:
б) Метод D – разбиения.
Найдем операторное выражение коэффициента усиления электронного усилителя. Для этого решим уравнение
относительно
:
Подставив численные данные, получим:
Отсюда:
;
Подставив
численные данные, найдем
:
С
помощью программы MATLABпостроимD– разбиение
по(см. рис.2а).
В
результате D– разбиения
получаем 2 области (см. рис.2б). ОбластьIявляется областью
претендента на устойчивость. Проверим
ее на устойчивость двумя способами:
проверим, являются ли корни
характеристического уравнения системылевыми при
из областиI, а так же
построим годограф Михайлова для
из областиI.
а) проверим
на устойчивость точку
(границу
устойчивости):
Решим уравнение
При
с помощьюMATLAB:
>> solve 0.13*x^3+0.71*x^2+x
ans =
0.
-2.7307692307692307692307692307692+.48498154665071121273956253209743*i
-2.7307692307692307692307692307692-.48498154665071121273956253209743*i
Видим, что у характеристического уравнения системы один корень нулевой, значит, она находится на границе устойчивости.
b) проверим на устойчивость областьI(претендент на устойчивость):
Решим уравнение
При
(так как эта точка принадлежит данной
области) с помощьюMATLAB:
>> solve 0.13*x^3+0.71*x^2+1.003*x+4.5
ans =
-5.2481882802079307964204788748745
-.10667509066526537102052979333199-2.5659896958438949424786267644101*i
-.10667509066526537102052979333199+2.5659896958438949424786267644101*i
Видим, что у характеристического уравнения замкнутой системы все корни левые, значит, система устойчива. Проверим это с помощью критерия Михайлова. Строим годограф Михайлова в системе MATLAB:
с) проверим
на устойчивость область II:
Решим уравнение
При
(так как эта точка принадлежит данной
области) с помощьюMATLAB:
>> solve 0.13*x^3+0.71*x^2+1.004*x+6
ans =
-5.5642669725009224218691103221054
.51364255481230441703785930283478e-1-2.8795915503797412701112831846599*i
.51364255481230441703785930283478e-1+2.8795915503797412701112831846599*i
Видим,
что у характеристического уравнения
замкнутой системы лишь один корень из
трех является левым, что свидетельствует
о том, что в области IIсистема является неустойчивой. Подтвердим
это с помощью критерия Михайлова.
Построим годограф Михайлова для данного
характеристического уравнения (рис.4а
и 4б)
Доказано,
что область Iдействительно
является областью устойчивости системы
по коэффициенту усиления электронного
усилителя. Для устойчивости системы он
должен находится в промежутке (0,)
, где
- критический коффициент усиления.
Найдем его:
Пусть
.
Тогда:
при
.
Найдем, при каких
выполняется это условие:
при
и
,
то есть
,
.
Тогда
Полученный критический коэффициент усиления гораздо меньше найденного ранее коэффициента усиления системы.
Определение критического коэффициента усиления разомкнутой системы с помощью ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы.
Построим ЛАХ, ЛФХ разомкнутой системы с помощью программы MATLAB
Представим данную передаточную функцию в виде произведения типовых звеньев с помощью программы MATLAB:
>> W=tf([136.36],[0.13 0.71 1.1 0]),W1=zpk(W)
Transfer function:
136.4
---------------------------
0.13 s^3 + 0.71 s^2 + 1.1 s
Zero/pole/gain:
1048.9231
-------------------------
s (s^2 + 5.462s + 8.462)
Рис.5
В соответствии с
логарифмическим аналогом критерия
Найквиста замкнутая система неустойчива.
Для устойчивой замкнутой системы
значения
должны быть положительными.
Построим асимптотическую ЛАХ разомкнутой системы с помощью программы MATLAB:
Wpas=tf([123.96],[1 0])*tf([1],[0.1182 0.6455 1]);
omega=[0.01 1 1/0.3438 1/0.0001]
figure
margin(Wpas)
grid on
figure
L1=20*log10(123.96)+20*log10(100);L2=20*log10(123.96);L3=L2-20*log10(1/0.3438);
L4=L3-60*log10(0.3438/0.0001)
L=[L1 L2 L3 L4];
semilogx(omega,L)
grid on
hold on
[Lg,f,w]=bode(Wpas,{0.1,10000});Lg1=20*log10(squeeze(Lg));
semilogx(w,Lg1,'--')
Найдем критический
коэффициент усиления разомкнутой
системы
,
при котором замкнутая система с
отрицательной единичной обратной связью
находится на границе устойчивости. Он
определяется по ЛАХ и ЛФХ из условия
,
град.
При этом
,
где для рис. 5 значение
=2,91
рад/с. Здесь вычисление
осуществляется с помощью командной
строкиMATLAB:
>> Kpas=123.96;Kkp=Kpas/abs(freqresp(Wpas,[2.91]))
Kkp = 5.4662
Для проверки
правильности полученного результата
построим годографы движения корней
характеристического уравнения замкнутой
системы при изменении коэффициента
усиления разомкнутой системы
с помощью командной строки
>> WKpas=Wpas/Kpas; rlocus(WKpas);
Результат вычислений представлен на рис. 7
По рисунку 7 видно,
что при коэффициенте
в замкнутой системе имеются левые корни
и одна пара комплексно-сопряженных
корней
с положительной вещественной частью,
т.е. при
замкнутая система находится на границе
колебательной устойчивости и при
становится неустойчивой, что подтвердает
вывод об неустойчивости замкнутой
системы при
по логарифмическому аналогу критерия
Найквиста (рис. 5)
Построение переходного процесса замкнутой системы с найденным коэффициентом усиления электронного усилителя.
Построение
переходной характеристики замкнутой
системы с отрицательной обратной связью
(реакции системы на единичный скачок
при нулевых начальных условиях) с
передаточной функцией
осуществляется по формуле
которая вычисляется
с помощью командной строки (так как
)
>> Ws=feedback(Wpas,1); step(Ws);grid
Переходной процесс
приведен на рис. 8, из которого следует,
что замкнутая система неустойчива при
,
что подтверждает предыдущие результаты
и указывает на необходимость синтеза
корректирующего устройства.
Этот вывод подтверждает предыдущие результаты.