3.2.2. Описание метода возможных направлений

Идея метода возможных направлений (МВН) заключается в том что в каждой очередной точке выбирается подходящее направ­ление и производится исчерпывающий спуск в этом направлении.

Направление 5в точке XeR называется возможным, если дос­таточно малое перемещение из точки X в этом направлении не выводит точку за пределы дополнительной области R, т.е. если За > 0: X + aS е Л,то S - возможное направление в точке Хе R.

Возможное направление S в точке XeR называется подхо­дящим, если перемещение из точки Хъ этом направлении ведет к

уменьшению значения функции /₀ (X), т.е. если у о [X),Sj<0.

Если в некоторой точке X"eR не существует подходящих направлений, то точка X' является точкой минимума функции

/₀(Л")в области R.

Метод возможных направлений осуществляется следующим образом:

1. Точка начального приближения выбирается в допустимой

области, т.е. Х° е R.

2. Последовательность точек Х\ X²,..., Х^к, принадле­жащих R, строится так, чтобы выполнялись неравенства/о tO </.(*"),' = 1,2,...,*.

При этом, строя точку А-*⁴¹ £ Л так, чтобы выполнялись не­равенства /₀ (X^м)</,(*'), обнаруживаем, что либо/₀(А0 не ог­раничена, либо такой точки не существует, т.е. Х^к - оптимальнаяточка. В обоих случаях процесс решения задачи прекращается.Задача решена. ^F

'а построения точки А'*¹ ₆Д состоит из двух

^а) " ^Т°^ЧКе * «"Р^ляется подходящее направление 5*;

б) определяется длина шага а_к > О: х" + а 5* е R

3.2.3. Построение начального приближения

Шаг 1. Строим точку Z°: 0 < Z° < С

Шаг_1 Располагая точкой Х°, вычисляем значение функ-

ций

ШагЗ. Если значение функции у,\Х ) > 0 , то точка Х° удов­летворяет г-му линейному ограничению задачи (3.10), т.е. выпол-

/ ~о\

няется неравенство Ы,Х ) < Ь,. Если же значение j/. (х"\ < о, то в

точке X не выполняется условие /4,АМ<^ и, следовательно,

—о точка X не удовлетворяет линейным ограничениям задачи (3.10).

Шаг 4. Введем в рассмотрение неотрицательные числа р., положив р.=0 для тех индексов;, для которых у АХ I > 0 , и поло-

/~о\

жив р. > 0 для тех индексов, для которых у,А X I < 0 .

Шаг 5. Введем дополнительную переменную £, > 0, увеличи­вая тем самым размерность вектора неизвестных на единицу, и в

(п+1)-мерном пространстве (а,,х₂,...,х_я,^поставим следующую задачу:

(3.14)

Получили таким образом в (п+1)-мерном пространстве за­дачу минимизации линейной функции на множестве, задавае­мом линейными ограничениями, т.е. задачу линейного програм­мирования, которая решается за конечное число шагов симплекс-методом. При этом в качестве начального опорного плана мож­но выбрать точку.-

49

р, > О

х° =

В качестве значений р. > 0 можно взять р, =

Решая вспомогательную задачу (3.14) симплекс-методом, за конечное число шагов получим оптимальный план, в котором 4 = 0. Тогда первые п компонентов этого опорного плана опре­делят точку X , которая будет удовлетворять всем линейным ог­раничениям исходной задачи (3.10), т.е.

Ь„ ieI₂,0<X° <С.

I—о\ /—о\

Шаг 6. Вычислим уАХ \ = b,-fAX |,ге/,. Зададим нео­трицательные числа р., полагая р.= 0 для тех индексов /, для ко-

торых у АХ 1>0, и р,. > 0 для тех индексов, для которых

ния ЗВП (3.15) на каком-то шаге получим _л = 0, т.е. вектор (х,⁰,^,...,^ 0), то соответствующий вектор(х,⁰,*",...,^) _опреде. лит точку А-⁰, удовлетворяющую всем ограничениям задачи (3 10) которая будет являться начальной точкой исходной задачи

Вместо того, чтобы последовательно удовлетворять снача­ла линейным, а затем нелинейным ограничениям, можно, избе­гая шага 5 и шага 6 и имея точку Х°: 0 < х° <_CJ e / , сразу сфор­мулировать и решить только одну задачу:

где р > 0 для тех индексов г, для которых у\х < 0.

ли-

Задача (3.16) является ЗВП, для которой за нулевое приб можно взять точк

жение можно взять точку

ftFU Ц,Г)-ь,

р,.>0

X ,%„ =тах

Р,

Шаг 7. Введем дополнительную переменную х\ > 0 и сформу­лируем еще одну вспомогательную задачу, следующим образом:

mm{r\\f_i(X)-p_lT\<b_nieI_];(A_i,X)<b_nieI₂;O<X<C;r\>O}. (3.15)

Это есть ЗВП, для которой известна начальная точка с ко­ординатами

У\Х

Р,

|р,>0 .

х, = х°₁,х₂=х°₂,...,х_п =

Если в качестве значений р. > 0 выбрать величину р, = у,

X , 1 . Очевидно, если в ходе реше-50

Однако решение задачи (3.16) является более сложным, чем решение задач, которые рассматривались в шаге 5 и шаге 6.