
3.3 Лемма Лоренца. Теорема взаимности
П
(29),
а вторая - токами с плотностью
Первая
группа источников создает монохроматическое
электромагнитное поле
удовлетворяющее
уравнениям
(30)
а
(31)причем
(32)
У
(33)
а
(31) на H1,
и почленно вычтем второе равенство из
первого:
А
(34)
и
почленно вычтем из полученного результата
равенство (30), скалярно умноженное на
вектор
П
(35)
Равенство
(35) называют леммой
Лоренца. На
основе леммы Лоренца доказывается
теорема
взаимности, имеющая
фундаментальное значение. Предположим,
что источники первой группысосредоточены
в конечном объеме
,
а источники второй группы
-
в конечном объеме
Области
и
пространственно
разделены (не пересекаются друг с
другом).
И
(36)включающей в себя
и
(рис.
49), и применяя теорему Остроградского-Гаусса,
получаем
Рис.49
Соотношение (46) является интегральной формулировкой леммы Лоренца.
Распространим
интегрирование в уравнении (46) на все
пространство. При этом поверхность S
уйдет в бесконечность. Не нарушая
общности рассуждений, можно считать,
что амплитуды векторов
убывают
с увеличением расстояния от источников
быстрее, чем
(см.
теорему единственности). Тогда при
левая
часть уравнения (36) обратится в нуль.
Учитывая, кроме того, что по предположению
вектор плотности сторонних токов
отличен
от нуля только в объеме
а
вектор
-только
в объеме
получаем
(37)
В
полученном выражении
-вектор
напряженности электрического поля,
создаваемого в точках
объема
токами
распределенными
в объеме
,
а
-
напряженность электрического поля,
создаваемого в точках объема
токами,
протекающими в объеме
Соотношение (37) является одной из наиболее общих математических формулировок теоремы взаимности.
Выясним
некоторые следствия, вытекающие из
этой теоремы. Предположим, что объемы
и
и
распределение токов
в
них совершенно одинаковы. В этом случае
векторы
также
будут одинаковыми. Например, пусть
имеются две одинаковые антенны 1 и 2 с
одинаковым распределением токов. Тогда
вне зависимости от того, является ли
разделяющее антенны пространство
однородным или неоднородным, можно
утверждать, что антенна 1 создает у
антенны 2 такое же поле, какое антенна
2 создает у антенны 1.
На основе теоремы взаимности можно также доказать, что диаграмма направленности приемной антенны имеет такую же форму, какую она имела бы, если бы антенна работала в качестве передающей. Применение теоремы взаимности в ряде случаев позволяет существенно упростить решение электродинамических задач.
При
доказательстве теоремы взаимности
предполагалось, что среда, заполняющая
рассматриваемое пространство, является
линейной и изотропной. Предположим
теперь, что среда, оставаясь линейной,
является анизотропной. В этом случае
параметры
(оба
или по крайней мере один из них) будут
тензорами.
Тогда вместо уравнения (35).получаем
Теорема взаимности будет верна только в том случае, если выполняются равенства
Для
этого необходимо, чтобыбылисимметричными
тензорами
Это
условие выполняется для большинства
кристаллических сред. Однако в случае
гиротропных сред (например, ферритов)
тензор
является
антисимметричным
и
разность
оказывается
отличной от нуля. Поэтому для гиротропных
сред теорема взаимности несправедлива.