5.2. Бинарные деревья представление бинарных деревьев

Бинарное дерево определяется рекурсивно как имеющее левое поддерево, корень и правое поддерево. Левое и правое поддеревья са­ми являются бинарными деревьями. На рис.5.2.1 показан пример би­нарного дерева.

Рис.5.2.1. Бинарное дерево

Такие деревья можно представить термами вида

бд(Лд,к,Пд),

где Лд - левое поддерево, К - корень, а Пд - правое поддерево. Для обозначения пустого бинарного дерева будем использовать атом nil.

Бинарное дерево на рис.5.2.1 имеет левое поддерево

бд(бд(nil,d,nil),b,бд(nil,е,nil))

правое поддерево

бд(nil,c,nil)

и записывается целиком как

бд(бд(бд(nil,d,nil),b,бд(nil,e,nil)),

а,

бд(nil,c,nil)).

Представление множеств с помощью бинарных деревьев

Описание множеств в виде списков позволяет использовать для множеств целевое утверждение принадлежит, определенное ранее для списков.

Однако для множеств, состоящих из большого числа элементов, списковые целевые утверждения становятся неэффективными. Рас­смотрим, например, как целевое утверждение принадлежит (см. разд. 5.1.2) позволяет моделировать принадлежность множеству. Пусть L - список, описывающий множество из первых 1024 нату­ральных чисел. Тогда при ответе на запрос

?- принадлежит(3000,L).

Прологу придется проверить все 1024 числа, прежде чем заключить, что такого числа нет:

нет

Представление множества бинарным деревом позволяет добиться лучшего результата. При этом бинарное дерево должно быть упоря­дочено таким образом, чтобы любой элемент в левом поддереве был меньше, чем значение корня, а любой элемент в правом поддереве - больше. Поскольку мы определили поддерево как бинарное дерево, такое упорядочение применяется по всем поддеревьям. На рис.5.2.2 приведен пример упорядоченного бинарного дерева.

Дерево на рис.5.2.1 является неупорядоченным.

Рис.5.2.2. Упорядоченное бинарное дерево

Обратите внимание, что упорядочение приводит не к единствен­ному варианту представления множества с помощью дерева. Напри­мер, на рис.5.2.3 изображено то же множество, что и на рис.5.2.2.

Будем называть линейным представление такого вида, как на рис.5.2.3, и сбалансированным - такое, как на рис.5.2.2.

Рис.5.2.3. Линейное представление

Моделирование принадлежности множеству. Имея множество, описанное бинарным деревом, мы можем моделировать принадлежность множеству с помощью целевого утверждения принадлежит_дереву. При этом используется оператор @ <, выражающий от­ношение «меньше, чем», и оператор @ >, выражающий отношение «больше, чем».

/* Граничное условие: Х принадлежит

/* дереву, если Х является корнем.

принадлежит_дереву(Х,бд(Лд,Х,Пд)).

/* Рекурсивные условия

/* Х принадлежит дереву, если Х больше

/* значения корня и находится в правом

/* поддереве:

принадлежит_дереву(Х,бд(Лд,Y,Пд)) :-

X@Y,

принадлежит_дереву(Х,Пд).

/* Х принадлежит дереву, если Х меньше

/* значения корня и находится в левом

/* поддереве:

принадлежит_дереву(Х,бд(Лд,Y,Пд)) :-

X@Y,

принадлежит_дереву(Х,Лд).

Если множество из первых 1024 чисел описать с помощью сба­лансированного бинарного дерева Т, то при ответе на запрос

?- принадлежит_дереву(3000,Т).

Пролог сравнит число 3000 не более чем с 11 элементами множества, прежде чем ответит:

нет

Конечно, если Т имеет линейное представление, то потребуется сравнение 3000 с 1024 элементами множества.

Построение бинарного дерева. Задача создания упорядоченного бинарного дерева при добавлении элемента Х к другому упорядочен­ному бинарному дереву формулируется следующим образом:

Граничное условие:

Добавление Х к nil дает бд(nil,Х,nil).

Рекурсивные условия:

При добавлении Х к бд(Лд,К,Пд) нужно рассмотреть два случая, чтобы быть уверенным, что результирующее дерево будет упорядо­ченным.

1. Х меньше, чем К. В этом случае нужно добавить Х к Лд, чтобы получить левое поддерево. Правое поддерево равно Пд, а значение корня результирующего дерева равно К.

2. Х больше, чем К. В таком случае нужно добавить Х к Пд, что­бы получить правое поддерево. Левое поддерево равно Лд, а значе­ние корня - К.

Такой формулировке задачи соответствует программа:

/* Граничное условие:

включ_бд(nil,Х,бд(nil,Х,nil)).

/* Рекурсивные условия:

/* (1)

включ_бд(бд(Лд,К,Пд),Х,бд(Лднов,К,Пд)) :-

Х@К,

включ_бд(Лд,Х,Лднон).

/*(2)

включ_бд(бд(Лд,К,Пд),Х,бд(Лд,К,Пднов)) :-

Х@К,

включ_бд(Пд,Х,Пднов).

На запрос

?- включ_бд(nil,d,Т1),включ_бд(Т1,а,Т2).

будут получены значения

T1=бд(nil,d,nil)

T2=бд(бд(nil,a,nil),d,nil)

Процедуру включ_бд() можно использовать для построения упо­рядоченного дерева из списка:

/* Граничное условие:

список_в_дерево([],nil).

/* Рекурсивное условие:

список_в_дерево([Н | Т],Бд) :-

список_в_дерево(Т,Бд2),

включ_бд(Н,Бд2,Бд).

Заметим, что включ_бд не обеспечивает построения сбалансиро­ванного дерева. Однако существуют алгоритмы, гарантирующие та­кое построение [Horowitz E. Sahni S., 1976, р.442].

Создание отсортированного списка. Для построения отсортиро­ванного списка элементов воспользуемся упорядоченным бинарным деревом.

Граничное условие:

Пустое бинарное дерево (nil) приводит к пустому списку [].

Рекурсивное условие:

Отсортированный список для упорядоченного бинарного дерева бд(Лд,К,Пд), где Лд имеет отсортированный список СЛ, а Пд - от­сортированный список СП, получается присоединением [К | СП] к СЛ.

Рассмотрим, например, упорядоченное бинарное дерево

бд(бд(бд(nil,alice,nil),fred,бд(nil,graham,nil)),

jim,бд(nil,rау,nil))