Системы ОДУ

Системы ОДУ

Многие физические процессы описываются с помощью нескольких ОДУ, то есть в виде системы, которую в общем виде принято записывать так: (1). В системе 1 неизвестными являются , где x- независимая переменная.

Определение 1

Порядком системы ОДУ называется число

Определение 2

Совокупность соотношений вида { (2), где x- независимая переменная, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Определение 3

Система дифференциальных уравнений первого порядка 2, разрешённая относительно производных, называется нормальной системой ОДУ и имеет вид 3.

{(3)

Определение 4

Если в системе 3 функции явно не зависят от x, то данная системаскольких ОДУ, то есть в виде системы, которую в общем виде принято записывть так: ...0000000000000000000000000000000000000000 ОДУ называется стационарной или автономной.

Задача Коши

При решении конкретной физической задачи приходится иметь дело с понятием математической модели, которая включает в себя систему ОДУ вида 1 или 2 и граничные условия. Так для нормальной системы ОДУ 3 начальные условия задаются в некоторой точке интервала, например в точке , и записывается так: (4) здесь – заданные числа, которые называются начальными условиями. Системы ОДУ 3 и 4 называются математической моделью, в результате решения которой получают частное решение. Прежде чем находить решение математической модели 3-4, необходимо проверить её на существование и единственность решения.

Теорема Коши

Если в некоторой области G n+1- мерного пространства переменных в системе 3 в точке функции являются непрерывными по своим аргументам и имеют непрерывные частные производные. В исходной точке и её окрестности, то решение данной математической модели 3-4 существует и оно единственно и имеет вид

Замечание

Если условия теоремы выполняются в любой точке области G, то решение математической модели 3-4 существует единственно во всей области G.

Определение 5

Точка (). n+1 – мерного пространства называется обыкновенной для системы 2, если эта система имеет единственное решение и удовлетворяет начальному условию 4.

Определение 6

Пусть любая точка n+1-мерного пространства области G является обыкновенной, тогда можно найти функции { (5), где – некоторые постоянные, удовлетворяющие системе 2, называются общим решением этой системы.

Замечание

Если потребовать, чтобы общее решение 5 удовлетворяло начальным условиям 4, то мы определим значения постоянных и тем самым получим частное решение.

Некоторые методы решения систем ОДУ

В дальнейшем будем рассматривать методы решения, как задачи Коши для нормальной системы ОДУ, так и для получения общего решения нормальной системы ОДУ.

Метод сведения нормальной системы ОДУ к одному ОДУ n-го порядка

Оказывается, с помощью различных приёмов, таких как дифференцирование, замена переменной и так далее, можно свести нормальную систему ОДУ к дифференциальному уравнению n-го порядка, вида (1), если коэффициенты в уравнении 1 являются постоянными, то алгоритм решения ОДУ 1 сводится к нахождению функций , где . – общее решение уравнения соответствующего однородному. Для это необходимо характеристическое уравнение, найти его корни, затем фундаментальную систему решений и записать вид функции . Частное решение определяется по виду правой части уравнения 1, то есть функции f(x), методом неопределённых коэффициентов. С другой стороны любое линейное неоднородное ОДУ n-го порядка можно свести к нормальной системе ОДУ. Действительно, ОДУ n-го порядка вида (2) с помощью введения новых переменных сводится к следующей нормальной системе { (3)

Таким образом изучаемый метод заключается в том, чтобы с помощью приёмов дифференцирования неизвестной функции их исключения из нормального ОДУ 3 привести эту систему к виду 1, найти общее решение этого ОДУ n-го порядка и найти общее решение этого ОДУ известными методами и наоборот, иногда ОДУ n-го порядка.