Задачи для самостоятельного решения

1. Составить параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости.

Ответ. .

2. Найти точку пересечения прямых ,.

Ответ. .

3. Найти расстояние между прямыми

.

Ответ. 1.

4. Доказать, что прямые

и

пересекаются. Найти точку пересечения. Записать уравнение плоскости, в которой лежат эти прямые.

Ответ. (2,2,1); .

5. Через точку провести прямую, перпендикулярноOx и прямой

Ответ. .

6. Через точку провести прямую, пересекающую прямую и параллельную плоскости.

Ответ. .

7. В уравнениях прямой определить параметртак, чтобы эта прямая пересекалась с прямойи найти точку пересечения.

Ответ. ,.

8. Вычислить расстояние между параллельными прямыми и.

Ответ. .

9. В плоскости yOz найти прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную прямой

Ответ. .

10. Найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Ответ. .

11. Найти расстояние между прямыми и.

Ответ. 7.

12. Через точки ипроведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

Ответ. (9,–4,0), (3,0,–2), (0,2,–3).

13. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой

Ответ. .

14. Доказать перпендикулярность прямых:

1) и

2) и

15. Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра двух прямых, заданных уравнениями

и .

Ответ. .

§ 4. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению

ПЛОСКОСТИ И УРАВНЕНИЯМ ПРЯМОЙ

1. Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле . (4.1)

Рис. 2.22

.

2. Условия принадлежности прямой (14) к плоскости (2):

(4.2)

3. Условие параллельности прямой и плоскости:

или. (4.3)

4. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

или. (4.4)

Примеры решения задач

Задача 4.1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости.

Решение. За направляющий вектор прямой можно принять нормальный вектор плоскости. Искомая прямая будет иметь уравнения.

Ответ. .

Задача 4.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой.

Решение. За нормальный вектор плоскости можно принять направляющий вектор данной прямой, тогда уравнение запишется в виде (8.1):;.

Ответ: .

Задача 4.3. Найти проекцию точки на прямую.

Рис. 2.23

Решение. Построим вспомогательную плоскость, проходящую через точку перпендикулярно данной прямой, то есть нормальный вектор плоскости имеет вид:, а уравнение плоскости(рис. 2.23). Точка – точка пересечения построенной

плоскости и данной прямой и будет являться искомой проекцией точки P на прямую. Для нахождения точки пересечения решим систему

Из последнего уравнения: при , получим. Проекция точки на прямую имеет координаты(3,–2,4).

Ответ: (3,–2,4).

Задача 4.4. Найти точку Q, симметричную точке относительно плоскости.

Решение. Построим прямую, проходящую через точку перпендикулярно плоскости. Уравнения этой прямой имеют вид (8.13):. Основанием этого перпендикуляра будет точка пересечения прямой и плоскости. Найдём её, решив систему

Отсюда иоснование перпендикуляра, опущенного из точкиP на плоскость. Искомая точка Q лежит на той же прямой, причём , но, значит, отсюда. Итак,.

Ответ. .

Задача 4.5. Доказать, что прямые

,

лежат в одной плоскости и составить уравнение этой плоскости.

Решение. Если прямые лежат в одной плоскости (компланарны) и не параллельны, то они пересекаются. Условие пересечения двух прямых имеет вид (8.17). В нашем случае ,,,, тогда

, ,

т.е. прямые не параллельны.

Найдём нормальный вектор искомой плоскости. Поскольку он перпендикулярен векторам и, то его можно представить как векторное произведение:

.

При записи уравнения может быть взята любая из точек или:,.

Ответ. .

Задача 4.6. Составить параметрические уравнения прямой, которая проходит параллельно плоскостям и пересекает прямые

.

Решение. Найдём направляющий вектор искомой прямой. Так какперпендикулярени, то за векторможно принять вектор, коллинеарный векторному произведениюи:

,

то есть .

Прямая не является параллельной ни одной координатной оси, поэтому одну из координат точки можно задать произвольно, например,. Найдём точкуиз условий пересечения искомой прямой с каждой из двух заданных прямых имеет вид (3.9). Выпишем их в нашем случае: сначала условие пересечения прямой с направляющим вектором,и прямой,, а затем прямой,и прямой,. Получим систему уравнений относительнои

отсюда иуравнение искомой прямой примет вид:

.

Ответ. Задача 4.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающей прямые,, а также уравнение плоскости проходящей через точкуперпендикулярно данным прямым (рис. 2.24).

Рис. 2.24

Решение. Убедимся, что точка не принадлежит ни одной из данных прямых.

Выясним взаиморасположение данных прямых: ,,,,.

Условие пересечения данных прямых не выполнено, прямые скрещивающиеся.

Условия пересечения искомой прямой с данными:,, или;,, или.

Решим систему

, ,.

Пусть , полученный при.

Искомая прямая: .

Плоскость, проходящая через т. перпендикулярно данным прямым:, пусть,.

Ответ. ,.