
Тема 3 Граничные условия на поверхностях раздела реальных сред
Неоднородная среда в общем случае имеет диэлектрическую и магнитную проницаемости и проводимость, являющиеся функциями координат. Но на поверхности раздела двух разных сред эти функции испытывают разрыв (скачок). Например, на поверхности раздела металл-воздух проводимость и диэлектрическая проницаемость меняются скачком. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме описывают ЭМ поле в обыкновенной точке пространства, поэтому на поверхности раздела сред, где нарушается непрерывность параметров среды, они теряют смысл и должны быть дополнены условиями, определяющими поведение векторов поля в точках скачка параметров сред. Эти условия устанавливаются с помощью уравнений Максвелла в интегральной форме.
Пусть некоторый объем
Vзаполнен веществом с параметрами,
,
и ограничен поверхностью
S(рис. 2).
а б
Рис.2 К выводу граничных условий
Векторы ЭМ поля внутри тела обозначим
через
,
,
,
.
Тело находится в среде с параметрами
,
,
.
Векторы поля в среде обозначим через
,
,
,
.
ПоверхностьSесть
поверхность раздела сред.
Выделим у поверхности
Sнекоторый элементарный объемцилиндрической формы с длиной образующей
и контур
с длиной боковой стороны
,
такие, что часть
и
часть
находятся в среде, а другие их части —
в объеме
V.
Считаем, что
и
— точки наблюдения ЭМ поля расположены
соответственно в объеме
и в среде. Тогда с помощью уравнений
Максвелла в интегральной форме можно
связать векторы поля в точках
и в точках
.
Если затем положить
,
то точки
и
стремятся на поверхность
S
раздела
сред, т.е.
и
,
где
.
1. Граничные условия для нормальных составляющих векторов поля
Установим
условия, определяющие поведение
нормальных к границе раздела сред
составляющих векторов поля. Для этого
рассмотрим объем
(рис. 2а). Обозначим через
поверхность, образованную пересечением
с границей раздела сред, а через
,
— орты нормалей к торцам цилиндра.
Считаем, что в каждой точке
существует орт нормали
.
Применим
третье уравнение Максвелла в интегральной
форме к объему
,
ограниченному поверхностями торцов
,
и
боковой поверхностью цилиндра
:
(1)
так как при
имеем
и поэтому интеграл по
стремится к нулю. Учтем, что при
,
,
.
Поскольку
мало, то применяя теорему о среднем,
можно вынести
,
|
и
из-под знака интеграла. Таким образом,
сокращая на
, получаем при
(2)
На
границе раздела
S
реальных сред заряды не скапливаются,
поэтому они не имеют особенности, они
не являются поверхностными, т.е.
при
.
Значит,
(3)
Применим
к объему
четвертое уравнение Максвелла в
интегральной форме:
,
где
-
фиктивные сторонние магнитные заряды
При
имеем
AS'+AS'+AS6
(4)
Считаем,
что на границе раздела реальных сред
фиктивный магнитный заряд, как и
электрический, не может быть чисто
поверхностным, поэтому
при
.
Значит,
(5)
Если
— некоторый вектор, то
— нормальная к
S
составляющая вектора. Поэтому имеем:
(6)
Это математическая формулировка граничных условий для нормальных составляющих векторов индукций: нормальные составляющие векторов индукций при переходе через поверхность раздела реальных сред непрерывны.
Для
линейных изотропных сред:
,
,
,
Поэтому в соответствии с (6) нормальные составляющие векторов напряженностей поля имеют скачок на S:
(7)