§ 5. Полярные координаты и их связь с декартовыми.

Геометрический смысл уравнений и неравенств с двумя переменными. Окружность и ее уравнение

Основные теоретические сведения

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки , луча, исходящего из этой точки, и единицы масштаба (рис. 2.25). Точканазываетсяполюсом, а луч –полярной осью.

Если – произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом, то ее положение на плоскости определяется заданием двух чисел: расстояниемот полюса и угломмежду полярной осью и вектором. Уголназываетсяполярным углом, а расстояние полярным радиусом точки . Полярный радиус и полярный уголточкиназывают ееполярными координатами и записывают .

В определенной таким образом полярной системе координат, полярный радиус , а уголзаключен в пределахлибо. Числаиопределяют положение единственной точки на плоскости, и обратно, каждой точке плоскости однозначно отвечает пара чисел. Исключение составляет только полюс, для которого, а уголне определен.

Рис. 2.25 Рис. 2.26

Если выбрать декартову систему координат так, чтобы ее начало О совпало с полюсом, а ось Ox - с полярной осью (рис. 2.26), то между полярными координатами ,и декартовыми координатамиx, y каждой точки М существует следующая связь:

(5.1)

(5.2)

с учетом четверти, в которой находится число.

Из этих формул следует:

; . (5.3)

В аналитической геометрии всякую линию на плоскости рассматривают как множество точек, обладающих каким-то свойством, общим для всех ее точек. Следовательно, обозначив через иилиикоординаты произвольной точки рассматриваемой линии в соответствующей системе координат, выражают посредством уравнения относительноиилиисвойство, общее для всех точек линии.

Таким образом, уравнением данной линии называется такое уравнение относительно переменных иилии, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней.

Координаты иилии, входящие в уравнение линии, называютсятекущими координатами.

Принято говорить, что уравнение илиопределяют линию на плоскости. Однако следует заметить, не любое уравнениеопределяет линию на плоскости. Например, уравнениюне удовлетворяют координаты ни одной точки.

Неравенство с двумя переменными илиопределяет множество точек плоскости, представляющее собой какую-то область. Следует заметить, что множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому неравенству, может быть пустым. Например, неравенствоопределяет пустое множество. Наоборот, неравенствуудовлетворяют координаты любой точки плоскости.

Очень часто линию на плоскости удобно задавать не одним уравнением , а системой уравнений, в которой каждая текущая координата задается некоторой функцией от одного и того же аргумента, например, называемогопараметром. Получают уравнение вида

(5.4)

Уравнения (5.4) называются параметрическими уравнениями линии на плоскости. При одном и том же значении параметра уравнения (5.4) определяют координатыинекоторой точки линии.