Задачи для самостоятельного решения

1.Составить уравнения плоскостей, параллельных координатным плоскостям и проходящим через точку .

Ответ: .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей ии параллельной вектору.

Ответ: .

3. Вычислить расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки.

Ответ: d=9.

4. Даны плоскости и. Какая из них ближе к началу координат?

Ответ: .

5. Две грани куба лежат соответственно на плоскостях и. Вычислить объем данного куба.

Ответ: 8 куб.ед.

6. Доказать, что параллелепипед, три непараллельные грани которого лежат в плоскостях

,

,

является прямоугольным.

7. На оси ординат найти точку, отстоящую от плоскости на расстоянии трёх единиц.

Ответ: ,.

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающей равные отрезки на осях координат.

Ответ: .

9. Из точки на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Найти уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Ответ: .

10. Найти уравнение плоскости, точки которой одинаково удалены от точек и.

Ответ: .

§ 3. Прямая в пространстве

Основные теоретические сведения

1. Общее уравнение прямой:

(3.1)

определяется как линия пересечения двух плоскостей, при условии, что они не параллельны.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим этой прямой . Если известна одна точка, принадлежащая прямой, то прямая может быть задана каноническими уравнениями:.

2. . (3.2)

Рис. 2.19

3. Параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку в направлении вектора , называются уравнения вида: (3.3)

Здесь произвольно изменяющийся параметр. При изменениивеличиныменяются так, что точкадвижется по данной прямой.

4. Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки иимеет вид

. (3.4)

Параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки

(3.5)

Если в системе (3.5) t меняется на отрезке , то (3.5)определяет отрезок прямой причем параметру соответствует точка , параметру– точка.

5. Угол между двумя прямыми, заданными своими каноническими или параметрическими уравнениями, вычисляются по формуле

. (3.6)

6. Условие параллельности прямых

(3.7)

Условие перпендикулярности прямых

(3.8)

следует из условия перпендикулярности направляющих векторов.

7. Условие пересечения прямых (условие компланарности):

Рис. 2.20

(3.9) Это условие (3.9) – условие компланарности прямых (рис. 2.20). Если оно не выполняется и прямые не параллельны, то данные прямые называются скрещивающимися (лежат в параллельных плоскостях).

Примеры решения задач

Задача 3.1. Составить уравнение прямой, образованной пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через осьОх и точку .

Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку . Нормальный вектор этой плоскости имеет вид. Используем уравнение (3.1), получимили. Но так как плоскость проходит через начало координат, то, следовательно,. Тогдаилиуравнение искомой плоскости. Прямую запишем в общем виде (3.2)

Ответ.

Задача 3.2. Через точки ипроведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

Решение. Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки в параметрической форме (3.5), получим

Найдём пересечение этой прямой с координатной плоскостью xOy, которая имеет уравнение для этого решим совместно уравнения прямой и плоскости

Отсюда , следовательно,, тогда

,

т.е. точка (9;-4;0) является точкой пересечения прямой и плоскости xОy.

Решая две системы

и

Найдём точки пересечения прямой с плоскостями yОz и zОy –точки (0,2,-3) и (3,0,–2) соответственно.

Ответ: (9;–4;0); (0;2;–3); (3;0;–2).

Задача 3.3. Составить канонические и параметрические уравнения прямой

Решение. Найдём направляющий вектор данной прямой. Его можно считать параллельным векторному произведению нормальных векторов , гдеисоставляющих плоскостей. Итак,

.

За направляющий вектор прямой возьмём ,

Выберем точку , принадлежащую прямой, так как прямая не параллельна ни одной из координатных плоскостей, то в системе

можно одну из координат задать произвольно, например, положить, что соответствует пересечению прямой с плоскостьюxОy. Тогда система примет вид:

Сложив оба уравнения, получим , затем найдём. Таким образом, одна из точек прямойимеет координаты (2,–1,0). Составим канонические уравнения прямой:. Для записи прямой в параметрической форме приравняем каждую дробь параметруt и разрешим относительно переменных x, y, z

Ответ:

Задача 3.4. Найти угол между прямыми; лежащими в одной плоскости:

Решение. Направляющий вектор первой прямой имеет вид . Найдём направляющий вектор второй прямой. Сначала вычислим векторное произведение нормальных векторов плоскостей:

.

За примем вектор,. Найдём угол между прямыми по формуле (3.6)

,

то есть , прямые перпендикулярны.

Ответ: .

Задача 3.5. Доказать, что прямые

и

пересекаются.

Решение. Условие пересечения двух прямых имеет вид (3.9). В нашем случае ,,,. Зная точкиМ₁ и М₂ найдем вектор .

Составим определитель по формуле (3.9) и убедимся, что он равен нулю, т.е. вектора пересекаются

.

Ответ. Прямые пересекаются.

Задача 3.6. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно к векторуи пересекает прямую

.

Решение. Для того, чтобы составить канонические уравнения прямой, надо найти направляющий вектор . Предположим, что координата . Тогда найдем вектор, удовлетворяющий двум условиям: во-первых,иперпендикулярны, т.е. скалярное произведение; во-вторых, должно выполняться условие пересечения двух прямых (3.9), причём,,, .

Запишем эти два условия:

или

Решаем последнюю систему, получим ,таким образом,. За направляющий вектор примем . Искомое уравнение примет вид: .

Ответ. .

Задача 3.7. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую

.

Решение. Составим уравнение вспомогательной плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной данной прямой. Направляющий вектор прямой служит нормальным вектором этой плоскости, получим. Найдём точку пересечения данной прямой и плоскости. Для этого удобно уравнения прямой записать в параметрической форме и решить уравнения прямой и плоскости совместно

Отсюда ,, т.е.. Тогда точка пересеченияM имеет координаты (подставили в параметрическое уравнение прямой).

Направляющий вектор искомой прямой параллелен радиус-вектору точки M, т.е. вектору с координатами . Заудобно принять вектор, т.е.. Искомая прямая примет вид:(рис. 2.21). Ответ. .

Рис. 2.21

Задача 3.8. Определить кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми:

, .

Решение. На скрещивающихся прямых можно построить параллелепипед с рёбрами . Кратчайшее расстояние между прямыми совпадает с высотой этого параллелепипеда, площадь основания которого равна. Поскольку объём параллелепипеда, с одной стороны, равен, а с другой стороны,, т.е..

В нашем случае ,,,, следовательно,. Тогда

,

.

Смешанное произведение

,

т.е. . Таким образом, расстояние.

Ответ. .