
- •ЛинейнОе пространство
- •Определения. Базис и размерность. Разложение вектора по базису пространства
- •Определение базиса и размерность пространства l
- •Если обладает базисом, то говорят, что линейное пространствоLимеет рангQ (ranq q).
- •Изоморфизм n-мерных линейных пространств
- •Формулы преобразования координат при изменении базиса
- •Произведением. Евклидово пространство
- •2.1. Определение евклидова пространства. Длина вектора. Неравенство Коши-Буняковского
- •2.2. Ортогональный и орто-нормированный базисы в пространстве е
- •2.3. Ортогонализация базиса в пространстве
- •2.4. Скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве
- •Изоморфизм евклидовых пространств
- •§ 3. Билинейные квадратичные формы
- •4.1. Линейная функция
- •4.2. Билинейные формы
- •4.3. Матрицы билинейной формы
- •4.4. Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса
- •4.5. Квадратичные формы
- •4.6. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду
- •Будем рассматривать квадратичную форму (7) в евклидовом пространстве
4.3. Матрицы билинейной формы
Выберем в n-мерном
пространстве
какой-либо базис
и выразим билинейную форму
через коэффициенты
и
векторов
и
в этом базисе. Имеем:
В силу свойств а)
и б) пункта
билинейной формы, имеем:
Или, короче:
.
Обозначим постоянные
через
.
Тогда в заданном базисе
всякая билинейная форма вn-мерном
пространстве может быть записана в
виде:
.
(5)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.
Матрицу
,
составленную из коэффициентов
многочлена (5), называютматрицей
билинейной формы
в
базисе
Таким образом, в
каждом базисе пространства
билинейная форма
определяется своей матрицей:
.
4.4. Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса
Пусть даны в
n-мерном
линейном пространстве
два базиса:
и
.
Причем, векторы второго базиса
выражаются через векторы базиса
формулами:
Матрицу
назовем матрицей
перехода от базиса
к базису
.
Пусть
есть матрица билинейной формы
в базисе
,
а
матрица той же билинейной формы в базисе
.
Наша задача состоит в том, чтобы по
матрице
найти матрицу
.
По определению
,
то есть
- значение билинейной формы
при
.
Для того, чтобы
найти это значение, то есть
, воспользуемся формулой (5), подставив
в нее вместо
и
координаты векторов
и
в
базисе
,
то есть числа
и
.
Получим:
.
(6)
Это и есть искомая формула.
Запишем ее в
матричной форме. Для этого положим
.
Таким образом,
является элементами матрицы
,
транспонированной к матрицеС.
С учетом этого выражение (6) можно записать
так:
или
.
Итак, если А
и В
суть матрицы билинейной формы
соответственно в базисах
и
.,
то преобразование матрицы билинейной
формы при переходе от одного базиса к
другому будет иметь вид:
где С- матрица
перехода от базисак базису
.,
а
- транспонированная матрица.
4.5. Квадратичные формы
Пусть -симметричная
билинейная форма.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Функция
,
которая получается из билинейной формы
,
если положить в ней
=
,
называется квадратичной
формой.
Всякая квадратичная
форма
,
в базисе
евклидового пространстваЕn
выражается следующей формулой:
,
(7)
где
симметричная матрица
квадратичной
формы и
.
В некотором базисе
выражение (7) квадратичной формы может
не содержать произведений
,
то есть
,
(8)
Выражение (8)
называется каноническим видом квадратичной
формы. В частности, если
,
то получаемнормальный
вид
квадратичной
формы
.
Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором она имеет канонический вид.
4.6. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду
а) Метод Лагранжа выделения полных квадратов.
Пусть квадратичная
форма
имеет в базисе
вид (7). Для приведения формы
к сумме квадратов методом Лагранжа
рассмотрим случай квадратичной формы,
у которой все коэффициенты
(при квадратах
),
равны нулю и в то же время эта квадратичная
форма не равна тождественно нулю, то
есть в ней есть отличное от нуля хотя
бы одной произведение, например,
.
Выполним преобразование базиса, при котором коэффициенты векторов в старом и новом базисах связаны формулами:
.
Тогда:
.
Таким образом,
всегда найдется такой базис, в котором
в записи (7) хотя бы один коэффициент
при квадрате
.отличен
от нуля.
В дальнейшем будем
считать, что
.
(Если
,
то отличен от нуля коэффициент при
квадрате какой-нибудь другой координаты
и к рассматриваемому случаю можно
прийти, иначе, занумеровав векторы
,
что также является некоторым преобразованием
базиса).
Рассмотрим часть
квадратичной формы, содержащей
,
то есть
.
Дополним эту сумму до полного квадрата:
,
где
есть алгебраическая сумма членов, не
зависящих от
.
Если теперь сделать замену
то квадратичная форма в новом базисе примет вид
.
В полученной форме
выделено слагаемое
,
а оставшаяся частьА,
является квадратичной формой в
.
Далее эти рассуждения
повторяются для исходной квадратичной
формы
и т.д. Конечным результатом является
то, что она приводится к нормальной
форме.
ПРИМЕР 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму
.
Первое преобразование:
.
Тогда получим:
.
Второе преобразование:
.
Получим новое выражение для квадратичной формы:
.
Третье преобразование:
.
форма примет канонический вид:
.
При этом
.
б) Метод собственных векторов.